图形的相似知识点归纳总结（超详细）及测验.pdf

相像三角形基本学问点总结及练习 学问点一：比例线段有关概念及性质 （ 1）有关概念 1，两条线段的 比 ：选用同一长度单位量得两条线段量得 AB， CD 的长度分别是 m， n，那 么就说这两条线段的比是 AB:CD m： n 例： 已知线段 AB=2.5m, 线段 CD=400cm，求线段 AB与 CD的比； a b c （或 a： 2. 比例线段 ：四条线段 a，b，c ，d 中，假如 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比， 即 d b=c： d） ，那么，这四条线段 a， b， c， d 叫做成比例线段，简称比例线段； （ 留意：在求线段 比时， 线段单位要统一 ，单位不统一应先化成同一单位，仍要留意次序； ） 例： b,a,d,c 是成比例线段，其中 a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段 d 的长度； （ 2）比例性质 a b a b c d c d 1. 基本性质 : ad bc （两外项的积等于两内项积） b a d c 2. 反比性质： 把比的前项，后项交换 ( ) 3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ： a c d b d c b d ，(交换内项 ) a b c d c，(交换外项 ) a b(同时交换内外项 a ) 4. 等比性质： （分子分母分别相加，比值不变 . ） a b c d e f m (b n a b c d e f m n a b d f n 0) ，那么 假如 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例运算，变形中一种常用方法 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零 留意 ：(1) (2) (3) 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数， 再利用等比性质也成 立 a b c d e f 4 (b 5 a b c d e 的值 f 0), 求 例： 已知 d f a b c d a b c d d 5. 合比性质 ： （ 分子加（减）分母 , 分母不变） b 学问点二：平行线分线段成比例定理 第 1 页，共 9 页 1. 平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截 用符号语言表示： AD/BE/CF, , 所得的对应线段成比例； AB DE BC , EF AB , DE DF = = = BC EF AC DF AC 2. 推论 : 平行于三角形一边的直线与其它两边相 交，截得的对应线段成比例； （ 1）是“ A”字型 （ 2）是“ 8”字型 常常考， 关键在于找 AD DB AE 或 BD EC 或 EA AD AB AE AC 几何语言： 由 DE BC 可得： . 此推论较原定理应用 EC AD 更加广泛 , 条件是平行 . AG GC 2 3 DF DC 例： 如图，在四边形 ABCD中， ，就 = ； = 学问点三：相像形多边形 1. 定义： 各角分别相等，各边成比列的两个多边形叫 做相像多边形； 2. 相像多边形的性质 ：假如两个多边形是相像形，那 么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例； 3. 判定：假如两个多边形的对应边成比列， 对应角相等，那么这两个多边形相像； （留意：判定两个多边形相像时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条 件缺一不行； ） 4. 任意两个等边三角形相像，任意两个正方形相像，任意两个正 n 边形相像； 例 1：以下判定正确选项（ ） A. 两个矩形肯定相像 ； B. D. 两个平行四边形肯定相像； 两个菱形肯定相像； C. 两个正方形肯定相像； 例 2：小明将一张报纸对折，发觉对折后的半张报纸与整张报纸相像，你能算出 - 2 - / 9 第 2 页，共 9 页 报纸的长与宽的比吗？ 学问点四：黄金分割 AC AB BC AC (1) 定义 ：段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，假如 ，即 AC 2=ABBC ，那么称线段 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AB AC AC AB 5 2 1 与 AB 的比叫做黄金比； 5 2 1 AB 3 5 所以： AC AB ； BC AB 2 例：已知线段 AB=10cm,点 C 是 AB 的 黄 金分割点，且 ACBC ，求 AC 和 BC 的 长； (2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点 . 1 作法：过点 B 作 BD AB，使 BD = AB； 2 连结 AD，在 DA上截取 ； 在 AB 上截取 AC=AE ，就点 C就是所求作的线段 AB 的黄金分割点 . 黄金分割的比值为： . （ 3）黄金矩形： 在矩形中，假如宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金 矩形； ； （ 4）黄金三角形： 顶角为 36 的等腰三角形叫做黄金三角形，由于该三角形的 5-1 2 底边比上腰长等于 例：如图， ABC 中， A=36， AB=AC， BD 是角平分线 (1)求证： AD2=CD AC； (2)如 AC=a，求 AD 学问点五：相像三角形 1， 相像三角形 （ 1）定义 ：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形 相像； - 3 - / 9 第 3 页，共 9 页 几种特别三角形的相像关系： 两个全等三角形肯定相像（相像比为 两个等腰直角三角形肯定相像； 两个等边三角形肯定相像； 1） ； 两个直角三角形和两个等腰三角形不肯定相像； （ 2）性质 ：两个相像三角形中，对应角相等，对应边成比例； （ 3）相像比 ：两个相像三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的 相像比 ； 如ABC 与DEF 相像，记作 ABC DEF；相像比为 k； （ 4）判定 ： 定义法 ：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相像； 三角形相像的预备定理 ：平行于三角形一边的直线和其它两边相 交，所构成的三角形与原三角形相像； 2. 三角形相像的判定定理： 判定定理 1：两角对应相等的两个三角形相像； ( 此定理用的最多 ) 几何语言：在 ABC 和 DEF 中 假如 A=D,B=E，那么 ABC DEF 判定定理 2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相像； 几何语言：（如上图）在 ABC 和 DEF 中 AB DE AC DF 假如 A=AC， 点 D 在 BC上，且 DC AC,ACB的平分线 CF 交 AD于 F， 点 E 是 AB 的中点，连结 （1）求证： EF BC. EF. （2）如四边形 BDFE的面积为 6，求 ABD的面积 2， 如图，四边形 ABCD， DEFG都是正方形， 连接 AE ，CG,AE 与 CG相交于点 M， CG与 AD 相交于点 N AE CG 求证：（ 1） （ 2） ； AN . DN CN . MN. 3，如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行 四边形，点 RDE 的中点， BR 分别交 AC， CD 于点 P， Q （ 1）请写出图中各对相像三角形 （相像比为 1 除外）； A D （ 2）求 R BP : PQ : QR O P 4，如图， ABCD 中， E 是 CD 的延长线上一点， BE与 B C E E F A - 8 - / 9 D 第 8 页，共 9 页 B C 1 2 AD 交于点 ， ； DE CD 求证： ABF CEB; 如 DEF 的面积为 2，求 ABCD的面积； 5，如下列图， E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点， EF DE 交 BC 于点 F （ 1）求证： ADE BEF； （ 2）设正方形的边长为 这个最大值 4， ， BF= 当 取什么值时， 有最大值 .并求出 AE= x y x y - 9 - / 9 第 9 页，共 9 页 。