含指数项广义平方映射的分岔和吸引子.pdf

含指数项广义平方映射的分岔和吸引子包伯成1)2)? 康祝圣3)? 许建平4)? 胡 ? 文1)1) ( 南京理工大学电子工程系, 南京? 210094)2) ( 江苏技术师范学院电气信息工程学院, 常州? 213001)3) ( 电子科技大学电子工程学院, 成都? 610054)4) ( 西南交通大学电气工程学院, 成都? 610031)( 2008 年 1月 21日收到; 2008 年2 月 12 日收到修改稿)? ? 由平方映射延伸构造出了一类含指数项的广义平方映射, 并由一维映射通过一次耦合项得到了二维映射. 利用一参数分岔图、 二参数动力学行为分布图、 映射迭代曲线和吸引子相图等方法对这类广义平方映射进行了分析和仿真. 研究结果表明: 一维广义平方映射分布在一个单位区域内的, 有着与单峰平方映射相类似的非线性动力学现象; 而二维广义平方映射则存在 Hopf 分岔和锁频等现象, 有着复杂多变、 形状奇异的极限环和混沌吸引子.关键词: 广义平方映射, 分岔, 迭代曲线, 吸引子PACC: 05451? 引言分岔和混沌等非线性现象广泛存在于电子学、物理学、 化学、 生物学以及技术科学、 社会科学等各 个领域[ 1, 2]. 混沌及其混沌控制在电子系统、 保密通信、 数据加密、 故障诊断等众多领域中得到了广泛的 应用[ 3]. 近年来, Hayes 和 Corron 等人通过加载随机 信号, 从线性系统中获得了反时间的混沌信号[ 4, 5],说明了混沌不仅是非线性动力学系统所特有的 现象.自从 Logistic 映射、 H?non 映射和 Lorenz 方程等 提出以来, 人们不断发现新的混沌系统[ 6? 10], 或者从已有的映射和方程等作延伸构造出新的混沌系 统[ 11? 13], 在对这些系统深入研究的基础上, 建立相应的理论体系[ 14? 16], 并不断发现新的非线性物理现 象[ 17, 18]. 平方映射与 Logistic 映射互为拓扑共轭, 是 非线性映射分岔和混沌现象的理论研究和应用实践的通用范例[ 12, 13, 18]. 本文重点研究一类含指数项的广义平方映射的动力学特征. 首先构造含指数项的广义平方映射, 其一维映射可以从平方映射中直接延伸出来, 而二维 映射则由一维广义平方映射通过一次耦合项得到.然后对它们非线性动力学现象进行详细的分析讨论 和数值仿真, 给出二维广义平分映射所具有的复杂多变、 形状奇异的极限环和混沌吸引子的仿真结果.2? 一维广义平方映射? ? 从平方映射xn+ 1= b[ 1- x2 n]( 1)出发, 我们首先定义本文提出的含指数项的一维广义平方映射xn+ 1= f ( xn) = b[ exp( ax2 n) - x2 n] ;a [ 5, + ! ] , b [- 1, 1] ,x ( 0) [- 1, 1] ,( 2)式中有两个控制参数 a 和 b.显然, 当 a= 0时, ( 2) 式变成( 1) 式, 即平方映射是上述定义的一维广义平方映射的特例. 换句话说,一维广义平方映射应具有平方映射的所有特征, 而它是否表现出其他新的特征将是本节讨论的重点.2?1? 函数曲线特征和不动点? ? 由( 2) 式可求出f ∀( x) = - 2bx[ aexp(- ax2) + 1] ,( 3)故此映射的临界点 x 为 0. 当 x = 0 时, 在 b [ - 1,0) 区间内, ( 2) 式具有极小值 b; 在 b ( 0, 1] 区间内,( 2) 式具有极大值 b; 若设 b [ - 1, 1] , 则满足 f :[ - 1, 1] #[ - 1, 1] .图 1( a) 为 b= 1 时, a= 5, 10, 50, 500 对应的函第 58 卷 第 3期 2009 年 3月 1000 ?3290? 2009 ?58(03)?1420 ?12物? 理? 学? 报 ACTA PHYSICA SINICAVol. 58, No. 3, March, 2009 ? 2009 Chin. Phys. Soc.数曲线; 图 1( b) 为 a= 10 时, b= 1, 0?7, 0?4, - 0?4,- 0?7, - 1 对应的函数曲线. 可见曲线的结构与上述分析的结果相符. 从图 1 中可以看出, 当 a ∃5, x 渐近 % 1 边界时, 广义平方映射函数的指数项部分迅速衰减并无限趋近0. 在 b ( - 1, 1) 区间内, 广义平方映射有一个不动点( 与对角线的交点) , 随着参数 b 的变化,不动点历经稳定点和不稳定点之间变化. 当 b 接近% 1 边界时, 广义平方映射将产生另一个新的不动点. 参数 a 越大, 广义平方映射不动点转变成不稳 定点时参数 b 离中心 0 点的距离越短, 即 b 的绝对值越小, 致使映射出现第一次倍周期分岔位置离中心 0点距离越小.图 1? (a) b= 1时, a= 5, 10, 50, 500对应的函数曲线; (b) a= 10 时, b= 1,0?7, 0 ?4, - 0?4, - 0 ?7, - 1对应的函数曲线图 2? 广义平方映射的分岔图和Lyapunov 指数? ? 当 b= % 1时, 映射方程在 x= % 1 边界附近各 产生一个不动点, 分别是 b= 1 时 x b= - 1时 x (b) 周期 5 窗; ( c) 三次迭代曲线; ( d) 五次迭代曲线图 5? ( a) 广义平方映射动力学行为分布图; (b) 局部图2?4? 动力学行为分布?? 二参数 a 和 b 同时变化时, 在初值 x ( 0) [ - 1, 1] 内, 广义平方映射的动力学行为分布如图 5 所示. 图 5是根据周期数的大小使用相应的黑白灰度将该映射点在二参数平面中绘出, 图 5( a) 的 x 坐标是线性尺度, y 坐标是指数尺度; 而图 5( b) 的 x和y 坐标都是线性尺度. 图中白色区域代表周期 1, 黑色区域代表混沌, 周期数越大则灰度越深.可以看出, 大周期数和混沌区域主要集中在参数 b 左右两侧区间内, 在此区间内还夹杂着小周期 数区域, 说明在混沌区域内存在周期窗口. 从图中还可以看出, 随参数 a 指数值增大, 大周期区域逐渐向参数 b 的中心 0 点靠拢. 在分布图上取水平直线, 就可以得到不同参数a 下参数 b 在[ - 1, 1] 范围内变化时映射的分岔图,如图 6 所示. 从图 6中可以看出, 广义平方映射具有与单峰平方映射和 Logistic 映射相类似的非线性动 力学现象, 随着参数的变化, 出现了倍周期分岔、 混沌、 切分岔、 阵发混沌、 周期窗等现象. 同时可以看出,14233 期包伯成等: 含指数项广义平方映射的分岔和吸引子a 值越大, 出现第一次分岔位置越趋向中心 0点.观察图 6, 我们发现, 当参数 a 增大时, 出现的Feigenbaum 倍周期分岔过程受到了一定的破坏. 图 6 ( a) 出现倍周期分岔所对应的 b 值分别为 0?1517,0?4764, 0?4997, 序列间隔比为 ?a= 13?9356; 图 6( b)出现倍周期分岔所对应的 b 值分别为 0?0492,0?331, 0?3771, 序列间隔比为 ?b= 6?1345. 计算结果与Feigenbaum 常数相差较大, 表明在大参数 a 时,映射的分岔行为没有严格遍历Feigenbaum 倍周期分 岔过程.图 6? 在不同参数 a 下 b 变化时的分岔图: ( a) a= 50; ( b) a= 5003? 二维广义平方映射3?1? 映射构造及其动力学行为? ? 通过一次耦合项, 构造以下二维广义平方映射xn+ 1= b1[ exp(- ax2 n) - x2 n] + ryn,yn+ 1= b2[ exp(- ay2 n) - y2 n] + rxn,( 5)二维广义平方映射的动力学行为是由控制参数 r,a, b1, b2决定. 选取参数在 r [ - 1, 1] , b1= b2= b[ - 1, 1] 的区间内同时变化, 二维广义平方映射的动力学行为分布图如图 7所示. 图 7( a) , ( c) 和( d) 为初值[ x0, y0] = [ 0, 0?1] 时, 参数 a= 10, 100, 1000时的分布图; 图 7( b) 则为初值[ x0, y0] = [ 0, 0] 时, 参数 a= 10 时的分布图. 从图 7中可以看到, 二维广义平方映射在不同参数 a 和初值下, 其动力学行为分布变化较大. 图7( a) 中大周期数和混沌区域主要集中在参数 r = 0?4 附近上下两个区间内, 从下面的分析得知, 在参数 r= 0?4 上区间内, 二维广义平方映射在出现周期 2 分岔后经由 Hopf 分岔通往混沌; 而下区间内, 则是先由倍周期分岔通往混沌, 然后经切分岔产生周期窗口, 并在其内发生 Hopf 分岔再进入混沌.图 7( c) 和 7( d) 逐步把两个混沌区域连成了一片.3?2? 分岔图及其分析? ? 当 a= 10, 初值[ x0, y0] = [ 0, 0?1] 时, 图 8 分别给出了 r = 0?5, r = 0?7, r = - 0?4, b1= b2= b [ - 1, 1] 时, 变量 y 的全局和局部分岔图.从图 8 可以看到, 二维映射 b1= b2= b 时, 分岔图具有一定的奇对称性, 因此我们只讨论 b [ 0, 1)区间内系统行为的演变情况.当 r = 0?5 时, 在图 8( a) 和 ( b) 中, 在 b [ 0, 0?16] 区间内, 系统趋于一个不动点, 增加参数b, 在 b= 0?16附近发生了倍周期分岔, 出现了周期2运行轨道; 在 b= 0?387 附近周期 2 轨道发生Hopf分岔, 系统将会在相平面上出现围绕着原有周期 2点的两个极限环; 进一步增加 b, 相平面会出现奇异吸引子.当 r= 0?7 时, 在图 8( c) 和( d) 中, 在 b= 0?089附近系统发生了周期 2分岔; 在 b= 0?306 附近周期2轨道失稳, 系统发生了 Hopf 分岔.当 r= - 0?4时, 在图 8( e) 和( f) 中, 系统出现的分岔现象较上面两种情况复杂. 在 b= 0?229附近系统发生了周期 2 分岔, 接着在 b= 0?425, b= 0?481和 b= 0?492 附近依次发生了周期 4、 周期 8 和周期16分岔, 直至出现混沌. 在 b= 0?564 附近系统发生切分岔, 产生了周期 2 窗口. 在 b [ 0?557, 0?665] 周期 2 窗区间内, 系统出现了以周期 5 为起始的和以1424物? ? 理? ? 学?? 报58卷图 7? 二维广义平方映射动力学行为分布图? ( a) a= 10, [ x0, y0] = [ 0, 0?1] ; (b) a= 10, [ x0, y0] = [ 0, 0] ; ( c) a= 100, [ x0,y0] = [ 0,0?1] ; ( d) a= 1000, [ x0, y0] = [ 0, 0 ?1]两个平行周期 3 为起始的吸引子共存现象. 在 b=0?659附近系统发生了Hopf 分岔, 相平面将出现两个极限环. 在 b= 0?690 附近系统又发生切分岔, 产生了周期 3 窗口, 周期 3 窗口内的周期轨道随着参数 b 增加, 在 b= 0?717 附近系统发生周期 2 分岔,并在 b= 0?733 附近发生 Hopf 分岔, 相平面将出现六个极限环; 然后在 b= 0?747 附近系统出现混沌危 机, 三个混沌窄带变成了一个混沌宽带.图 9 给出了另外一组不同参数值下, 选取某一分岔参数变化时变量 x 的分岔图.3?3? 极限环和混沌吸引子? ? 图 10 给出了不同参数值下二维广义平方映射的吸引子, 从图中可见奇异吸引子是一种始终限于 有限区域。