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同济六版高等数学课后答案全集第一章习题 1 1 1设 A (5)(5) B 10 3) 写出 AB AB AB 及 A(AB) 的表达式2设 A、B 是任意两个集合证明对偶律 (AB)C AC BC 3设映射 f X Y AX B X 证明(1)f(AB) f(A)f(B)(2)f(AB)f(A)f(B)4设映射 f XY若存在一个映射 g YX使XIfgYIgf其中IX、IY 分别是 X、Y 上的恒等映射即对于每一个 x X有 IX x x对于每一个y Y有 IY y y 证明 f 是双射且 g 是 f 的逆映射 g f 15设映射 f XY A X 证明(1)f 1(f(A)A(2)当 f 是单射时有 f 1(f(A)A 6求下列函数的自然定义域(1)23xy (2)211xy (3)211xxy(4)241xy(5)xysin(6) y tan(x 1) (7) y arcsin(x 3) (8)xxy1arctan3 (9) y ln(x 1)(10)xey17下列各题中函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x(2) f(x)x g(x)2x(3)334)(xxxf31)(xxxg(4)f(x) 1 g(x) sec2x tan2x 8 设3|03|sin|)(xxxx求)6()4()4( 2) 并作出函数 y(x)的图形 9 试证下列函数在指定区间内的单调性(1)xxy1 ( 1)(2)y x ln x (0)10设 f(x)为定义在 ( l l)内的奇函数若 f(x)在(0 l)内单调增加证明 f(x)在( l 0)内也单调增加11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间( l l)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y x2(1 x2)(2)y 3x2 x3(3)2211xxy(4)y x(x 1)(x 1)(5)y sin x cos x 1(6)2xxaay13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)y cos(x 2)(2)y cos 4x(3)y 1 sin x(4)y xcos x(5)y sin2x14求下列函数的反函数(1)31xy错误!未指定书签。

错误 !未指定书签2)xxy11错误 !未指定书签3)dcxbaxy(ad bc 0)(4) y 2sin3x(5) y 1 ln(x 2)(6)122xxy15设函数 f(x) 在数集 X 上有定义试证函数 f(x)在 X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既有上界又有下界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值 x1 和 x2 的函数值(1) y u2 u sin x61x32x(2) y sin u u 2x81x42x(3)uy u 1 x2 x1 1 x2 2(4) y eu u x2 x1 0 x2 1(5) y u2 u ex x1 1 x2117设 f(x)的定义域 D 0 1求下列各函数的定义域(1) f(x2)(2) f(sinx) (3) f(x a)(a0)(4) f(x a) f(x a)(a 0)18设1|11|01|1)(xxxxf g(x) ex 错误 !未指定书签求 fg(x) 和 gf(x)并作出这两个函数的图形19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角40 (图 1 37)当过水断面 ABCD的面积为定值 S0 时求湿周 L(L AB BC CD)与水深 h 之间的函数关系式并指明其定义域图 1 37 20收敛音机每台售价为90元成本为 60 元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购 1 台售价就降低 1 分但最低价为每台 75元(1)将每台的实际售价p 表示为订购量 x 的函数(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量 x 的函数(3)某一商行订购了 1000 台厂方可获利润多少？习题 1 2 1观察一般项 xn 如下的数列 xn 的变化趋势写出它们的极限(1)nnx21(2)nxnn1) 1(3)212nxn(4)11nnxn(5) xn n( 1)n2设数列xn 的一般项nnxn2cos问nnxlim? 求出 N使当 n N 时xn 与其极限之差的绝对值小于正数当0 001 时求出数 N3根据数列极限的定义证明(1)01lim2nn(2)231213limnnn(3)1lim22nann(4)19999.0lim个nn4aunnlim证明|limaunn并举例说明如果数列 |xn| 有极限但数列xn 未必有极限5设数列 xn 有界又0limnny证明0limnnnyx6对于数列 xn若 x2k 1a(k) x2k a(k )习题 1 3 1根据函数极限的定义证明(1)8) 13(lim3xx(2)12)25(lim2xx(3)424lim22xxx(4)21241lim321xxx2根据函数极限的定义证明(1)2121lim33xxx(2)0sinlimxxx3当 x2 时y x24问等于多少使当|x 2|时 |y 4|0) 8求下列函数的二阶导数(1)y cos2x ln x (2)21 xxy9求下列函数的 n 阶导数(1)mxy1(2)xxy1110 设函数 y y(x)由方程 e y xy e所确定求 y (0)11 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dxdy及二阶导数22dxyd(1)33sincosayax(2)tytxarctan1ln212求曲线tteyex 2在 t=0 相的点处的切线方程及法线方程13甲船以 6km/h 的速率向东行驶乙船以 8km/h 的速率向南行驶在中午十二点正乙船位于甲船之北16km 处问下午一点正两船相离的速率为多少? 14利用函数的微分代替函数的增量求302.1的近似值15已知单摆的振动周期glT2其中 g 980 cm/s2 l 为摆长 (单位为 cm)设原摆长为 20cm 为使周期 T 增大 0 05s 摆长约需加长多少？习题 3 1 1验证罗尔定理对函数y ln sin x 在区间65,6上的正确性2验证拉格朗日中值定理对函数y 4x3 5x2 x 2 在区间 0 1上的正确性3对函数 f(x) sin x 及 F(x) x cos x在区间2, 0上验证柯西中值定理的正确性4试证明对函数 y px2 qx r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间5不用求出函数 f(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)的导数，说明方程f (x) 0 有几个实根并指出它们所在的区间6证明恒等式2arccosarcsinxx( 1 x 1)7若方程 a0 xn a1xn 1 an 1x 0 有一个正根 x0 证明方程a0nxn 1 a1(n 1)xn 2 an 1 0 必有一个小于 x0 的正根8若函数 f(x)在(a b)内具有二阶导数且 f(x1) f(x2) f(x3)其中a x1 x2 x3 b证明在(x1 x3)内至少有一点使得 f ( ) 09设 a b 0 n 1证明nbn 1(a b) an bn nan 1(a b) 10设 a b 0证明bbabaabaln11 证明下列不等式(1)|arctan a arctan b| |a b|(2)当 x 1 时 ex e x 12证明方程 x5 x 1 0 只有一个正根13设 f(x)、g(x)在a b上连续在(a b)内可导证明在 (a b)内有一点使)()()()()()()()()(gagfafabbgagbfaf14 证明若函数 f(x)在()内满足关系式 f (x) f(x)且 f(0) 1 则 f(x) ex 15设函数 y f(x)在 x 0 的某邻域内具有 n 阶导数且 f(0) f (0)f (n 1)(0) 0 试用柯西中值定理证明!)()()(nxfxxfnn(01)习题 3 2 1用洛必达法则求下列极限(1)xxx)1ln(lim0(2)xeexxxsinlim0(3)axaxaxsinsinlim(4)xxx5tan3sinlim(5)22)2(sinlnlimxxx(6)nnmmaxaxaxlim(7)xxx2tanln7tanlnlim0(8)xxx3tantanlim2(9)xarcxxcot)11ln(lim(10)xxxxcossec)1ln(lim20(11)xxx2cotlim0(12)2120limxxex(13)1112(lim21xxx(14)xxxa)1 (lim(15)xxxsin0lim(16)xxxtan0)1(lim2验证极限xxxxsinlim存在但不能用洛必达法则得出3验证极限xxxxsin1sinlim20存在但不能用洛必达法则得出4讨论函数00)1 ()(2111xexexxfxx在点 x 0 处的连续性习题 3 3 1按(x 4)的幂展开多项式 x4 5x3 x2 3x 42应用麦克劳林公式按 x 幂展开函数 f(x) (x2 3x 1)33求函数xxf)(按(x 4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3 阶泰勒公式4求函数 f(x) ln x 按(x 2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式5求函数xxf1)(按(x 1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式6求函数 f(x) tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式7求函数 f(x) xex 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式8验证当210 x时按公式62132xxxex计算 ex 的近似值时所产生的误差小于 0 01 并求e的近似值使误差小于 0 019应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值并估计误差(1)330(2)sin1810利用泰勒公式求下列极限(1)23(lim434323xxxxx(2)1ln(coslim2202xxxexxx(3)2220sin)(cos1211lim2xexxxxx习题 3 4 1判定函数 f(x) arctan x x 单调性2判定函数 f(x) x cos x (0 x 2 )的单调性3确定下列函数的单调区间(1) y 2x3 6x2 18x 7(2)xxy82(x 0)(3)xxxy6941023(4)1ln(2xxy(5) y (x 1)(x 1)3(6)0()(2(32axaaxy(7) y xne x (n 0 x 0)(8)y x |sin 2x|4证明下列不等式(1)当 x 0 时xx1211(2)当 x 0 时221)1ln(1xxxx(3)当20 x时 sin x tan x 2x(4)当20 x时331tanxxx(5)当 x 4 时 2x x25讨论方程 ln x ax (其中 a 0)有几个实根？6单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子f(x) x sin x 7判定下列曲线的凹凸性(1) y 4x x2 (2) y sh x(3)xy11(x 0)(4) y x arctan x 8求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间(1) y x3 5x2 3x 5 (2) y xe x (3) y (x 1)4 ex (4) y ln(x2 1)(5) y earctan x (6) y x4(12ln x 7)9利用函数图形的凹凸性证明下列不等式(1) nnnyxyx)2()(21(x 0 y 0 x y n 1)(2)(22yxeeeyxyx(3)2ln)(lnlnyxyxyyxx(x 0 y 0 x y)10试证明曲线112xxy有三个拐点位于同一直线上11 问 a、b 为何值时点(1 3)为曲线 y ax3 bx2 的拐点？12试决定曲线 y ax3 bx2 cx d 中的 a、b、c、d 使得 x2 处曲线有水平切线 (110)为拐点且点( 2 44)在曲线上13试决定 。