直线的一般式方程最新版本.ppt

直直线的一般式方程的一般式方程.一、一、问题导入入.二、直二、直线的一般式方程的一般式方程1. 我我们可以可以发现，平面直角坐，平面直角坐标系中的每一条直系中的每一条直线都可以用一个关于都可以用一个关于x,y的二元一次方程的二元一次方程ax+by+c=0表示；表示；2. 每一个关于每一个关于x,y的二元一次方程的二元一次方程ax+by+c=0（（a,b不同不同时为0）是否都表示一条直）是否都表示一条直线呢？呢？(1)当当b 0时，方程可化，方程可化为 ，，这是是过点点 ，，以以(a,b)为一个法向量的直一个法向量的直线2)当当b=0时，方程，方程为ax+c=0，由于，由于a 0，方程化，方程化为 ,表示表示过点点 ,且垂直于且垂直于x轴的直的直线3.一般地，方程一般地，方程ax+by+c=0(a2+b2 0)叫做直叫做直线的的一般式方程一般式方程反思与点反思与点评1.直直线方程可以用二元一次方程方程可以用二元一次方程ax+by+c=0 (a2+b2 0)表示。

表示2. 直直线ax+by+c=0(a2+b2 0)的的 一个法向量：一个法向量：(a,b)；方向向量：；方向向量：(b, a)；；.例例1. 已知直已知直线l：：2x+3y 6=0，求直，求直线l的点方的点方向向 式方程和点法向式方程式方程和点法向式方程解：解： 在在2x+3y 6=0中，令中，令x=0，得，得y=2，，直直线过点点(0,2).直直线l的法向量的法向量为(3, 2) ,直直线l的方向向量的方向向量为(2,3) ,直直线l的点法向式方程的点法向式方程为2x+3(y 2)=0.直直线l的点方向向式方程的点方向向式方程为三、三、应用用举例例.反思与点反思与点评￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿由一般式方程化由一般式方程化为点法向式方程和点法向式方程和点方向式方程点方向式方程时，取的点是不唯一的，一般，取的点是不唯一的，一般取与坐取与坐标轴的交点的交点较简便例例2 （（1）求）求过点点A( 2,5)且平行于直且平行于直线 l:4x 3y 9=0的直的直线方程；方程；解解法法一：一： 直直线的方向向量的方向向量为(3,4)，，直直线的点方向式方程的点方向式方程为解解法二法二：： 直直线的法向量的法向量为(4, 3)，，直直线的法向式方程的法向式方程为4(x+2) 3(y 5)=0.解解法三法三：：设与与l:4x 3y 9=0平行的直平行的直线方程方程为4x 3y+c=0，，又直又直线过点点A( 2,5)，， 故故4( 2) 3 5+c=0，，c=23，，所以直所以直线的方程是的方程是4x 3y+23=0。

（（2）求）求过点点A( 2,5)且垂直于直且垂直于直线 l:4x 3y 9=0的直的直线方程解解法法一：一： 直直线的方向向量的方向向量为(4, 3)，，直直线的点方向式方程的点方向式方程为解解法二法二：： 直直线的法向量的法向量为(3,4)，，直直线的法向式方程的法向式方程为3(x+2)+4(y 5)=0.解解法三法三：：设与与l:4x 3y 9=0垂直垂直的直的直线方程方程为3x+4y+c=0，，又直又直线过点点A( 2,5)，， 故故3( 2)+4 5+c=0，， c= 14，，所以直所以直线的方程是的方程是3x+4y 14=0反思与点反思与点评 一般地，与直一般地，与直线ax+by+c=0平行的直平行的直线可可设为ax+by+c =0(c c)；而与直；而与直线ax+by+c=0垂直的垂直的直直线可可设为bx ay+c =0这样可以大大减少运算量可以大大减少运算量四、四、课堂堂练习1. 若直若直线(2 m)x+my+3=0的法向量恰的法向量恰为直直线 x my 3=0的方向向量，求的方向向量，求实数数m的的值。

解：由解：由题意两直意两直线垂直，垂直， 则两直两直线的法向量垂直，的法向量垂直， 故故(2 m) 1+m( m)=0，， 解得解得m=1或或m= 2..2．． 已知点已知点P(2, 1)及直及直线l:3x+2y 5=0，求：，求：（（1））过点点P且与且与l平行的直平行的直线方程；方程；（（2））过点点P且与且与l垂直的直垂直的直线方程 解：（解：（1））设直直线l方程方程为3x+2y+c=0，点，点P(2, 1) 代入，得代入，得c= 4，直，直线方程方程为3x+2y 4=0 （（2））设直直线l方程方程为2x 3y+c =0，点，点P(2, 1) 代入，得代入，得c = 7，，直直线l的方程的方程为2x 3y 7=03．正方形．正方形ABCD的的顶点点A的坐的坐标为( 4,0)，它的，它的中心中心M的坐的坐标为(0,3)，求正方形两条，求正方形两条对角角线AC、、BD所在的直所在的直线方程解：解： ，直，直线AC的点方向式方程的点方向式方程为 即即 3x 4y+12=0，， BD AC，故，故设BD所在直所在直线方程方程为 4x+3y+c=0，将点，将点M(0,3)代入，得代入，得c= 9，， 直直线BD方程方程为4x+3y 9=0。

例例3 求与直求与直线m:x y+1=0关于原点关于原点对称的称的 直直线l的方程O xy 1分析：直分析：直线m上的任意一点关于原点的上的任意一点关于原点的对称点称点 都在直都在直线l上解法一：直解法一：直线m上取两点上取两点 ( 1,0)和和(0,1)，，关于原点的关于原点的对称点称点为(1,0)和和(0, 1)，，故所求直故所求直线l的方程的方程为x y 1=0解法二：因解法二：因为直直线m与直与直线l平行，平行，故故设直直线l的方程的方程为x y+c=0又直又直线l过点点(1,0)，，故所求直故所求直线l的方程的方程为x y 1=0五、五、课堂小堂小结1. 直直线的一般形式的一般形式方程方程为ax+by+c=0 (a、、b不同不同时为0)；；2. 一般地，直一般地，直线ax+by+c=0(a2+b2 0)的的 法向量法向量 =(a,b)；方向向量；方向向量 =(b, a)，， 若若b 0，，则k= 。