指数函数单调性的判断.doc

1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a 大于 0 且不等于 1，对于 a 不大于 0 的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时 a 等于 0 函数无意义一般也不考虑2） 指数函数的值域为大于 0 的实数集合3） 函数图形都是下凹的4） a 大于 1，则指数函数单调递增；a 小于 1 大于 0，则为单调递减的5） 可以看到一个显然的规律，就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中（当然不能等于 0） ，函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近 于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置其中水平直线 y=1 是从递减到递 增的一个过渡位置6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,永不相交7） 函数总是通过（0，1）这点,(若 y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)（8） 显然指数函数无界 （9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数10）当两个指数函数中的 a 互为倒数时，两个函数关于 y 轴对称，但这两个函数都不 具有奇偶性底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在 f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移即“上加下减，左加右减”底数与指数函数图像：（1）由指数函数 y=a^x 与直线 x=1 相交于点（1，a)可知：在 y 轴右侧，图像从下到上 相应的底数由小变大2）由指数函数 y=a^x 与直线 x=-1 相交于点（-1，1/a）可知：在 y 轴左侧，图像从下 到上相应的底数由大变小3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在 y 轴右边“底大图高”；在 y 轴 左边“底大图低”幂的大小比较：比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较 A 与 B 的大小，先找一个中间值 C，再比较 A 与 C、B 与 C 的大小，由不等式的传递性得 到 A 与 B 之间的大小比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断例如：y1=3^4,y2=3^5，因为 3 大于 1 所以函数单调递增（即 x 的值越大，对应的 y 值越 大） ，因为 5 大于 4，所以 y2 大于 y1.（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律 来判断。

例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为 1/2 小于 1 所以函数图像在定义域上单调递减；3 大于 1， 所以函数图像在定义域上单调递增，在 x=0 是两个函数图像都过（0，1）然后随着 x 的增 大，y1 图像下降，而 y2 上升，在 x 等于 4 时，y2 大于 y1.（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较如：对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1 的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小） ， 就可以快速的得到答案哪么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知 “同大异小”即当底数 a 和 1 与指数 x 与 0 之间的不等号同向（例如： a 〉1 且 x 〉0，或0〈 a〈 1 且 x〈 0）时，a^x 大于 1，异向时 a^x 小于 1.〈3〉例：下列函数在 R 上是增函数还是减函数？说明理由.⑴y=4^x因为 4>1，所以 y=4^x 在 R 上是增函数；⑵y=(1/4)^x因为 0<1/4<1,所以 y=(1/4)^x 在 R 上是减函数。