高中数学 空间向量的正交分解及坐标展示课件 新人教A版选修2.ppt

1．知识与技能理解空间向量基本定理．了解基向量、基底的概念．2．过程与方法会用空间三个不共面的向量表示空间任一向量．重点：空间向量基本定理．难点：基底概念的理解和用基底表示空间任一向量．1．用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．2．空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基底．3．由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．4．用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”．1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝.(2)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做 ，空间任何三个的向量都可构成空间的一个基底．xa＋yb＋zc{a，b，c}基向量不共面2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为)(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz.单位正交基底公共起点Oe1，e2，e3(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p一定可以把它 ，使它的与原点O重合，得到向量 ＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得.我们把称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝ ．平移起点p＝xe1＋ye2＋ze3x、y、z(x，y，z)[例1]　若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[分析]　由题目可获取以下主要信息：①{a，b，c}是空间的一个基底；②判断{a＋b，b＋c，c＋a}是否也可作为该空间的一个基底．解答本题可先用反证法，判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[解析]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．[点评]　判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有________个．[答案]　3[解析]　②③④都可以作为空间的一组基底，对于①，x＝a＋b，显然{a，b，x}不能作为空间的一个基底.[点评]　用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．[分析]　若向量a可以用基向量e1，e2，e3表示为a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y，z)就是a在基底{e1，e2，e3}的坐标．[点评]　(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，a＝λe1＋μe2＋ke3，则a的坐标为(λ，μ，k)．(2)由(2)的结论可见， 的坐标等于终点的坐标减去起点A的坐标．[例5]　设a，b，c是三个不共面的向量，现从①a＋b，②a－b，③a＋c，④b＋c，⑤a＋b－c中选出一个，使其与a，b构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量有________．[误解]　容易错填为①②③④⑤.[正解]　③④⑤ [答案]　B 2．如果a、b、c共面，b、c、d也共面，则下列说法正确的是(　　)A．若b与c不共线，则a、b、c、d共面B．若b与c共线，则a、b、c、d共面C．当且仅当c＝0时，a、b、c、d共面D．若b与c不共线，则a、b、c、d不共面[答案]　A[答案]　D 二、填空题4．若a＝3e1＋2e2－e3，{e1，e2，e3}为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为________．[答案]　(3,2，－1)5．设命题p：{a，b，c}为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的________条件．[答案]　充分不必要[解析]　{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c一定不共面，则它们三者中无零向量，反之，若a，b，c是三个非零向量，它们可能共面，此时{a，b，c}不可能成为空间的一个基底．。