中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期10月测试数学Word版含解析.docx

标准学术能力诊断性测试2024年10月测试数学试卷本试卷共150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由指数函数性质确定集合，再由交集定义计算．【详解】，又，所以，故选：A．2. 若，则（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】由可得，利用复数的除法可得z，结合共轭复数的概念以及模的计算，即得答案.【详解】由，可得，所以，故，故选：C3. 已知单位向量和，若，则（ ）A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B【解析】【分析】由即可求解.【详解】因为，，所以，所以，所以，所以，故选：B4. 已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（ ）A. 1：2 B. 1：1 C. 3：4 D. 2：3【答案】B【解析】【分析】根据圆柱与球的表面积公式求解即可.【详解】设球的半径为，则，由题意，圆柱底面半径、圆柱高均为，所以圆柱的表面积，所以圆柱与球的表面积之比为1：1.故选：B5. 已知，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可.【详解】，即，，即，，，解得，，.故选：D.6. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）A. 2 B. 0 C. 3 D. 无穷【答案】A【解析】【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论．【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，，又时，是增函数，即，所以，因此时，，令，它在上是减函数，，，，当时，，作出和在上图象，如图，由图可知：在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点，所以的零点个数为2.故选：A．7. 将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（ ）A. 将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位B. 将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位C. 将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍D. 将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的图象变换进行选择.【详解】由图象变换为的图象，有以下两种思路：（1）先将的图象向右平移个单位，得的图象，再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得的图象，故C正确，D错误；（2）先将的图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得的图象，再把所得函数图象向右平移个单位，得的图象，故AB错误.故选：C8. 定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数的周期为，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果.【详解】由可得，即关于对称，即，由可得关于对称，即，所以，令，则，代入可得，即，则，所以的周期为，由是定义在R上的函数，且关于对称，可得，又当时，，即，所以，当时，，且关于对称，则时，，又关于对称，则时，，即在一个周期内的值域为，则的最小值为.故选：B【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若，则函数关于中心对称；（2）若，则函数关于对称；（3）若，则函数周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分．9. 从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是（ ）A. 事件“为偶数”的概率为B. 事件“ab为偶数”的概率为C. 设，则X的数学期望为D. 设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12【答案】ABD【解析】【分析】确定从中随机取一个数，从中随机取一个数的所有可能取法数，根据古典概型的概率计算可判断ABD；根据数学期望的计算可判断C；【详解】从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，共有（种）可能；对于A，当时，时，为偶数；当时，时，为偶数；故共有4种可能，则事件“为偶数”的概率为，A正确；对于B，当时，时，为偶数；当时，时，为偶数；此时共有（种）可能，故事件“ab为偶数”的概率为，B正确；对于C，的取值可能为，则,故，C错误；对于D，的取值可能为，，，故在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12，D正确，故选：ABD10. 在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形B. 直线与所成角的余弦值为C. 三棱锥的体积为定值D. 的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】作出经过，，三点的截面，判断A的真假；作出异面直线与所成的角，利用等腰三角形的性质，求角的余弦，判断B的真假；判断点到平面的距离是否为定值，可判断C的真假；转化成平面上两点之间线段最短，并求出最小值，可判断D的真假.【详解】对A：如图：直线交直线于，设.因为，因为三点共线，所以，因为，所以.所以点段上.设射线与射线交于点，连接交于点.段上取点，使；段上取点，使.依次连接，可得经过，，三点的直棱柱的截面，可见截面不是四边形，故A错误；对B：如图：因为，所以即为异面直线与所成的角，设为.在中，，，所以，故B正确；对C：易知平面平面，平面，所以平面.点，所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值.故C正确；对D：如图将绕旋转，使共面，则.过作与直线垂直，垂足为.在中，，，，所以，，，所以.故D正确.故选：BCD11. 一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（ ）A. 存在直线，使得以AB为直径的圆与相切B. 的最小值为C. 的最大值为D. 的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对A，数形结合求出点到直线距离的最小值与比较可判断；对B，C，根据向量数量积运算结合，运算得解判断；对D，直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题，设，Ax1,y1，Bx2,y2，利用直线对称列式运算求解.【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上，则，坐标原点到直线的距离为，由图易知，，对于A，点到直线距离的最小值为，且，所以以为直径的圆与相离，故A错误；对于C，，，故C正确；对于B，，，故B正确；对于D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离，求直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题，设，Ax1,y1，Bx2,y2，点关于直线对称点为，则，直线，，由，消去整理得，即，即，，，同理，，，，的最小值为，所以最小值为，故D正确.故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线上点使得最小值转化为求直线上一点，的最小值问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为__________．【答案】【解析】【分析】先根据二项展开中含有的项满足的条件，再根据为正整数求出数列an的通项公式.【详解】展开式的通项为，由于展开式中存在项，令，则，所以.故答案为：13. 设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________．【答案】##【解析】【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点坐标，再结合已知求出双曲线的离心率.【详解】抛物线的焦点，直线不垂直于轴，设其方程为，由消去得：，设，则，由，得，由对称性不妨令点在第一象限，解得，，由点在双曲线上得，，又，解得，所以双曲线C的离心率.故答案为： 14. 已知，则的最小值为__________．【答案】2【解析】【分析】变形函数，换元构造函数，再利用导数分段探讨单调性求出最小值.【详解】函数，令，令，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递增，因此当时，，所以当时，取得最小值2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：利用对数运算法则变形，再换元构造新函数是解决本题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足．（1）若，，求的面积；（2）记BC边中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式得解；（2）利用向量的运算及余弦定理得出与的关系，再由基本不等式及为钝角得出范围即可.【小问1详解】因为，所以，又，即，所以，即，所以.【小问2详解】因为BC边的中点为D，所以,所以，又，所以，在三角形中，，所以，所以，即，又A为钝角，则，解得，故由，可得，所以.16. 如图所示，在四棱锥中，，，． （1）若平面，证明：平面；（2）若底面，，二面角的正弦值为，求的长．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据三角形三边长可得到三角形角度，再根据线面垂直得到线线垂直，结合同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由空间向量夹角的余弦公式列方程，即可得求答案.【小问1详解】证明：∵，，，即，∴，即，∵平面，平面，∴，∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】∵底面，底面，∴，，又，以点为原点，以所在的直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示： 令，则，，则，，设平面的法向量为n1=x1,y1,z1，∴，令，则，∴，设平面的法向量为，∴，令，则，∴，∵二面角的正弦值为，则余弦值为，又二面角为锐角，∴，解得，所以.17. 已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由．【答案】（1） （2），理由见详解.【解析】【分析】（1）据题意可知是正三角形，由直线垂直于，可证，由此可知，，进而得到椭圆方程；（2）设直线的方程为，，则，得到直线方程，直曲联立，由韦达定理可得，进而得到，代入直线方程可求出定点.【小问1详解】由题意可知， 因为离心率为，所以，所以，故是正。