高中平面几何讲义(20170915214459).pdf

高中平面几何( 上海教育出版社叶中豪 ) 知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点， Gergonne 点， Nagel 点，等力点， Fermat 点，Napoleon 点， Brocard点，垂聚点，切聚点，X点， Tarry 点， Steiner点， Soddy点， Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler 线， Lemoine 线，极轴， Brocard 轴，九点圆， Spieker 圆， Brocard 圆， Neuberg 圆， McCay圆，Apollonius圆， Schoute 圆系，第一Lemoine 圆，第二 Lemoine 圆， Taylor圆， Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一 Brocard 三角形，第二Brocard 三角形， D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson 线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标 四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton 线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel 点， Newton 线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称） ，对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel 定理内接三角形，外接三角形，Miquel 点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理， Desargues 定理， Pascal 定理， Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy 定理， Menelaus 定理， Ceva 定理，Stewart 定理， Euler线， Fermat- Torricelli问题， Fagnano- Schwarz问题， Newton 线， Miquel 定理， Simson 线， Steiner定理，九点圆， Feuerbach 定理， Napoleon 定理，蝴蝶定理，Morley 定理， Mannheim定理例题和习题1． 以△ABC 的 AB、AC 两边向形外作正方形ABEP 和 ACFQ，AD 是 BC 边上的高。

求证：直线AD、BF、CE 三线共点 2． 以△ABC 的 AB、AC 两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD 和 ACE， 使∠ABD＝∠ACE＝90°求证线段 DE 的中点的位置与顶点A 的位置无关 3． 已知梯形 ABCD 中，AD∥BC分别以两腰 AB、CD 为边向外侧作正方形ABGE 和正方形 DCHF连接 EF，设线段 EF 的中点为 M求证： MA ＝MD 4．△ABC 中，AM 是中线， H 是垂心， N 是 AH 中点，过 A 作外接圆切线，交对边 于 D 点求证： ND⊥AM06061602 ．gsp)MNHDABC5．△ABC 中，D 是 BC 边上一点，设 O、O1、O2分别是△ ABC、△ABD、△ ACD 的外心，求证： A、O、O1、O2四点共圆 （Salmon 定理） 6．△ABC 中，D 是 BC 边上一点，设 O、O1、O2分别是△ ABC、△ABD、△ ACD 的外心， O′是 A、O、O1、O2四点所共圆（ Salmon 圆）的圆心求证： （1）O′D⊥BC 的充要条件是： AD 恰好经过△ ABC 的九点圆心！O'O2O1DNiABC（2）记△ ABC 的九点圆心为 Ni 。

作 O′E⊥BC，垂足为 E则 Ni E∥AD！(06051705 ．gsp) (06052901 ．gsp)NiEO'O2O1ABCD7．四边形 ABCD 中，P 点满足∠ PAB＝∠CAD，∠PCB ＝∠ACD，O1、O2分别 是△ABC、△ADC 的外心求证：△ PO1B∽△PO2D06060301．gsp）O2O1PABCD8．设 I 是圆外切四边形 ABCD 的内心，求证：△ IAB ，△IBC，△ICD，△IDA 的垂 心共线 9．已知凸四边形 ABCD 满足：AB+AD=BC+CD ，延长 BA，CD 交于 E 点，延 长 BC，AD 交于 F 点求证： EB+ED=FB+FD （或EA+EC=FA+FC ） 05123102． gsp）FEBDAC10． （06.8.9 ）设 A、B、C、D 是椭圆22221xyab上四点若直线 AB、CD 的斜率之积22ABCDbkka，则直线 AC、BC 或直线 AD、BC 的斜率之积也必等于22ba注：这时经过A、B、C、D 四点的任意二次曲线的离心率必不小于椭圆22221xyab的离心率──ca ）（06080901． gsp） （06081201． gsp）1．在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，设 O1、O2分别是△ ABD、△ACD 的外心， O′是经过 A、O1、O2三点的圆之圆心。

求证： O′D⊥BC 的充要条件是： AD 恰好 经过△ ABC 的九点圆心O'O2O1DNiABC【证明 】取△ ABC 的外心O，则熟知A、O、O1、O2四点共圆（ Salmon圆） 易知△ AO1O2∽△ABC ， 且 O1O2是 AD 的垂直平分线 作顶点 A 关于 BC 边的对称点A′， 易看出△ AO ′D∽△ AOA ′设 BC 边高的垂足为G，再取 AO 连线的中点L，则 LG 是△ AOA ′的中位线，进而知△AO′ D∽△ALG 得∠ O′DA＝∠ LGA ⋯⋯⋯⋯⋯①O'O1O2LDA'GOABC再作外心O 关于 BC 的对称点O′， 由 AH ＝2OM ＝OO ′知 A O ′经过九点圆心Ni注：△AHNi≌△O′ONi ）由 LM∥A O ′知∠ ADC ＝∠ LMG ；在直角梯形AOMG中，得∠ LMG ＝∠ LGM 故∠ ADC ＝∠ LGM ⋯⋯⋯⋯⋯②而∠ LGM ＋∠ LGA ＝90 °将①、②代入得∠O′DA ＋∠ ADC ＝90°∴O′ D⊥BC MGLHO'OO'DNiABC2．在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，设 O1、O2分别是△ ABD、△ACD 的外心， O′是经过 A、O1、O2三点的圆之圆心。

记△ABC 的九点圆心为 Ni作 O′E⊥BC， 垂足为 E则 Ni E∥AD （叶中豪提供）NiEO'O2O1ABCD【证明 】作 LK ⊥AH由 AH＝2OM ， Ni F ＝（ OM ＋HG ）/2 易知 AK ＝Ni F ⋯⋯⋯⋯⋯①又因 O′L 在 BC 上的射影是EF，而 AL 在 AG 上的射影是AK，且两者夹角相等（都等于12BC） ，故O LALEFAK⋯⋯⋯⋯⋯②由①、②知Rt△AO ′L∽Rt△Ni EF 得∠ AO′ L＝∠ Ni EF ⋯⋯⋯⋯⋯③MLKGFENi HOABCO'而由下图，又易知∠AO′L＝∠ ADC ⋯⋯⋯⋯⋯④由③、④得∠Ni EC ＝∠ ADC ，∴Ni E ∥ADLOEO'NiABCD3．△ABC 中，AH 是 BC 边上的高， D 是直线 BC 上任一点 O、O1、O2分别是 △ABC、△ABD、△ACD 的外心， N、N1、N2分别是△ ABC、△ABD、△ACD 的九 点圆心设 O′是 A、O、O1、O2所共圆（ Salmon 圆）的圆心，作 O′E⊥BC，垂 足为 E则 H、E、N、N1、N2五点共圆 （闵飞提供）EO'O2O1OHN2N1NABCD【证明 】引理△ABC 中，记外心O 关于 BC 边的对称点为O′，则九点圆心Ni 是 A O ′的中点。

证略）O'NiOABC如下图，作A、O、O1、O2诸点关于 BC 边的对称点，这些对称点仍构成共圆四边形再以A 点为位似中心，作1/2 的位似变换，即可知所得到点H、N、N1、N2一定共圆且顺便得知所共圆的大小恰是 Salmon圆的一半！）再在 Salmon圆上取 A″，使 AA ″∥ BC 因此 O′E 所在直线是AA″的中垂线 作 A″关于 BC边的对称点A″′易知AA″′的中点恰是E，于是 E 也在上述位似后的圆上A'A''A'''O'1O'2O'EO'O2O1OHN2N1NABCD5．四边形 ABCD 中，P 点满足∠ PAB＝∠CAD，∠PCB＝∠ACD，O1、O2分别 是△ABC、△ADC 的外心求证：△ PO1B∽△PO2D （叶中豪提供）O2O1PABCD【证法 1】 （ 田廷彦提供 ）QO2O1PABCD如上图，延长CP 交△ ABC 的外接圆于Q连接 QA 、QB、QO1、AO2在等腰△ O1BQ 和等腰△ O2AD 中，由于∠ BO1Q＝2∠ BCQ＝2∠ACD ＝∠ AO2D，故△ O1BQ∽△O2AD ⋯⋯⋯①又在△ PAQ 中，由正弦定理2112sinsinsinsinsinsinsinsinsin 180/sinsinsin/PABBAQDACBCQDACDCAPQPAQPAPQACBACBACBACDAACRRCDACBACBAACRR其中 R1、R2分别是△ BAC 和△ DAC 的外接圆半径。

而12sinBQRBCQ，22sinDARACD，故12RBQDAR由此PQBQPADA，又∠ BQP＝∠ BAC ＝∠ PAD，∴△ PQB∽△ PAD⋯⋯⋯②由①、②，即可知O1、O2是相似三角形PQB 和 PAD 中的对应点，从而得△PBO1∽△ PDO2证法 2】 （ 柳智宇提供 ）柳 智 宇 证 法C'A'O2O1PABCD如下图，延长AP、CP 分别交△ ACD 的外接圆于C′、 A′首先证明△ DA ′C′∽△ BAC ，而 O1、O2分别是这两个三角形的外心然后说明P 是这对相似三角形中的自对应点，从而△PBO1∽△ PDO2（具体过程略） 证法 3】 （ 邓煜提供 ）见下图，在AB 上取点 Q，使得△ APQ∽△ ADC （具体过程略） 邓 煜 证 法QO2O1PABCD重心坐标123::其余三点的坐标分别为：123::，123::，123::直线 d，d1，d2，d3的坐标分别为：123111::，123111::，123111::，123111::易算出 Newton 线 d0的坐标为：222 123111::。