11-5函数展开成幂级数.ppt

第五节 函数展开成幂级数 第十一章 两类问题： 求 和展 开第 五 节函数展开成幂级数 第十一章 一、函数的幂级数展开式——泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数的充分必要条件 三、函数展开成幂级数的方法 一、函数的幂级数展开式—— 泰勒 ( Taylor ) 级数 定义问题:(1) 如果能展开, an 是什么?(2) 展开式是否唯一?(3) 在什么条件下才能展开成幂级数?1. 函数展开成幂级数2. an 的确定、展开式的唯一 性若在邻域U(x0 ,R) 内任意阶可导的函数f (x) 能展成幂级数:定理11.13 则其系数且展开式是唯一的.证则系数是唯一的,麦克劳林级数 (x0 = 0):定义11.3泰勒系数3. 泰勒级数(2) 收敛域 ？(3) 在收敛域 I 内，级数是否一定收敛到 f (x) ?4. 泰勒级数基本 问题即答：不一定.反例：由此可见，在 x = 0点任意可导,处处不收敛于设 f (x) 在区间 I上具有各阶导数, 二、函数展开成幂级数的充分必要 条件则 f (x) 在 I 上能展开成泰勒级数，即定理11.14 证必要性泰勒多项式泰勒级数充分性三、函数展开成幂级数的 方法 1. 直接展开法1º 求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · · ;2º 写出幂级数3º 判断展开方法直接展开法 — 用泰勒公式间接展开法 — 用已有展开式并求收敛半径 R ;步骤：例 1 将展开成 x 的幂级数. 解 收敛半径 即余项满足3º=?例2 将展开成 x 的幂级数.解 收敛半径 余项满足3°例 3 将展开成 x 的幂级数 (m: 任意常数) . 解2° 麦克劳林级数3° 设和函数为{ }二项展开式: 注 1°2° m 为正整数时, 得二项式定理:时二项展开式分别为3°2. 间接展开 法例4 将展开成 x 的幂级数.解 逐项求导:根据展开式的唯一性, 利用常见展开式, 通 过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 求展开式.例5 将展开成 x 的幂级数.解 连续, 因右端幂级数在 x ＝1 收敛 ,故展开式对 x ＝1 也成立,收敛域为注 取x = 1得,例6 将 展成的幂级数. 解 注思路：变量代回即可.例7-1 将展成 x－1 的幂级数. 解 例 8 解事实上，例 9解拆配化一展范围内容 小结 1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 — 用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 — 用幂级数性质及已有展开式.2. 常用函数的幂级数展开式思 考 题1. 函数处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级数” 有何不同 ?提示 后者必需证明前者无此要求.例5-1 将在x = 0处展为幂级数.解故备 用 题。