圆锥摆及其变形.docx

圆 锥 摆”及江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平 面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如 图［1］所示 “圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆 锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题 一、受力分析/如图［1］所示的圆锥摆，小球在水平面内做 匀速圆周运动，共受到重力 G 和悬线上拉力 T 两个力作用，这两个力的合力 F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O',它作为小球做匀速圆 周运动的向心力若悬线长为1,小球的质量 为m,悬线与竖直方向的夹角为a，则向心力 F=mg tana二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tana =m3 2r,其中r=1 sina，代入整理，得到其角速度：3 = g一根据这一表达式，进行1 COS a如下讨论：① 当悬线长度1一定时，3 * . 1 ，即悬线与竖直方向的夹角a随着小球角COS a速度3 的增大而增大② 若悬线的长度1和悬线与竖直方向的夹角a均不相同，但是1和cosa的乘积l cosa相同，则角速度3就相同，乘积l cosa实际上就等于小球到悬点在竖直方向 上的距离。

即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量 m 和悬线长度 l 各不相同，只要 小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度 3 就一定相同③ 小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值当悬线与竖直方向的夹角a =0 时，得到角速度3 0=：g，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的0 \ l角速度的最小值即只有当3> '-时，悬线才会被拉直，小球在11 水平面内做圆锥摆运动；如果3 < ■'g-，小球不会在水平面内做圆1锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 如图［2］所示）三、变形根据圆锥摆的受力特点和运动特点，可以将其进行如下几种变形：1、小球沿一个倒置的光滑圆锥面的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图［3］所示受力分析：这时小球在重力 G 和圆锥面对它的支持力N （相当于圆锥摆中悬线的拉力T）的合力F提供小 球做匀速圆周运动的向心力与圆锥摆比较：由于圆锥面的顶角e为一定值，根据 F=mg ctg =ma,2A得小球的向心力速度a=g ctg — ,可知所有在此圆锥面内做匀速圆周运动的小球，都具有相同大小的加速度；再由向心加速度公式：a= V2 =3 2r,2半径r越大（即离开圆锥顶点0越远），线速度v越大，角速度3越小。

3、细线一端系一小球，另一端固定于光滑圆锥面的顶点，小球在水平面内做圆周运动，如图［4］所示受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力G、细线对它的拉力T和圆锥面对它的支持力N这三个力的合力提供小球做圆周运动的向心力与圆锥摆比较：当角速度3较小时，小球将沿圆锥 面运动，此时分别将N和T分解到水平方向和竖直方向,A A图[4]AATcos +Nsin ~mg = 0 2 2列出方程：水平方向加乜-沁2”2r，竖直方向 不难看出，随着角速度3的增大，圆锥面对小球的支持力 N 将减小；当角速度3增大到3 = 时，圆锥面对小球的支持力N将减小到0,这是一个临界状态；如| 7 Al cos —果继续增大角速度3，小球将脱离圆锥面运动，如果将这种情况中的圆锥面去掉，而紧贴着小球的运动平面加一个光滑水平面，如图［5］所示小球在水平面内做匀速圆周运动时的受力情况、运动情况以及临界状态的分析，都同这种情况相似；所不同的是将原来的圆锥面对小球斜向上的支持力，改成现在水平面对小球竖直向上的支持力而已23、用两根细线，其一端系着一个小球，另一端系在一根匀速转动的竖直杆上的两点上，小球在水平面内做匀速圆周运动，如图［6］所示。

受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力G、细线AB对它的拉力T 和细线BC对它的拉力T2这三个力的合力提供小球做圆周运动的向心力与圆锥摆比较：①当角速度3较小，即当3 < g时，小球不会在水平面内做圆l周运动，此时两根细线小球将均缠绕在竖直杆上，小球随杆一起转动，如图［7］所示3图 ［ 7 ］3②当角速度3在下列范围:g <3 V. J，细线AB将被拉紧，而细线BC则l COS a处于松弛状态，这时情形与原始的圆锥摆相同，如图［8］所示③当角速度3 >g 时，两根细线都将被拉紧，也就是象图［6］中的情形了有兴趣的同学还可 l COS a以进一步讨论：这时细线AB和BC哪根线上拉力较大？如果两根细线的规格是相同 的，则随着角速度3的不断增大，哪根细线先断？断了以后再增大角速度3 ，又会 出现什么情况？等等另外，还可把圆锥摆问题放到电场、磁场中去，这时只要再原来的基础上再加 上电场力或者磁场力就行了，限于篇幅，这里就不再细述了。