解析几何《圆》.pdf

解析几何圆 第1页（共8页）解析几何解析几何【4】圆【4】圆1、圆的定义1、圆的定义平面内到定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹是圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径2、圆的标准方程2、圆的标准方程方程为222xaybr（0r）表示圆心为,a b，半径为r的圆的标准方程特别地，以原点为圆心，半径为r（0r）的圆的标准方程为222xyr3、圆的一般方程3、圆的一般方程方程220 xyDxEyF，配方得方程22224224DEDEFxy（1）当2240DEF时，方程表示圆心为,22DE，半径22142rDEF的圆，此时方程220 xyDxEyF（2240DEF）称为圆的一般方程说明：圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：二次项说明：圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：二次项2x、2y的系数相等且不为零；不含有的系数相等且不为零；不含有xy项项（2）当2240DEF时，原方程表示一个点,22DE（3）当2240DEF时，原方程没有图形4、点4、点00,P xy与圆与圆222xaybr（0r）的位置关系）的位置关系(1)若22200 xaybr，则点P在圆外；(2)若22200 xaybr，则点P在圆上；(3)若22200 xaybr，则点P在圆内解析几何圆 第2页（共8页）5、直线与圆的位置关系5、直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d；联立直线和圆的方程得到一元二次方程M这时，直线与圆的位置关系如下表所示：6、圆与圆的位置关系6、圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R、r，且Rr，圆心距为d；联立两圆的方程组成方程组M这时，两圆的位置关系如下表：【温馨点睛】【温馨点睛】1、确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程2、确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线3、当直线和圆相切时，要注意切线斜率不存在的情况.求切线方程一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形4、直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质，解题时应根据具体条件选取合适的方法5、计算直线被圆截得的弦长的常用方法：（1）几何方法；运用弦心距（即圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成直角三角形计算（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：212122111ABkxxyyk位置关系相交相切相离几何特征0drdrdr代数特征0M 有两组实数解0M 有一组实数解0M 无实数解位置关系外离外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRr0dRr代数特征M无实数解M有一组实数解M有两组实数解M有一组实数解M无实数解公切线条数43210解析几何圆 第3页（共8页）【考点一】求直线的倾斜角和斜率【考点一】求直线的倾斜角和斜率【例 1】【例 1】已知两点1,2A、,3B m（1）求直线AB的斜率k与倾斜角；（2）已知实数31,313m，求直线AB的倾斜角的取值范围【同类变式】【同类变式】设直线l的方程为210 xBy，倾斜角为（1）试将表示为B的函数；（2）若263，求B的取值范围：（3）若,21,B ，求的取值范围【考点二】求直线的方程【考点二】求直线的方程【例 2】【例 2】求适合下列条件的直线方程解析几何圆 第4页（共8页）（1）经过点3,2A，且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点5,4B，且倾斜角是直线324yx的倾斜角的12：（3）经过点1,1C，与已知直线260 xy相交于点P且5CP【同类变式】【同类变式】求适合下列条件的直线方程（1）经过点0,2A，它的倾斜角的正弦值是35；（2）经过点5,2B，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（3）经过点5,4C，与两坐标轴围成的三角形面积为5【考点三】直线过定点问题【考点三】直线过定点问题解析几何圆 第5页（共8页）【例 3】【例 3】已知直线:2311layax（1）求证；无论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）直线l是否有可能不经过第二象限？若有可能，求出a的范围；若不可能，说明理由【同类变式】【同类变式】已知直线方程为22140m xm y（1）该直线是否经过定点？若经过，求出该点坐标；若不经过，说明你的理由；（2）当m为何值时，点3,4Q到直线的距离最大，最大值为多少？（3）当m在什么范围时，该直线与两坐标轴负半轴均相交？【考点四】求与最值有关的直线方程【考点四】求与最值有关的直线方程【例 4】【例 4】如图，已知直线l过点3,2P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解析几何圆 第6页（共8页）【同类变式】【同类变式】（1）若本例条件不变，求OAOB的最小值及此时直线l的方程；（2）若本例条件不变，求PA PB 的最大值及此时直线l的方程【真题自测】【真题自测】1.现有下列四个命题：经过定点000,P xy的直线都可以用方程00yyk xx；经过任意两个不同的点111,P x y、222,Pxy的直线都可以用方程121121xxyyyyxx表示；不经过原点的直线都可以用方程1xyab表示：经过定点0,Ab的直线都可以用方程ykxb表示其中真命题的个数是（）.A 0；.B1；.C2；.D 32.下列命题中，正确的是（）.A若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；.B若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan；解析几何圆 第7页（共8页）.C若直线的倾斜角2,43，则其斜率的取值范围是,31,；.D当直线的倾斜角2,43时，直线的斜率在这个区间上是严格增函数3.直线:tan105l xy 的倾斜角4.已知点2,3A、1,4B，则直线AB的点法式方程为5.已知点3,4A、2,2B，直线20mxym与线段AB相交，则实数m的取值范围是6.在平面直角坐标系中，两点111,P x y、222,Pxy间的“L距离”定义为121212PPxxyy现将边长为1的正ABC按如图的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合 记边AB所在直线的斜率为k，03k求：当BC取最大值时，边AB所在直线的斜率的值。