高三数学万能解题模板专题21 平面向量中最值范围问题（解析版）.docx

专题21 平面向量中最值、范围问题【高考地位】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.方法一 利用基本不等式求平面向量的最值万能模板内 容使用场景一般平面向量求最值问题解题模板第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题；第三步 得出结论.例1、已知点A段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________【答案】【解析】第一步，利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系：由可得，，根据A，B，C三点共线可得，且，第二步，运用基本不等式求其最值问题：所以，第三步，得出结论：所以最小值为变式演练1】在中，点是边上的点，满足，，，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）【答案】C【分析】利用向量的线性运算，结合解三角形余弦定理可得，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】，，又，所以，，所以，即，，故，根据基本不等式可得，解得：，当且仅当，即，时取等号，故的最大值为.故选：C.【变式演练2】【浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶】若，，平面内一点，满足，的最大值是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由条件可得，是角平分线，然后由角平分线的性质可得，设，则，然后，即可得出的最大值.【详解】由，可得因为，所以，即是角平分线所以由角平分线的性质可得设，则，由可得因为当且仅当，即时等号成立，即的最小值为所以的最大值是，故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积、余弦定理和利用基本不等式求最值，考查了学生的分析转化能力，属于中档题. 方法二 建立直角坐标系法万能模板内 容使用场景一般向量求最值或取值范围类型解题模板第一步 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；第二步 将平面向量数量积的运算坐标化；第三步 运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可.例2 （1）在中， ， ，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， （ ）A. B. C. D. 24【答案】D【解析】第一步，根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标：以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，则，设 第二步，将平面向量数量积的运算坐标化： 第三步，运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可：当时取得最小值， ，选D.【点评】：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题. 学科*网(2) 以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.例2 （2）在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.【答案】.【解析】：第一步，根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标：以为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。

第二步，将平面向量数量积的运算坐标化：第三步，运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可：当即(与同向)时,的最大值为.【点评】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化，从而转化常见的求函数最值问题.【变式演练3】【2020届河南省开封市高三二模】己知平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线的方程为，设点，，求出的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解.【详解】如图所示，以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，所以直线的方程为，设点，，所以，所以，当时，取到最小值.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究.【变式演练4】【浙江省2020届高三新高考模拟试题心态卷】已知AB是半圆O的直径，AB=2，等腰三角形OCD的顶点C､D在半圆弧上运动，且OC=OD，∠COD=120，点P是半圆弧上的动点，则的取值范围（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】建立直角坐标系，设出点C、D、P的坐标，利用向量的数量积运算和三角函数的性质可得选项.【详解】以点O为原点，AB为x轴,垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系，如下图所示，不妨取，则，设，，因为，所以，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积的最值求解，常常运用建立直角坐标系，利用坐标运算和转化为已知向量的方法，属于中档题.方法三 构造目标函数求最值万能模板内 容使用场景一般向量求最值或取值范围类型解题模板第一步 根据条件设变量；第二步 利用平面向量的运算法则列出关系式；第三步 根据函数求出最值或范围.例3 【山东省济宁市第一中学2020届高三考前冲刺测试】在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，则的最大值为（ ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】第一步：设，，则，第二步：，∴，第三步：∵，∴时，取得最大值5．故选：C．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解．【变式演练5】【浙江省杭州二中2020届高三下学期高考仿真考】面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线EF上，则的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积＝1，从而可得PBPC，故PBPCcos∠BPC，由余弦定理，有：BC2＝BP2+CP2﹣2BPCPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BPCP﹣2BPCPcos∠BPC．从而，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．【详解】解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离＝点A到BC的距离的一半，∴△ABC的面积＝2△PBC的面积，而△ABC的面积＝2，∴△PBC的面积＝1，又△PBC的面积PBPCsin∠BPC，∴PBPC．∴PBPCcos∠BPC．由余弦定理，有：BC2＝BP2+CP2﹣2BPCPcos∠BPC．显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BPCP，∴BC2≥2BPCP﹣2BPCPcos∠BPC．∴PBPCcos∠BPC+2BPCP﹣2BPCPcos∠BPC令y，则y′令y′＝0，则cos∠BPC，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减∴cos∠BPC时，取得最大值为∴的最小值是故选：D【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．【高考再现】1.【2020年高考山东卷7】已知是边长为的正六边形内的一点，则取值范围是 （ ）A． B． C． D．【答案】A【思路导引】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果．【解析】解法一：的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A．解法二：如图，建立平面直角坐标系，由题意知，，，，设，则，∵，∴，∴的取值范围是．【专家解读】本题的特点是注重向量的应用，本题考查了平面向量数量积运算，考查平面向量数量积的几何意义，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是理解平面向量数量积的定义．2.【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2−4eb+3=0，则|a−b|的最小值是（ ）A． 3−1 B． 3+1 C． 2 D． 2−3【答案】A【解析】分析:先确定向量a,b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n)，则由a,e=π3得a⋅e=|a|⋅|e|cosπ3,x=12x2+y2,∴y=3x，由b2−4e⋅b+3=0得m2+n2−4m+3=0,(m−2)2+n2=1,因此|a−b|的最小值为圆心(2,0)到直线y=3x的距离232=3减去半径1，为3−1.选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.3.【2017全国II卷理，12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】B 4.【2018年天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120∘,AB=AD=1,若点E为边CD上的动点，则AE⋅BE的最小值为 （ ）A． 2116 B． 32 C． 2516 D． 3【答案】A【解析】分析：由题意可得△ABD为等腰三角形，△BCD为等边三角形，把数量积AE⋅BE分拆，设DE=tDC(0≤t≤1)，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接AD,取AD中点为O,可知△ABD为等腰三角形，而AB⊥BC,AD⊥CD，所以△BCD为等边三角形，BD=3设DE=tDC(0≤t≤1)AE⋅BE =(AD+DE)⋅(BD+DE)=AD⋅BD+DE⋅(AD+BD)+DE2=32+BD⋅DE+DE2=3t2−32t+32 (0≤t≤1)所以当t=14时，上式取最大值2116 ，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示同时利用向量共线转化为函数求最值5.【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】试题分析：设向量的。