在不同惯性系中的机械能守恒定律.pdf

在不同.厦性系中的机械能守恒定律熊秉衡(长沙 跌道学院)首先,赴我们先考虑一个有趣的简题.一辆享厢,相对于地面以J哑速v行触,厢内悬褂有一个盾量很小(与草厢相比)的单摆.如果不考虑摆动 时 的各种摩擦阻力,ln J在丰厢内的观察者看来、单摆 的机械能 是守伍的.但是,在地面上 的观察者看来,单摆 的机械能却不是恒量.为了 筒单起见,我佣 毅单摆在草速v与铅. 军 聋习值 方 向所决定 的平面内摆动.并且,当摆处于最低位置时,其相对于草厢的速率为, 郎单摆的最大速率).如果取最 低点的重力 势能为在草厢上 的观察者看 来,若某 时 刻摆锤在最低点 时的机械能为五l,而翘过半个周期后,当摆锤再次回到最低点 时的机械能为EZ,l B J 尽管摆锤速 度方 向不 同,但由于两次速率相等,故lE,EZ均为上m姑.然而在地面2上的珑察者看来,如果第一次通过最低点时的机械能为E1 ~—脚戈少.1~t ,夕- 2卿j第二 次为`;一告阴(·一)2.这样我,,看到,同一物体的机械能,对于不同的参考系而言,具有不同 的数值.换言 之,在某一个参考系 中,物体的机械能如果是守恒的,而在另一个参考系中却未必保持伍定.为什么出现这样的情况呢?要回答这一阴题,我们必须回忆一下机械能守恒定律的条件:第一,系枕必镇是保守的.所稠“保守系就”指 的是只有保守力(如重力、弹性力)作功 的系就,郎在系就中没有耗散力(如摩擦力,磁力 等)的作用,0 1 1 没有机械能 与其他形式能量简 的相互棘换.第二,系就 的一切外力 不作功.如果以上 条件成立,系就的机械能就可以保持恒定不变.然而必填注意,所稠外力 不作功是必须指定了参考系后才有确定 的意义.因为 功 是相对的,其数值与坐标系 的选择有关.譬如观:若在K坐标系 中某保守系就所受的外力 虽 不为。

但在某过程中外力却不作功,那么在K系中观察,此保守系就的机械能就保持恒值不变.例如 以草厢 为参考系,单摆在整个运动 过程中虽受到外力—耗的张力 的作用,然而由于张力与摆的位移处处垂值,故张力所作的 功为0.因而在草痛上叽察单摆的运动 时,单摆的机械能 是守J阪的.但是,如果从另一个惯性系K`·来观察,例如 以地面为参考系 来分析草痛 中单摆的运动 时,张力 与位移不再处处垂值,故张力的功 不再为0.严格针算这过程中张力所作的功填要繁杂的数学运算,这里我 们用平均力 的概念作一商要的豁算来税明之.以地面为参考系,若某时刻单摆在最低点的动量为m(峋),l R J牛个周期后当单摆 又回到最低点 时的动量为m(一内),而且它们都在水平方向,因而前后动量的增量为m(一t, 0)一m(十峋)~一Zmt , 0,也在水平方向.若在这段时简`内作用于摆上的平均 张力为了.根据动量原理,ft=一2“t ,o·而且平均张力了也在水平方 向(食号表示平均张力子与初速反向).在这段时 简多内,单摆走过的距离相对于地面来靓是;一t, t,故相应时 简 内张力对单摆所作的功A为才二升~(了,)一Zm“o t j·而单摆机械能 的增量△E为第6期二E~EZ一E、一杏,(,一。

),一2上式两端同加以系就之势 能U,则得一上),~一2, t ,.2,,,,_ _尹.1 乙~寸· v.p十一产犷一 2(2)这规明了在地面上观察单摆 的运动时,在整个运动过程中单摆的机械能 是不守J匝的,原 因乃系张力所作的功不为而单摆机械能 的增量正好等于张力对单摆所作的功.因此在使用守恒定律到具体周题上时,必硕十分注意定律的条件.特别是第二个 条件.由于功的数值与坐标的选取有关,故在甲参考系守饭条件—外力 不作功满足时,在乙参考系却未必能满足.因此,某系就若在甲参考系内的机械能是守恒的,而在乙参考系内却未必也能守恒.然而,对所有的惯性系而言,封阴的保守系 娜1 )的拳娜够够水攀俘修俘枣否孪.反之,不封阴的保守系枕的总机械能郎使在某一个惯性系中守恒(郎在此惯性系中作用于熟系就上的一切外力都不作功),也不 可能在其他任意惯性系中都守恒.下面,我们来征明这一渝断.如果嗜性系K ’相对于惯性系K以速 度丫运动.汀个质点粗成的 系杭中 的各个盾点的运动 速度在K系与K`系中分别以v i及试(i~1,2,…,N)表示,l B J有两~斌十. v因此,K系中系就的总动量,p“艺mi竹,与丫系 中系枕的总动量p`二艺。

斌有以下的关系:p`艺v;~万m;(斌+v)~~另.,可+,乞`.以产表示系兢的总质量,郎产~艺稗,l R J可将上式写为 p一p’+产,.(i)又,在K系 中系就的总动能为这就是K系 中系枕的总机械能, E与K’系 中 系统的总机械能 厂 之简的关系.根据(l )和(2)式可知,如果系就不是封阴的,也就是观,如 果系就的总动量不是守刁阪的,那么,郎使系兢的总机械能 E ’在K ’系中守恒(当外力所作的功在K ’系 中为时),但在K系中也未必保持恒定不变.因为(2)式表明,K系中系扰的总机械能E不仅与丫系 中的总机械能E`有关,而且也与丫系 中系枕的总动量p`有关.既然系扰不是封阴的,B I Jp’尹恒矢量,当在,·p,笋的情况 下,自然E也就不等于恒量了.但是 如果所研究 的力学系兢是封阴的系挑,那么只要了~恒量,必然 有E~恒量,因为这时v和p`都是哑矢量.这就是所要敲明的一下面我们举两个商单的例子来砒明上述精渝.例工.卓厢以恒定 的 速 度v相对地面行墩,在率上以、的初 速(相对草厢)与水平成6角斜抛一物体(物体的厦量甚小于率厢).将K坐标固定在率确上,而将K ’坐标固定于地面上.由于抛射体是一个封阴的保守口一洲甲、J`一叭尸0一一系航(晃文后 附注),可以预料,在K系 和K ’系中机械能郡应荻守侄.下面,我们选择系枕在两个瞬简的机械能米比较,就可以看到这个桔果.在K系中:职抛射处为重力势能的零点,l 1 M这时 系枕总机械能一1 刀。

~—娜2 ,6, 2艺合抓`“一万合 . (、十丫)2-一另合二犷·,2+:m,V;一十最高点 系枕总机械能~,.1___/乙=娜g左十一阴戈t ,ocos口厂2 在K ’系中:抛射处系枕的总机械能十合,2艺二￡一艺含’+十,·p’+合气~,1/.、,1 石二一哪又巩十v厂~吮甲阴而十22D在力学上,这就是指所爱外力的矢量和为零的系抚,1964年+050+上moZ2最高点系就的总机械能~m:左+竺(c o so)2一m人+上, ,+m,coso +变系扰的机械能的.固题出在支持力N上.在K系 中,N与位移垂直,虽然外力 不为然而外力所作的功为因此在K系 中,系扰的机械能守恒.但在K ’系中,除了沿斜面的位移外,还有沿v方 向上的位移.这 时合位移的方向与N不再垂直(兑图4),故外力的 功就不再为50)显然,如果在K系中E~:成立(事实也是如此因为一丛率翌),l R J在K ’系 中就29/产产/ 门门门一丁月月\ \ \产`一一目 , 户. 口口目~ ~ ~ ~ ~// / / / /有 瓦~E ’例2.若在上例所述的草厢中放置一光滑的斜面,斜面与水平的夹角为0.将一物体(质量甚小于卓厢)以初而等于才=N·S~Nxx+N,Y~A二+A,,其中N二,N,为支持力在水平及铅直 方 向 的投影,而x,Y为物体在水平及扮直方 向的分位移,它卿分别为Xy`!l七 e ee s`才才门门一Nsino,左 ~t ,t.十 —,tgo`t,。

沿斜面上椰,_卜升到某一高度左而停住,在K系中:抛射处系就的总机械能Neo s一一一一姚叽r. ,J、且L另外,根据物体”相对于K ’系(地面)的 运动,可以写出它在扮值 方向的运动方程:Neoso一mg~ma,,其中速则~1 乙~—m夕6,t ,sinogh 2一尸 一一最高点系扰的总机械能E~mgz /;在K ’系中:抛射处系杭的总机械能石孟一上m(v+v),一上m,若++m一“ +合m·’,最高点系抗的总机械能E ’一沙+上mt, .z若在K系中机械能 是守恒的,郎E~E,l A J此时在K ’系 中机械能却不保持恒值.显然,达到最高点时系扰的机械能减少了,△五`=五`一瑞一一me os8.为什么系就在K系中机械能守恒而在K ’系中机械能却不守恒呢?究其原因,原来系枕是不封阴的,物体受到重力p和斜面支持力N的作用.前者是保守力,当在机械能 中 引入势能后就可以把鼓力视为 内力,这个力是 不会改第6期把这些关系式代入A~N·S式中,可 以得出A~一m夕夕 eo so,自p A~八E.我们看到,在K ’系中,外力N所作的 功恰好等于系扰机械能 的增量.此时N是作负功,因而 系航的机械能 是减少的.由于封阴的保守系枕的总机械能的这种性质(自p以所有的J嗜性系为参考,其总机械能 永远保持恒定),所以有些教科书在尉渝到机械能守恒定律时仅仅着重指出:“封阴的力学系挑机械能是守J阻的.”这里,所销封阴的力学系扰就是指的封阴的保守系杭.实际上,不封阴的保守系扰机械能未必不守J阪.但必须注意到:封阴的保守系枕的机械能是在一切惯性系中都守恒的,而不封阴的保守系就,自l]使能在某一啃性系中守恒( 在此』嗜性系 中,系枕的外力 不作功),也不能在其他一切啃性系 中都守恒.附注、当我们使用功能原理A一五2一坑的形式时,实际上 是把物体与地球看为一个系枕,而把重力 当作内力看待.在这种情形下,物体与地球作为一个系扰所具有的机械能应敲是物体的动能、地球的动能 以及物体与地球简的相互作用势能的总和.如果以物体和地球的质心作为参考系 写出系枕的总机械能E,应为1mM2勿+MM为地球的质量t, z+U,其中m为物体的质量,。

为物体相对地球的运动 速度,UI P J为物体与 地球的相互作用势 能.(这关系的推导可以参看任意一本理渝力学,例如朋道、粟弗席兹著“力学”第三章亏1 3.)显然,当M》m时,用Mm一M+m十M二~止兰一 、m,又u就是重力势能,因此E一上n I尹+m沙.这就是质量为2m的 物体与地球粗成的系扰在质心系 中的总机械能.又由于M》m,故物体与地球的厦心实际上 可以欲 为就是地球的盾心.因此上述机械能可以敲为是以地球为参考系时系扰具 有的机械能.但通常我们往往不提地球而只说E是质量为的物体的机械能.这种提法也是 可以的,但我佣必镇昆住:五一上、 ,+m沙中已挫包2舍了地球的机械能在内了.其中地球的动能相当于略去不爵,而势能二沙l j A是物体与地球所共同具有的相互作用势能.既然把地球与物体看为一个系枕,因此重力 是内力,它既不改 变系航的总动量(郎地球的动量与物体动量的总和是侄量 ),也不改变系就的总机械能.在本文中所举的单摆例子以及例1中的抛 射体阴短中,将单摆 与地球或抛射体与地球看作一个系扰则都是封阴系就,故系抗的总动量p和总机械能E都是守恒的.改进中学物理实脸的看法和做法林桐掉(示爵州一中)加强实翰是 当前物理教学的重要尚题.静多物理教师在提高教学厦量、加强实驮方面作了很多工作,而且取得了一定的成精.以 下就我俩看到而仍填改进的一些方面和摸索的一些方法提供大家研究参考.一、当前中学实耽教学中存在的一些简题1.部分教师对加孩物理实验的意义敲藏不足.一方面袒祝实输,另一方面又害怕实盼.有的 强稠客观困难,借题少做或不做实硫.例如有些教师献为某些学生实骇(例如 侧 定水的汽化热、测 定功热当量等),由于中学实输仪器精密度的限制,实输的桔果不 够理想,害怕 引起学生对裸文的怀疑,产生副作用,因而不敢赴学生进行实验.这种看法是片面的.任何一个实瀚,羡差总是不可避免 的,但教师应敲加弦实驮的准备工作,尽一切努力使实墩筷差减少到最小的程度.中学物理的学生实验,只要撰差是在允静值的范围内,都应敲敲为符合实输的要求.简题在于对实验裸差要作具体的分析,艳不能因噎废食,减少学 生实阶拣习的机会.事实上,对实验精果进行具体分析,找 出产生翻差的具体原。