线性代数辅导第三章概述.docx

第三章向量组的线性相关性和秩一基本要求1理解n维向量的概念及运算，向量的线性组合与线性表示.2•理解向量组的线性相关与线性无关的定义及相关结论，并会判别向量组的线性相关性.3•了解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念， 会求向量组的最大无关组和秩.4•了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系.5•了解向量空间以及相关概念，了解基变换和坐标变换公式， 会求过渡矩阵.二主要内容1. 向量(1)定义：n个有顺序的数〉1,〉2,川，：「所组成的数组=(〉1,〉2,川，：「)叫做n维向量， 数：'1/'2 J H/' n叫做向量「的分量(或坐标)，n称为向量［的维数.⑵向量的运算① 加法运算：设有向量〉=(a.,a2,l|l,an),」Q,b2,川，6)，则-二⑻ b2,川，a. bn).加法运算满足运算规律：交换律：「■----:-.结合律：二U ：宀讦)=(二5') •.② 数量k与向量〉的乘积：k〉= (kq, ka2,HI, kan).数乘运算满足运算规律：交换律：k> = :k.结合律：k(l： ) =(kl)：.分配律：k(、「『■) = k二:"k -, (k lp - k^ " H ,其中 k, l 为数.2. 向量的线性相关性(1)对于向量〉i」2,HI」m ,如果有一组数\, ‘2,川，'m，使〉='r'< 2 2^^ 'mm则说向量:是：“一」”，的线性组合，或说〉可由线性表示.⑵ 设有n维向量组r,〉2,IH，〉m ,如果存在一组不全为o的数ki,k2,川，km ,使k< 1十2〉2 ■ k^：^ = 0,则称向量组线性相关，否则称为线性无关.⑶ 向量组「仆一:切川，_：im(m _ 2)线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m -1个向量线性表示.(4) 设:1,〉2,川，〉m线性无关，而:1,〉2,川，〉m, 一：线性相关，则［能由:，1,〉2,1 H 〉m线性 表示，且表示式是唯一的.(5) 若〉1,〉2,川，：「线性相关，则〉1,〉2,川，：”：「1,川「m也线性相关(局部相关则整体相 关).⑹设有两个向量组 A: a j =(a1j,a2j,||),anj)T, B: bj = @皿8卩2),川8呻)丁 (j =1,2,Hl,m),其中BPzHIPn是1,2,111, n这n个自然数的某个确定的排列，则向量组 A与向量组B的线性相关性相同.⑺ 设有两个向量组 A:a」=(%82),|"冋)丁 , B: bj = (%82),|||耳，a「也)T (j =1,2, l|l,m),即bj是由aj添加一个分量而得. 若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关 (低维无关则高维也无关).(8) 向量组〉1,〉2,IH,〉m线性相关的充分必要条件是他们所构成的矩阵 A二(〉1,〉2,l",〉m)的秩小于向量的个数 m ,即R( A) ：：：m，该向量组线性无关的充分必要 条件是R( A) =m .(9) n个n维向量线性无关的充分必要条件是他们所构成的方阵的行列式不等于 0.(10) 当m・n时，m个n维向量〉1」2,川，：韦一定线性相关.3. 向量组的秩和最大无关组(1)设有两个n维向量组A:〉1「2,l)l,〉r； B : -1, -2^1 -s,如果向量组A中的每个向量都能由向量组B中的向量线性表示，则称向量组 A能由向量组B线性表示.如果向量组 A能 由向量组B线性表示，且向量组B也能由向量组 A线性表示，则称向量组 A和向量组B等 价.行向量组 A:〉1,〉2,川,二 B : 1 , 2,1 s 记 A 二(〉1,〉2,川,：」,B = (「dIH,■s)T , A组能由B组线性表示，则存在矩阵 K =(kij)r s，使A二KB，对于列向量组A ：〉1」2,川」r ； B : 1, -2^1 S,记 A 二(〉1「2,lH「r),B= (^, ' s)，A 组能由⑵设有向量组T，如果① 在T中有r个向量〉1,〉2,l||,〉r线性无关；② T中任意r 1个向量(如果T中有的话)都线性相关，则称 、，—，川八 是向量组T的一个最大无关向量组， 简称最大无关组；数r称为向量组T的秩.并规定只含零向量的向量组的秩为零.⑶ 设向量组A:冷，〉2，川，〉「；向量组B: m，-2JH, -s-如果A组能由B组线性表示且 A 组线性无关，则r^s .⑷设向量组A:冷厂2,川八的秩为r ,向量组B : '^, -2JH, -s的秩为r2,如果A组能由B组线性表示，则< r2.(5) 设在向量组T中有r个向量〉1,〉2,lH,〉r满足① 冷,>2,川,：> 线性无关；② 任取卅三T,:总能由［仆:匕‘川，：」线性表示，则 冷「2,川，〉r是向量组T的一个最 大无关组，数r是向量组的秩.(6) 矩阵的秩等于它的列秩，也等于它的行秩.⑺ 设 C 二 AB，则 R(C)< min 8(A),R(B)?.(8)矩阵A经过初等行变换化为矩阵 B，则A、B的行向量组之间等价， A的列向量组与B相对应的列向量组有相同的线性组合关系.4. 向量空间(1)设V为n维向量的集合，如果集合 V非空，且集合V对于加法及数乘两种运算 (线性运 算)封闭，则称集合 V为向量空间. 所谓封闭，是指在集合 V中可以进行加法及数乘两种运算，即若 —Vj V，则展亠卩三V ；若「V，…R，则；.：；三V.设有向量空间V1,V2 , 若V1 V2，则称V1是V2的子空间.⑵ 设V为向量空间，如果r个向量〉1,〉2,lll, \ V且满足① ：、Cr线性无关；② V中任一向量都可由：二:工‘川，：、线性表示，则称向量组：“亠‘丨山亠为向量空间V的一个基，称r为向量空间V的维数，并称V是r维 向量空间.⑶ 设向量组〉1「2,川」r是向量空间V的一个基，则V中任一向 量X可以表示为X-、冷2丄2二2 •川…门r，称有序数组，1,，2,川，「为向量x关于基〉1,_：边,川，一“的坐 标.⑷设〉1,〉2,|||,〉n与'I, -2j||，'n是向量空间V的两个基，则爭1 = PlM +卩21。

2 +川+ PnQn^2 = Pl2% + P22^2 +川 + Pn^n1亠++^n = Pln^l +卩2.口2 +HI + Pnn^n即1ll P21 川 Pn1 ]1 ,Pl2 P22 川 Pn2«2-.T«2J.—心 ・ ■■=Pa.++ 4 4d+++ 4 44+R丿(当1，](i =1,2,|]l,n)均为行向量时，也取e1 ,e2，川en为行向量)直接写出由基e1,e2 ,IHen 分别到〉1「2,川，〉n和-1, '2^1, 'n的过渡矩阵，即(〉1」2,川亠)珂久e2,U G) A,(5匕,川，7珂U,e2」l ten) B，则有(1, -2jH, n^C 1/2^1 n) A _1B（：1,：2,lllW1「2,H「n） B J A ,从而可求得由基 +〉2,川宀到 FulHJn的过渡矩阵 A ’ B，或由 匚一：2,川J n到的的过渡矩阵bja•三例题精解例 1 讨论向量组：1 =(2,1,-1,-1),： 2 =(0,3,-2,0), ： 3 =(2,4,-3,-1)的线性相关性.解(1)定义法•设kv1 k^ 2 - k3〉3二0 •(设相关性方程)，按分量展开得到方程组2匕 + 2k3 =0』& +3k2 + 4k3 =0—ki —2k? —3k^ = 0—ki — k^ — 0求解得到匕=- k3, k2 = - k3 ,可见匕=k2 = 4, k3 = 1是该方程组的一组非零解，故 ：'1 , >2,〉3线性相关.(2)秩方法•将向量构成矩阵用初等变换求矩阵的秩.21-1-1、「3十21-1-1r^-r2‘21-1A =«2=03-2003-2003-20<24-3一1」1°3-20J1°00°」故R(A) =2，因此：」，>2, >3线性相关.例2讨论向量组 冷=(1,1,0),〉2 =(1,3,-1),〉3 =(5,3,t)的线性相关性.分析3个3维向量构成方阵，线性相关的充分必要条件为 | A | = 0 .<«1、110 '解作 A =«2=13-1，计算<53t」。