1.计算固体力学绪论.ppt

TSINGHUA UNIVERSITY计算固体力学计算固体力学第第1章章 绪论绪论庄庄 茁茁 2009.10TSINGHUA UNIVERSITY 本课程全面介绍非线性有限元的前沿性内容，本课程全面介绍非线性有限元的前沿性内容，使学习者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限使学习者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限元方法求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这元方法求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这些非线性力学的主要问题，增强工程结构中非线性些非线性力学的主要问题，增强工程结构中非线性计算和虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学计算和虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学和科研水平和科研水平计算固体力学课程体系计算固体力学课程体系TSINGHUA UNIVERSITY非线性有限元的内容：非线性有限元的内容：三场变分原理（弱形式）：速度，变形率，应力三场变分原理（弱形式）：速度，变形率，应力一种格式：一种格式：Lagrangian格式（格式（TL，，UL，，ALE）） TL－完全的－完全的L格式格式UL－更新的－更新的L格式格式两种解法：隐式和显式求解器两种解法：隐式和显式求解器隐式－隐式－Newton-Raphson迭代迭代显式－中心差分显式－中心差分三种非线性：材料，几何，接触三种非线性：材料，几何，接触材料：弹塑性，超弹性，粘弹性材料：弹塑性，超弹性，粘弹性几何：几何：Jaumann率，弧长法，率，弧长法，接触：接触：Lagrange乘子，罚函数乘子，罚函数计算固体力学课程体系计算固体力学课程体系TSINGHUA UNIVERSITY1.1.绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用，绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用，标记方法，网格表述和偏微分方程的分类。

标记方法，网格表述和偏微分方程的分类2 2））2.2.一维一维L L有限元：有限元：TLTL和和ULUL格式的控制方程格式的控制方程E E有限元：有限元：E E公式公式的控制方程，弱形式与强形式的控制方程，弱形式与强形式4 4））3.3.连续介质力学：变形和运动，应力－应变的度量，守恒方连续介质力学：变形和运动，应力－应变的度量，守恒方程，框架不变性程，框架不变性4 4））4.4.L L网格：网格：ULUL有限元离散，编制程序，旋转公式有限元离散，编制程序，旋转公式4 4））5.5.材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超弹材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超弹性一维塑性，多轴塑性，超弹－塑性（橡胶和泡沫模型）性一维塑性，多轴塑性，超弹－塑性（橡胶和泡沫模型），粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如，粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如J-CJ-C方程方程等应变硬化和软化应变硬化和软化4 4））6.6.求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分（求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分（N-N-R R求解等），显示时间积分（中心差分等）求解等），显示时间积分（中心差分等） ，波的传播问，波的传播问题。

题4 4））教学内容：计算固体力学课程体系计算固体力学课程体系TSINGHUA UNIVERSITY7. 7. 稳定性：稳定性和连续化，平滑性，数值稳定性，材料稳定稳定性：稳定性和连续化，平滑性，数值稳定性，材料稳定性屈曲和后屈曲，弧长法，模态分析屈曲和后屈曲，弧长法，模态分析4 4））8. 8. ALE有限元：有限元：ALE连续介质力学，公式推导，率形式，弱形连续介质力学，公式推导，率形式，弱形式，路径相关材料，网格更新方法，式，路径相关材料，网格更新方法，Petrov-Galerkin公式的公式的动量方程，离散方程的线性化，整体动量方程，离散方程的线性化，整体ALE公式4））9.有限元单元性能：分片试验，完备性和再造条件，有限元单元性能：分片试验，完备性和再造条件，Hu-Washizu多场变分原理，多场弱形式多场变分原理，多场弱形式4））10. 单元稳定性：体积自锁，剪切自锁，减积分，不完全积分，单元稳定性：体积自锁，剪切自锁，减积分，不完全积分，沙漏模式沙漏模式4））11. 梁、壳和连续体单元：理论分析，基于连续体（梁、壳和连续体单元：理论分析，基于连续体（CB）的梁4））12. 基于连续体（基于连续体（CB）的壳，连续体单元，膜单元的性能，假）的壳，连续体单元，膜单元的性能，假设应变单元，一点积分单元。

设应变单元，一点积分单元4））13. 接触和冲击：接触界面方程（主从接触，从从接触，多点约接触和冲击：接触界面方程（主从接触，从从接触，多点约束，约束方程），摩擦模型（罚函数，库仑等），接触弱形束，约束方程），摩擦模型（罚函数，库仑等），接触弱形式，有限元离散式，有限元离散4））计算固体力学课程体系计算固体力学课程体系TSINGHUA UNIVERSITY14. 14. 断裂力学的有限元计算：断裂力学的有限元计算：K K场计算，场计算，J J积分，积分，T T积分，动态裂积分，动态裂纹扩展计算（能量平衡、节点力释放和纹扩展计算（能量平衡、节点力释放和XFEMXFEM）4 4））15. 15. 流固弱耦合算法流固弱耦合算法2 2））计算固体力学课程体系计算固体力学课程体系程序训练：程序训练：1. 1. 显式有限元程序－显式有限元程序－DYFRACDYFRAC：大变形板壳结构分析计算：大变形板壳结构分析计算2. 2. 隐式有限元程序－隐式有限元程序－ABAQUS/StandardABAQUS/Standard：开发：开发UMATUMAT或或UELUEL接口接口程序，完成一个结构的完整计算分析过程程序，完成一个结构的完整计算分析过程成绩：成绩：1. 1. 期末考试：期末考试：6060％％2. 2. 程序实践：程序实践：2020％％3. 3. 课堂作业：课堂作业：2020％％TSINGHUA UNIVERSITY教材与参考书教材与参考书计算固体力学课程体系计算固体力学课程体系TSINGHUA UNIVERSITY 绪论绪论 1虚拟科学与工程（虚拟科学与工程（SBES））2有限元的发展和相关著作有限元的发展和相关著作3有限元软件的发展有限元软件的发展4非线性有限元的分类非线性有限元的分类5非线性有限元的应用非线性有限元的应用6网格和标记网格和标记7偏微分方程分类偏微分方程分类TSINGHUA UNIVERSITY1 1 虚拟科学与工程虚拟科学与工程(Simulation-based Engineering and Science，，SBES)TSINGHUA UNIVERSITY 人人类类需需要要借借助助各各种种工工具具来来增增强强、、延延伸伸和和扩扩大大自自己己认认识识世世界界的的能能力力，，虚虚拟拟科科学学与与工工程程(Virtual (Virtual ScienceScience and and Engineering)Engineering)正正是是用用高高科科技技手手段段构构造造出出一一种种人人工工环环境境，，帮帮助助工工程程师师和和科科学学家家创创造造一一个个时时域域和和空空域域可可变变的的虚虚拟拟世世界界，，使使人人们们能能够够在在这这个个虚虚拟拟世世界界中中纵纵观观古古今今，，瞬扶四海瞬扶四海，，实现从必然王国到自由王国的认识过程。

实现从必然王国到自由王国的认识过程 CAD/CAE/CAMCAD/CAE/CAM，，伴伴随随着着计计算算机机硬硬件件和和软软件件的的发发展展而发展，适应工业与科技的需求而发展，适应工业与科技的需求 在在国国家家十十一一、、五五发发展展规规划划中中，，提提出出自自主主创创新新、、集集成成创创新新、、引引进进吸吸收收再再创创新新，，发发展展CAECAE技技术术，，是是工工业业和和科技提高创新能力的手段之一科技提高创新能力的手段之一1 虚拟科学与工程虚拟科学与工程 TSINGHUA UNIVERSITY 纵纵观观古古今今，，瞬瞬扶扶四四海海：：源源于于我我国国晋晋代代的的儒儒学学家家陆陆机机（（261261－－303303））在在他他的的《《文文赋赋》》中中谈谈及及文文学学创创作作的的思思维维活活动动时时说说，，应应“观观古古今今于于须须臾臾，，扶扶四四海海于于一一瞬瞬”1 虚拟科学与工程虚拟科学与工程 实现从必然王国到自由王国的认识过程：实现从必然王国到自由王国的认识过程：源于源于毛泽东（毛泽东（18931893－－19761976）的）的《《实践论实践论》》。

纵纵观观古古今今为为从从时时间间尺尺度度，，是是宙宙的的概概念念；；瞬瞬扶扶四四海海为为从从空空间间尺尺度度，，是是宇宇的的概概念念驰驰骋骋宇宇宙宙为为在在四四维维时空尺度中遨游时空尺度中遨游TSINGHUA UNIVERSITY•虚拟科学与工程是指对科学现象、工程／产品虚拟科学与工程是指对科学现象、工程／产品的功能、性能和运行行为实施计算机模拟的方的功能、性能和运行行为实施计算机模拟的方法体系，尤其对：法体系，尤其对：•难以或耗资昂贵的科学现象的物理实验，如受难以或耗资昂贵的科学现象的物理实验，如受控热核反应、核聚变、环境污染等控热核反应、核聚变、环境污染等; ;•重大工程／复杂重大工程／复杂产品的功能、性产品的功能、性能和极端行为的能和极端行为的模拟仿真、科学模拟仿真、科学本质的显现，如本质的显现，如溃坝，车辆、船溃坝，车辆、船舶或飞机的碰撞舶或飞机的碰撞等1 虚拟科学与工程虚拟科学与工程 TSINGHUA UNIVERSITY•虚拟科学与工程是迅速发展中的计算力学、计算虚拟科学与工程是迅速发展中的计算力学、计算数学、计算物理、计算材料科学以及相关的计算数学、计算物理、计算材料科学以及相关的计算工程科学，与现代计算机科学和技术相结合，而工程科学，与现代计算机科学和技术相结合，而形成的一种综合性、集成化、网络化与智能化的形成的一种综合性、集成化、网络化与智能化的信息处理方法、技术和产品。

信息处理方法、技术和产品•科学与工程计算＝科学与工程计算＝》》•　　　科学与工程仿真＝　　　科学与工程仿真＝》》•　　　　　　虚拟科学与工程　　　　　　虚拟科学与工程1 虚拟科学与工程虚拟科学与工程 TSINGHUA UNIVERSITY1 虚拟科学与工程虚拟科学与工程 力力学学的的分分支支计计算算力力学学，，发发展展了了有有限限元元、、有有限限差差分分等等理理论论和和方方法法，，为为虚虚拟拟科科学学与与工工程程仿仿真真提提供供了了工工具具有有限限元元分分析析是是虚虚拟拟设设计计的的基基本本组组成成部部分分它它提提供供了了更更快快捷捷和和低低成成本本的的方方式式评评估估设设计计的的概概念念和和细细节节，，因因此此，，人人们们越越来来越越多多地地应应用用仿仿真真的的方方法法代替样品原型的试验代替样品原型的试验( (Virtual PrototypingVirtual Prototyping) )TSINGHUA UNIVERSITY 19971997年年9 9月月，，钱钱学学森森院院士士已已经经预预见见到到了了虚虚拟拟工工程程与与科科学学在在未未来来世世纪纪的的重重要要性性，，他他在在为为清清华华大大学学工工程程力力学学系系建建系系4040周周年年的的贺贺信信中中写写道道：：“随随着着力力学学计计算算能能力力的的提提高高，，用用力力学学理理论论解解决决设设计计问问题题成成为为主主要要途途径径，，而而试试验验手手段段成成为为次次要要的的了了。

由由此此展展望望2121世世纪纪，，力力学学加加电电子子计计算算机机将将成成为为工工程程设设计计的的主主要要手手段段，，就就连连工工程程型型号号研研制制也也只只用用电电子子计计算算机机加加形形象象显显示示都都是是虚虚的的，，不不是是实实的的，，所所以以称称为为“虚虚拟拟型型号号研研制制”（（Virtual Virtual PrototypingPrototyping））最最后后就就是是实实物物生生产产了1 虚拟科学与工程虚拟科学与工程 TSINGHUA UNIVERSITY1 Simulation-based Engineering and Science-SBES 20052005年年6 6月月，，美美国国总总统统信信息息技技术术咨咨询询委委员员会会的的报报告告中中指指出出“计计算算科科学学已已成成为为科科学学领领导导地地位位、、经经济济竞竞争争力力和和国国家家安安全全的的关关键键”，，并并发发出出“美美国国政府还没有充分认识到计算科学的潜力政府还没有充分认识到计算科学的潜力”的警告 20062006年年2 2月月，，美美国国国国家家科科学学基基金金会会（（NSFNSF））发发表表报报告告“基基于于仿仿真真的的工工程程与与科科学学”( (Simulation-Simulation-based based Engineering Engineering and and ScienceScience，，SBESSBES) )，，指指出出“SBESSBES采采用用模模拟拟和和计计算算机机仿仿真真的的原原理理和和方方法法以以获获取取和和应应用用知知识识并并造造福福人人类类，，应应成成为为工工程程与与科科学学领领域国家优先发展项目域国家优先发展项目”。

TSINGHUA UNIVERSITY1 Simulation-based Engineering and Science-SBES目标目标: : 在在数数学学建建模模、、计计算算方方法法、、计计算算机机速速度度和和数数据据集集成成处处理理的的科科学学与与技技术术的的进进展展已已经经将将计计算算机机仿仿真真领领域域带带到到了了一一个个新新纪纪元元的的门门口口，，它它可可能能史史无无前前例例地地改改善善了了人人类类的的健健康康、、安安全全、、产产品品和和国国家家的的竞竞争争力力如如果果不不依依靠靠仿仿真真方方法法，，就就不不可可能能在在一个新的层面上理解、发展和利用大量的关键技术一个新的层面上理解、发展和利用大量的关键技术 ----The The NSF NSF BR BR Panel Panel Report Report on on SBES-J.T. SBES-J.T. OdenOden, 2007, 2007 TSINGHUA UNIVERSITY1 Simulation-based Engineering and Science-SBESScience-Cambridge International Dictionary of English:Knowledge obtained from the systematic study of the structure and behavior of the physical universe, involving experimentation and measurement and the development of the theories to describe the results of these activities. Knowledge obtained in two ways:Observation and theory. TSINGHUA UNIVERSITY1 Simulation-based Engineering and Science-SBESEngineering- is the application of science to the needs of humanity. This is accomplished through the application of scientific and mathematical principles, and practical experience to the design of useful objects or processes.Engineering Science- is the systematic acquisition of knowledge for the purpose of applying it to the solution of problems effecting the needs and well-being of human kind.SBES- engineering science and science that employs the principles and methods of modeling and computer simulation to acquire and apply knowledge for the benefit of human kind. TSINGHUA UNIVERSITY 美美国国西西北北大大学学教教授授WK. WK. LiuLiu预预言言：：在在不不久久的的将将来来，，将将构构建建出出集集成成化化的的多多尺尺度度(MM)(MM)程程序序分分析析系系统统，，和和基基于于概概率率与与仿仿真真的的工工程程与与科科学学（（SBESSBES））数数学学框框架架，，应应用用通通过过验验证证与与确确认认（（V&VV&V））的的精精心心设设计计的的实实验验，，在在皮皮秒秒尺尺度度(10(10-12-12s) s) 上上计计算算，，能能够够完完成成包包含含材料生命周期评估的产品设计和制造的数值仿真。

材料生命周期评估的产品设计和制造的数值仿真1 Simulation-based Engineering and Science-SBESW.K. Liu, Simulation-Based Engineering and Science Approach to Analysis and Design of Microsystems: From a Dream to a Vision to Reality, In proceedings of the WTEC Workshop on U.S. R&D in Simulation-Based Engineering and Science, 2007, 77-95 TSINGHUA UNIVERSITY2 2 有限元的发展和相关著作有限元的发展和相关著作TSINGHUA UNIVERSITY2 2 有限元的发展和相关著作有限元的发展和相关著作• 涉及非线性有限元分析的著作包括涉及非线性有限元分析的著作包括:Zienkiewicz和和Taylor(1967), (1991), (2000),庄茁、岑松译，有限元方法庄茁、岑松译，有限元方法(第第5版版)－第－第2卷，固体力学，卷，固体力学，清华大学出版社，清华大学出版社，2006 Oden(1972), 是固体和结构非线性有限元分析的开拓是固体和结构非线性有限元分析的开拓Kleiber(1989), Crisfield(1991), Zhong ZH(1993)。

Belytschko和和Hughes(1983)，，Hughes（（1987））Cook、、Malkus和和Plesha(1989) Bathe(1996), Bonet和和Wood(1997),Simo和和Hughes(1998)2.1 著作著作 TSINGHUA UNIVERSITY徐芝纶，弹性力学问题的有限单元法，水利电力出版社，徐芝纶，弹性力学问题的有限单元法，水利电力出版社，1972 谢贻权，何福保编著谢贻权，何福保编著，，弹性和塑性力学中的有限单元法，机械工业出版社，弹性和塑性力学中的有限单元法，机械工业出版社，1981徐次达，华伯浩，固体力学有限元理论、方法及程序，水利电力出版社，徐次达，华伯浩，固体力学有限元理论、方法及程序，水利电力出版社，1983 王勖成，邵敏，有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出版社，王勖成，邵敏，有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出版社，1987，，1995王勖成，有限单元法，清华大学出版社，王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003郭乙木，陶伟明，庄茁，线性与非线性有限元及应用，郭乙木，陶伟明，庄茁，线性与非线性有限元及应用，机械工业出版社，机械工业出版社，2003Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, T. Belytschko, W. K. Liu, B. Moran, John Wiley & Sons, Ltd, 2000庄茁等译，连续体和结构的非线性有限元，清华大学出版社，庄茁等译，连续体和结构的非线性有限元，清华大学出版社，20022 2 有限元的发展和相关著作有限元的发展和相关著作TSINGHUA UNIVERSITY有限元的创立与科学的发展和工业界需求相关有限元的创立与科学的发展和工业界需求相关Ray W. Clough，， 毕业于毕业于MIT1949，，Berkeley土木工程学院任教土木工程学院任教1952，，Boeing 暑期研究，暑期研究， detal三角形机翼振动分析，三角形机翼振动分析， 应用传统梁理论和数学计算，基于一维梁模型的应用传统梁理论和数学计算，基于一维梁模型的 机翼结构挠度计算结果与小比例机翼模型试验数机翼结构挠度计算结果与小比例机翼模型试验数 据相差甚远，工作失败。

据相差甚远，工作失败1953，计算小三角形板的刚度性能，将一片片汇合成机翼，，计算小三角形板的刚度性能，将一片片汇合成机翼， direct stiffness method–直接刚度法，有限元的雏形直接刚度法，有限元的雏形 机翼结构挠度计算结果与小比例模型试验数据吻合机翼结构挠度计算结果与小比例模型试验数据吻合1955，，John H. Argyris, 矩形单元矩形单元1956，第一篇有限元文章发表第一篇有限元文章发表 2 有限元的发展和有限元的发展和相关著作相关著作2.2 发展历史发展历史 TSINGHUA UNIVERSITY• 通通过过波波音音研研究究组组的的工工作作和和TurnerTurner、、CloughClough、、MartinMartin和和ToppTopp（（19561956））的的著著名名文文章章，，使使线线性性有有限限元元分分析析得得以以闻闻名名，，不不久久后后，，在在许许多多大大学学和和研研究究所所里里，，工工程程师师们们开开始始将将方方法法扩扩展展至至非非线线性性、、小小位位移移的的静静态态问问题题。

他他们们非非常常清清楚楚有有限限元元方方法法的的前前途途，，它它提提供供了了处处理理复复杂杂形形状状真真实实问问题题的的可可能能性2 2 有限元的发展和相关著作有限元的发展和相关著作TSINGHUA UNIVERSITY• 我我们们不不仅仅关关注注发发表表的的文文章章，，而而是是更更关关注注软软件件的的发发展展在在这这个个信信息息－－计计算算机机时时代代，，象象许许多多其其它它方方面面的的进进步步一一样样，，在在有有限限元元分分析析中中，，软软件件常常常常比比文文献献更更好好地地代代表表了了最最新新的的进展有限元程序两条脉络：有限元程序两条脉络：隐式隐式 - ABAQUS/Standard，，Nastran，，ANSYS，，MARC显式显式 - ABAQUS/Explicit，，Dytran，，Dyna3D2 2 有限元的发展和相关著作有限元的发展和相关著作TSINGHUA UNIVERSITY3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITY在在20世世纪纪60年年代代，，由由于于Ed Wilson发发布布了了他他的的第第一一个个程程序序，，这这种种激激情情终终于于被被点点燃燃了了。

这这些些程程序序的的第第一一代代没没有有名名字字在在遍遍布布世世界界的的许许多多实实验验室室里里，，通通过过改改进进和和扩扩展展这这些些早早期期在在Berkeley开开发发的的软软件件，，工工程程师师们们扩扩展展了了新新的的用用途途，，带带来来了了对工程分析的巨大冲击和有限元软件的随之发展对工程分析的巨大冲击和有限元软件的随之发展SAP：： 在在 Berkeley开开 发发 的的 第第 二二 代代 线线 性性 程程 序序 称称 之之 为为SAP（（Structural Analysis Program）），，之之后后发发展展的的第第一一个个非非线线性性程程序序是是NONSAP，，它它具具有有隐隐式式积积分分进进行行平平衡衡求求解解和瞬时问题求解的功能和瞬时问题求解的功能3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展隐式有限元程序隐式有限元程序-ImplicitTSINGHUA UNIVERSITYMARC ：：1969年年，，在在Brown大大学学任任教教的的Pedro Marcal，，为为了了第第一一个个非非线线性性商商业业有有限限元元程程序序进进入入市市场场，，于于建建立立了了一一个个公公司司；；程程序序命命名名为为MARC ，，目目前前它它仍仍然然是是主主要要软软件件，，1999年被年被MSC公司兼并，公司兼并，MSC/MARC。

ANSYS：：大大约约在在同同期期，，John Swanson为为了了核核能能应应用用在在Westinghouse发发展展了了一一个个非非线线性性有有限限元元程程序序为为了了使使ANSYS程程序序进进入入市市场场，，他他于于1969年年离离开开WestinghouseANSYS尽尽管管主主要要是是关关注注非非线线性性材材料料而而非非求求解解完完全全的的非非线线性性问题，它多年来仍垄断了商业非线性有限元软件的舞台问题，它多年来仍垄断了商业非线性有限元软件的舞台3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITYABAQUS ：：David Hibbitt，，他他与与Pedro Marcal合合作作到到了了1972年年，，1978年年创创立立了了HKS公公司司，，使使ABAQUS商商用用软软件件进进入入市市场场因因为为该该程程序序是是能能够够引引导导研研究究人人员员增增加加用用户户单单元元和和材材料料模模型型，，对对软软件件行行业业带带来来了了实实质质性性的的冲冲击击2005年年被被法法国国达达索索公公司司(Dassault Systemes)收收购购，，该该公公司司的的主主要产品有要产品有CATIA。

2007年更名为年更名为SimuliaTSINGHUA UNIVERSITYNASTRAN ：：大大型型通通用用有有限限元元软软件件The MacHeal-Schwendler Corporation (MSC)，，1963年年创创立立，，主主要要得得到到美美国国航航空空界界赞赞助助，，如如NASA和和FAA，，为为飞飞行行器器验验证证软软件件前处理为前处理为PATRAN3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展按照美国反垄断法，于按照美国反垄断法，于2003年将年将NASTRAN源代码一式二源代码一式二份，分别属于：份，分别属于：MSC/NASTRAN ：：MSC公司产品；公司产品；NX.NASTRAN ：：UGS公司产品公司产品 2007年，年，SIEMENS收收购购UGSTSINGHUA UNIVERSITYADINA ：：Jürgen Bathe是是在在Ed Wilson的的指指导导下下在在Berkeley获获得得博博士士学学位位的的，，不不久久之之后后开开始始在在MIT任任教教，，这这期期间间他他便便发发布布了了他他的的程程序序这这是是NONSAP软软件件的的派派生生产产品品，，称称为为ADINA 。

据据说说UGS目目前前正正准准备备兼兼并并ADINA 3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITYDOEDOE实实验验室室的的工工作作强强烈烈地地影影响响了了早早期期的的显显式式有有限限元元方方 法法 ，， 特特 别别 是是 命命 名名 为为hydro-codes的的 软软 件件 ，，Wilkins(1964)显式有限元程序显式有限元程序-Explicit3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITY 在在1964年年，，Costantino在在芝芝加加哥哥的的IIT研研究究院院发发展展了了可可能能是是第第一一个个显显式式有有限限元元程程序序它它局局限限于于线线性性材材料料和和小小变变形形，，由由带带状状刚刚度度矩矩阵阵乘乘以以节节点点位位移移计计算算内内部部的的节节点点力力它它首首先先在在一一台台IBM7040系系列列计计算算机机上上运运行行，，花花费费了了数数百百万万美美元元，，其其 速速 度度 远远 远远 低低 于于 一一 个个 megaflop和和 32000字字 节节 RAM 刚刚度度矩矩阵阵存存储储在在磁磁带带上上，，通通过过观观察察磁磁带带驱驱动动能能够够监监测测计计算算的的过过程程；；当当每每一一步步骤骤完完成成时时，，磁磁带带驱驱动动将将逆逆转转以以便便允允许许阅阅读读刚刚度度矩矩阵阵。

这这些些和和以以后后的的Control Data机机器器有有类类似似的的性性能能，，如如CDC6400和和6600一一台台CDC6400价价值值为为一一千千万万美元，美元，32k内存和大约一个内存和大约一个megaflop的真实速度的真实速度3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITY一一台台CDC6400价价值值为为一一千千万万美美元元，，32k内内存存和和大大约约一一个个megaflop的的真真实实速度3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITY每芯片的晶体管数每过18个月加倍为为什什么么要要发发展展纳纳米米技技术术奔奔腾腾ⅣⅣ最最小小元元件件～～ 130纳纳米米保持计算机技术保持计算机技术的持续高速发展！的持续高速发展！TSINGHUA UNIVERSITY在在1969年年，，开开发发了了著著名名的的从从单单元元到到单单元元的的求求解解技技术术；；节节点点力力计计算算不不必必应应用用刚刚度度矩矩阵阵因因此此发发展展了了名名为为 SAMSON的的二二维维有有限限元元程程序序，，它它被被美美国国的的武武器器实实验验室室应应用用了了十十年年。

在在1972年年，，该该程程序序功功能能扩扩展展至至结结构构的的完完全全非非线线性性三三维维瞬瞬态态分分析析，，称为称为WRECKER3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITY这一工作得到美国运输部敢于幻想的计划经理这一工作得到美国运输部敢于幻想的计划经理Lee Ovenshire的基金资助，他在七十年代初期就预言汽的基金资助，他在七十年代初期就预言汽车的碰撞试验可能被仿真所代替车的碰撞试验可能被仿真所代替然然而而，，比比他他所所预预言言的的时时间间稍稍微微提提前前了了一一点点，，在在当当时时进进行行一一个个300300个个单单元元模模型型的的仿仿真真，，对对于于两两千千万万次次模模拟拟需需要要约约3030小小时时机机时时，，花花费费约约3 3万万美美元元，，相相当当于于助助理理教教授授三三年年的的工工资资Lee Ovenshire的的计计划划资资助助了了若若干干个个开开拓拓性性的的工工作作：：Hughes的的接接触触－－冲冲击击，，Ivor McIvor的的碰碰撞撞工工作作，，以以及及由由Ted Shugar和和Carly Ward在在Port Hueneme的的关关于于人人头头的的模模拟拟研研究。

究3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITYWHAMSWHAMS：但是，大约在1975年，运输部认为仿真太昂贵，决定所有的基金转向试验方面，使这些研究努力令人痛心的停止下来在Ford，WRECKER勉强维持生存了下一个十年，在Argonne，由Belytschko发展的显式程序被移植应用在核安全工业上，其程序命名为SADCAT和WHAMS WHAMS-PFRACTsinghua-MPFRAC 3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITYDYNA：：显显式式有有限限元元程程序序发发展展的的里里程程碑碑来来自自于于Lawrence Livermore实实验验室室的的John Hallquist的的工工作作1975年年，，John开开始始他他的的工工作作，，1976年年，，他他首首先先发发布布DYNA程程序序他他慧慧眼眼吸吸取取了了前前面面许许多多人人的的成成果果，，并并且且与与Berkeley的的研研究究人人员员紧紧密密交交流流合合作作，，包包括括Jerry Goudreau，，Bob Taylor，，Tom Hughes和和Juan Simo。

他他之之所所以以成成功功的的部部分分关关键键因因素素是是与与Dave Benson合合作作发发展展了了接接触触－－冲冲击击相相互互作作用用，，和和他他的的令令人人敬敬畏畏的的编编程程效效率率，，以以及及计计算算程程序序DYNA-2D和和DYNA-3D的广泛传播的广泛传播3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITY 目目前前，，隐隐式式方方法法比比显显式式方方法法的的功功能能增增加加得得更更加加迅迅速速对对于于处处理理非非线线性性约约束束，，例例如如接接触触和和摩摩擦擦，，隐隐式式方方法法已已经经有有了了明明显显的的改改进进稀稀疏疏迭迭代代求求解解器器也也已已经经成成为为更更加加有有效效的的工工具具科科学学与与工工程程分分析析功功能能的的强强健健需需要要两两种种方方法法的的有有效效性性 因因此此，，在在工工业业和和研研究究中中，，精精通通非非线线性性软软件件的的应应用用要要求求分分析析者者重重视视对对于于非非线线性性有有限限元元方方法法的的理理解解，，能能够够清清楚楚在在分分析析中中许多有兴趣的挑战和机遇这将是本课程的宗旨许多有兴趣的挑战和机遇。

这将是本课程的宗旨3 3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITY中国建研院：中国建研院：PKPM－建筑结构分析程序－建筑结构分析程序胡平胡平(北北)KMAX和和钟志华钟志华(南南)：分别开发了研制汽车：分别开发了研制汽车 覆盖件模具的有限元软件覆盖件模具的有限元软件梁国平：梁国平：飞箭软件飞箭软件大连理工大学：大连理工大学：有限元程序有限元程序郑州机械所：郑州机械所：紫瑞软件紫瑞软件清华大学：清华大学：DYFRAC－断裂与强度分析程序－断裂与强度分析程序 PCPC－管道裂纹任意扩展程序－管道裂纹任意扩展程序…3 有限元软件的发展有限元软件的发展TSINGHUA UNIVERSITYCAECAE的发展概况与前景的发展概况与前景国内外高性能计算对比分析国内外高性能计算对比分析 目目前前我我国国与与美美国国研研究究领领域域先先进进的的数数值值仿仿真真相相比比，，在在计计算算机机硬硬件件设设备备和和软软件件开开发发能能力力，，以以及及基基础础研究等方面存在的主要差距有以下几点：研究等方面存在的主要差距有以下几点：（（1 1）硬件与软件环境）硬件与软件环境 在在硬硬件件方方面面，，美美国国国国家家实实验验室室装装备备了了峰峰值值速速度度为为136.8136.8万万亿亿次次计计算算机机，，用用于于结结构构分分析析的的计计算算机机浮浮点点运运算算速速度度，，我我国国与与美美国国相相差差2 2～～3 3个个数数量量级级。

在在软软件件方方面面，，美美国国可可以以同同时时利利用用数数千千个个CPUCPU开开展展并并行行计计算算，，而而我我国国在在结结构构分分析析方方面面有有效效使使用用的的CPUCPU并并行行应应用用数数量量比比美美国国低低1 1～～2 2个个数数量量级级，，在在并并行行计计算算效效率率方方面面严严重重依赖于国外商用软件依赖于国外商用软件TSINGHUA UNIVERSITY 20052005年年，，LLNLLLNL装装备备的的蓝蓝色色基基因因计计算算机机的的并并行行计计算算峰峰值值速速度度达达到到136.8136.8万万亿亿次次美美国国完完成成了了武武器器系系统统在在敌敌方方辐辐射射与与爆爆炸炸冲冲击击波波环环境境下下的的仿仿真真，，以以及及武武器器系系统统从从库库存存到到靶靶目目标标的的多多物物理理场场动动力力学学数数值值仿仿真真，，计计算算规规模达数千万乃至上亿自由度模达数千万乃至上亿自由度 19921992年年法法国国在在进进行行了了210210次次核核试试验验之之后后，，宣宣布布其其核核武武器器更更新新将将依依靠靠数数值值仿仿真真计计划划来来实实现现，，该该项项目目1515年年总总投投资资210210亿亿欧欧元元，，这这标标志志着着发发达达国国家家在在复复杂杂武武器器工工程分析方面已经进入了大规模并行计算时代。

程分析方面已经进入了大规模并行计算时代 参考文献参考文献[1] ASC program plan FY05, NNSA, USA, 2002-2003[2] 法国原子能委员会《挑战》，2003年6～8月刊CAECAE的发展概况与前景的发展概况与前景TSINGHUA UNIVERSITY 美美国国战战略略武武器器储储存存和和管管理理的的挑挑战战是是确确保保突突发发事事件件时时的的攻攻击击力力量量随随着着美美国国千千枚枚核核弹弹头头的的预预期期寿寿命命将将至至，，其其可可靠靠性性和和安安全全性性问问题题也也随随之之暴暴露露由由IBMIBM公公司司和和洛洛斯斯. .阿阿拉拉莫莫斯斯国国家家实实验验室室研研制制出出每每秒秒千千万万亿亿次次的的超超级级计计算算机机“走走鹃鹃”，，价价值值1.33亿亿美美元元，，它它能能精精确模拟核弹头爆炸的情况确模拟核弹头爆炸的情况 “走走鹃鹃”一一天天的的工工作作量量＝＝60亿亿台台笔笔记记本本电电脑脑每每天天24小小时时连连续续工工作作46年年包包括括1.296万万个个微微处处理理器器，，11.664万万个个芯芯片片目目标标直逼每秒百亿亿次速度。

直逼每秒百亿亿次速度－－－－《《纽约时报纽约时报》》2008.06.09CAECAE的发展概况与前景的发展概况与前景TSINGHUA UNIVERSITY（（2 2）求解规模）求解规模 美美国国在在结结构构动动力力学学分分析析的的求求解解规规模模已已达达到到数数千千万万自自由由度度，，而而我我国国在在结结构构非非线线性性问问题题分分析析中中的的求求解解规规模模一一般般限限制制在在百百万万自自由由度度量量级级与与美美国国相相比比，，自自由由度度数数目目相相差差1 1～～2 2个个数数量量级级，，这这样样使使得得三三维维数数值值仿仿真真非非线线性性分分析析模模型型的的规规模模较较小小，，对对结结构构的的物物理理内内涵涵和和几几何何细细节节考考虑虑不不够够充充分分再再是是大大量量的的仿仿真真分分析析基基于于通通用用商商用用程程序序完完成成，，数数值值仿仿真真方方法法研研究究和和软软件件开开发发的的能能力力不不足足，，没有形成较强的创新能力没有形成较强的创新能力CAECAE的发展概况与前景的发展概况与前景TSINGHUA UNIVERSITY基于网络架构的基于网络架构的NEST系统平台系统平台CAECAE的发展概况与前景的发展概况与前景TSINGHUA UNIVERSITY硬件技术：硬件技术：上海超级计算中心－曙光上海超级计算中心－曙光4000A系统峰值系统峰值10.2Tflops（（10万亿次万亿次/秒）秒）512节点节点×4＝＝2048CPU内存内存4256GB，容量，容量95TBCAECAE的发展概况与前景的发展概况与前景清华航院的并行计算机群－清华航院的并行计算机群－－－ 985-I期（期（39万）万）系统峰值系统峰值0.3万亿次万亿次/秒，秒，16节点节点×2＝＝32CPU－－985-II期（期（220万）万）系统峰值系统峰值2.77万亿次万亿次/秒，秒，32节点节点×8＝＝256CPUTSINGHUA UNIVERSITY4 4 非线性有限元的分类非线性有限元的分类TSINGHUA UNIVERSITY•线线性性分分析析：：外外加加载载荷荷与与系系统统的的响响应应之之间间为为线线性性关关系系。

例例如如线线性性弹弹簧簧，，结结构构的的柔柔度度阵阵（（将将刚刚度度阵阵集集成成并并求求逆逆））只只需需计计算算一一次次通通过过将将新新的的载载荷荷向向量量乘乘以以刚刚度度阵阵的的逆逆，，可可得得到到结结构构对对其其它它载载荷荷情情况况的的线线性性响响应应此此外外，，结结构构对对各各种种载载荷荷情情况况的的响响应应，，可可以以用用常常数数放放大大和和/ /或或相相互互叠叠加加，，以以确确定定它它对对一一种种全全新新载载荷荷情情况况的的响响应应，，所所提提供供的的新新载载荷荷情情况况是是前前面面各各种种载载荷荷的的叠叠加加（（或或相相乘乘））这这种种载载荷荷的的叠叠加加原原理理假假定定所所有有的的载载荷荷情况采用了相同的边界条件情况采用了相同的边界条件4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类TSINGHUA UNIVERSITY•非非线线性性分分析析：：非非线线性性结结构构问问题题是是指指结结构构的的刚刚度度随随其其变变形形而而改改变变所所有有的的物物理理结结果果均均是是非非线线性性的的线线性性分分析析只只是是一一种种近近似似，，它它对对设设计计来来说说通通常常已已经经足足够够了了但但是是，，对对于于许许多多结结构构包包括括加加工工过过程程的的模模拟拟（（诸诸如如锻锻造造或或者者冲冲压压））、、碰碰撞撞分分析析以以及及橡橡胶胶部部件件的的分分析析（（诸诸如如轮轮胎胎或或者者发发动动机机支支座座）），，线线性性分分析析是是不不够够的的。

一一个个简简单单例例子子就就是是具具有有非非线线性性刚刚度度响应的弹簧响应的弹簧4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类TSINGHUA UNIVERSITY4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类•由由于于刚刚度度依依赖赖于于位位移移，，所所以以不不能能再再用用初初始始柔柔度度乘乘以以外外加加载载荷荷的的方方法法来来计计算算任任意意载载荷荷时时弹弹簧簧的的位位移移在在非非线线性性隐隐式式分分析析中中，，结结构构的的刚刚度度阵阵在在整整个个分分析析过过程程中中必必须须进进行行许许多多次次的的生生成成和和求求逆逆，，分分析析求求解解的的成成本本比比线线性性隐隐式式分分析析昂昂贵贵得得多多在在显显式式分分析析中中，，非非线线性性分分析析增增加加的的成成本本是是由由于于稳稳定定时时间间增增量量减减小小而造成的而造成的•非非线线性性系系统统的的响响应应不不是是所所施施加加载载荷荷的的线线性性函函数数，，因因此此不不能能通通过过叠叠加加来来获获得得不不同同载载荷荷情情况况的的解解答答每每种种载载荷荷情情况况都都必必须须作作为为独独立立的的分分析析进进行行定定义义和和求解TSINGHUA UNIVERSITY4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类非线性的来源：非线性的来源：在结构的力学模拟中有三种：在结构的力学模拟中有三种：材料非线性材料非线性边界非线性（接触）边界非线性（接触）几何非线性几何非线性TSINGHUA UNIVERSITY4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类材料非线性材料非线性 大大多多数数金金属属在在低低应应变变值值时时都都具具有有良良好好的的线线性性应应力力/ /应应变变关关系系；；但但是是在在高高应应变变时时材材料料发发生生屈屈服服，，此此时时材材料料的的响响应应成成为为了了非线性和不可恢复的。

非线性和不可恢复的 橡橡胶胶材材料料是是一一种种非非线线性性、、可恢复（弹性）响应的材料可恢复（弹性）响应的材料 材材料料的的非非线线性性也也可可能能与与应应变变以以外外的的其其它它因因素素有有关关应应变变率率相相关关材材料料数数据据和和材材料料失失效效都都是是材材料料非非线线性性的的形形式式材材料料性性质质也也可可以以是是温温度度和和其其它它预预先先定定义的场变量的函数义的场变量的函数TSINGHUA UNIVERSITY4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类边界非线性边界非线性 如如果果边边界界条条件件在在分分析析过过程程中中发发生生变变化化，，就就会会产产生生边界非线性问题悬臂梁随着施加的载荷产生挠曲边界非线性问题悬臂梁随着施加的载荷产生挠曲 梁梁端端点点在在接接触触到到障障碍碍物物以以前前，，其其竖竖向向挠挠度度与与载载荷荷成成线线性性关关系系（（如如果果挠挠度度是是小小量量））当当碰碰到到障障碍碍物物时时梁梁端端点点的的边边界界条条件件发发生生了了突突然然的的变变化化，，阻阻止止了了任任何何进进一一步步的的竖竖向向挠挠度度，，因因此此梁梁的的响响应应将将不不再再是是线线性性的的。

边边界界非非线线性性是是极极度度的的不不连连续续；；当当在在模模拟拟中中发发生生接接触触时时，，结结构中的响应在瞬时会发生很大的变化构中的响应在瞬时会发生很大的变化 另另一一个个边边界界非非线线性性的的例例子子是是将将板板材材材材料料冲冲压压入入模模具具的的过过程程在在与与模模具具接接触触前前，，板板材材在在压压力力下下比比较较容容易易发发生生伸伸展展变变形形在在与与模模具具接接触触后后，，由由于于边边界界条条件件的的改改变，必须增加压力才能使板材继续成型变，必须增加压力才能使板材继续成型TSINGHUA UNIVERSITY4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类几何非线性几何非线性 几何非线性发生在位移大小几何非线性发生在位移大小影响到结构响应的情况由于：影响到结构响应的情况由于：大挠度或大转动；大挠度或大转动；“突然翻转突然翻转”（（Snap throughSnap through）；）；初应力或载荷刚性化初应力或载荷刚性化 如如果果端端部部的的挠挠度度较较小小，，可可以以认认为为是是近近似似的的线线性性分分析析然然而而，，如如果果端端部部的的挠挠度度较较大大，，结结构构的的形形状状乃乃至至其其刚刚度度都都会会发发生生改改变变。

另另外外，，如如果果载载荷荷不不能能保保持持与与梁梁轴轴垂垂直直，，载载荷荷对对结结构构的的作作用用也也将将发发生生明明显显的的改改变变当当悬悬臂臂梁梁挠挠曲曲时时，，载载荷荷的的作作用用可可以以分分解解为为一一个个垂垂直直于于梁梁的的分分量量和和一一个个沿沿梁梁长长度度方方向向的的分分量量这这两两种种效效应应都都会会对对悬悬臂臂梁梁的的非非线线性性响响应应产产生生贡贡献献（（即即，，随随着着梁梁承承受受载载荷荷的的增增加加，，梁梁的的刚刚度度发发生变化）生变化）TSINGHUA UNIVERSITY4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类 不不难难理理解解大大挠挠度度和和大大转转动动对对结结构构承承载载的的方方式式会会产产生生显显著著的的影影响响然然而而，，并并不不一一定定位位移移相相对对于于结结构构尺尺寸寸很很大大时时，，几几何何非非线线性性才才显显得得重重要要考考虑虑一一块块很很大大的的具具有有小小曲曲率的板在所受压力下的率的板在所受压力下的“突然翻转突然翻转” 板板的的刚刚度度在在变变形形时时会会产产生生剧剧烈烈的的变变化化当当板板突突然然翻翻转转时时，，刚刚度度变变负负；；尽尽管管位位移移量量值值相相对对于于板板的的尺尺寸寸很很小小，，但是有明显的几何非线性，必须在模拟中加以考虑。

但是有明显的几何非线性，必须在模拟中加以考虑 TSINGHUA UNIVERSITY4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类几何非线性几何非线性刚性悬臂梁刚性悬臂梁值域值域平衡条件约束刚度K线性关系非线性关系TSINGHUA UNIVERSITY4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类几何非线性几何非线性刚性悬臂柱刚性悬臂柱平衡条件约束刚度K线性关系非线性关系 3个解答有限元分析：有限元分析：Buckling特征值特征值(eigenvalues)－弹性临界－弹性临界(屈曲屈曲)载荷载荷特征向量特征向量(eigenvectors)－屈曲模态－屈曲模态TSINGHUA UNIVERSITY非线性分析包含下列步骤：非线性分析包含下列步骤：•建立模型－建立模型－Pre-process•基本方程的公式基本方程的公式•离散方程离散方程•求解方法求解方法•表述结果－表述结果－Post-process4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类TSINGHUA UNIVERSITY4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类非线性有限元基本解决方案：非线性有限元基本解决方案：材料非线性－材料非线性－ Newton-Raphson迭代迭代(隐式隐式)，， 中心差分，中心差分，R-K（显式）（显式）边界非线性－接触边界非线性－接触 (约束，连接，摩擦，滑移）约束，连接，摩擦，滑移） Lagrange乘子，罚函数乘子，罚函数几何非线性－考虑几何非线性－考虑Jaumann率的大变形算法，率的大变形算法， 弧长法（弧长法（Riks））TSINGHUA UNIVERSITY非线性分析包含几个重要主题：非线性分析包含几个重要主题：•选择近似的方法（如选择近似的方法（如Newton-Raphson））•选择合适的网格描述，动力学和运动学的描述选择合适的网格描述，动力学和运动学的描述•检验结果和求解过程的稳定性（物理和数值）检验结果和求解过程的稳定性（物理和数值）•认识模型的平滑响应和隐含的求解质量和困难认识模型的平滑响应和隐含的求解质量和困难•判断假设的作用和误差的来源判断假设的作用和误差的来源4 非线性非线性有限元的分类有限元的分类TSINGHUA UNIVERSITY5 5 非线性有限元的应用非线性有限元的应用（略）（略）TSINGHUA UNIVERSITY6 6 网格和标记网格和标记 TSINGHUA UNIVERSITY6 6 网格和标记网格和标记 非线性有限元分析关联三个领域：非线性有限元分析关联三个领域：•线性有限元方法，结构分析矩阵方法的扩展；线性有限元方法，结构分析矩阵方法的扩展；•非线性连续介质力学；非线性连续介质力学；•数学，包括数值分析、线性代数和泛函。

数学，包括数值分析、线性代数和泛函标记方法：矩阵、张量和指标标记标记方法：矩阵、张量和指标标记TSINGHUA UNIVERSITY3种标记方法：种标记方法：1. 指标标记指标标记 矢量，一阶张量，指标重复两次为求和，矢量，一阶张量，指标重复两次为求和， 三维问题三维问题 缺点：公式，程序难以阅读缺点：公式，程序难以阅读2. 张量标记张量标记 指标不出现，独立于坐标系统：直角，柱，曲线指标不出现，独立于坐标系统：直角，柱，曲线 小写黑体字母表示一阶小写黑体字母表示一阶, v，大写表示高阶，大写表示高阶, E; 除外 内部指标缩并，内部指标缩并， 例如线性本构方程：例如线性本构方程： 6 网格和标记网格和标记 TSINGHUA UNIVERSITY3. 矩阵标记矩阵标记二次项：二次项： 应变能：应变能：， 6 网格和标记网格和标记 TSINGHUA UNIVERSITYVoigt标记标记 在在有有限限元元编程程中中，，将将对称称的的二二阶张量量写写成成列列矩矩阵。

我我们将将它它和和高高阶张量量的的任任何何其其它它换算算称称为列列矩矩阵Voigt标记关于关于转换对称二称二阶张量到列矩量到列矩阵的的过程称程称为Voigt规则 动力力学学Voigt规则：：Voigt规则取取决决于于是是否否一一个个张量量是是一一个个动力力学学量量，，诸如如应力力，，或或者者运运动学学量量，，诸如如应变关关于于动力学力学张量的量的Voigt规则，，诸如如对称称张量（量（二维问题）二维问题） ija1112221236 网格和标记网格和标记 TSINGHUA UNIVERSITYVoigt标记标记 运运动学学Voigt规则 对于二于二阶张量，运量，运动学学张量，量，诸如如应变也也可可以以在在表表A1.1中中给出出但但是是，，剪剪切切应变，，即即用用不不相相同同指指标表表示示的的分分量，需要乘以量，需要乘以2因此，关于因此，关于应变的的Voigt规则为 张量量 Voigt (A1.3)矩阵向量化矩阵向量化 i是分量指标，I是节点编号6 网格和标记网格和标记 TSINGHUA UNIVERSITY空间坐标：空间坐标：x x, , EulerianEulerian坐标，指一点在空间的位置。

坐标，指一点在空间的位置材料坐标：材料坐标：X, LagrangianX, Lagrangian坐标坐标, , 标记一个材料点，每一个标记一个材料点，每一个材料点有唯一的材料坐标，一般为在物体初始构形中的空间坐材料点有唯一的材料坐标，一般为在物体初始构形中的空间坐标，当标，当t=0, X=xt=0, X=x物体的运动或变形用函数物体的运动或变形用函数称其为在初始构形与当前构形之间的变换，如运动：称其为在初始构形与当前构形之间的变换，如运动：逆变换：逆变换：1. 1. 网格描述，网格描述，2. 2. 动力学描述，应力张量和动量方程动力学描述，应力张量和动量方程3. 3. 运动学描述，应变度量运动学描述，应变度量6 网格和标记网格和标记 TSINGHUA UNIVERSITY6 网格和标记网格和标记 Lagrangian网格和网格和Eulerian网格描述网格描述TSINGHUA UNIVERSITY6 网格和标记网格和标记 一一个个Lagrangian网网格格像像在在材材料料上上的的蚀蚀刻刻：：当当材材料料变变形形时时，，蚀蚀刻刻(和和单单元元)随着变形随着变形 一一个个Eulerian网网格格像像放放在在材材料料前前面面一一薄薄片片玻玻璃璃上上的的蚀蚀刻刻：：当当材材料料变变形形时时，，蚀蚀刻刻不不变变形形，，而而材材料横穿过网格。

料横穿过网格TSINGHUA UNIVERSITY6 网格和标记网格和标记 Lagrangian网格，材料点与网网格，材料点与网格点保持重合，单元随材料变格点保持重合，单元随材料变形，适合描述固体与结构的变形，适合描述固体与结构的变形，但容易严重扭曲形，但容易严重扭曲解决方法：解决方法：ALE网格网格(Arbitrary Lagrangian Eulerian) 节点能够有序地任意运动，在节点能够有序地任意运动，在边界上的节点保持在边界上运边界上的节点保持在边界上运动，内部的节点运动使网格扭动，内部的节点运动使网格扭曲最小化曲最小化TSINGHUA UNIVERSITY7 7 偏微分方程分类偏微分方程分类 TSINGHUA UNIVERSITY 当当面面对对这这样样的的力力学学问问题题，，引引起起物物体体开开裂裂的的原原因因既既要要考考虑虑到到温温度度的的影影响响，，又又要要考考虑虑到到振振动动的的效效应应，，我我们们会被问到：应该选择哪种类型的偏微分方程会被问到：应该选择哪种类型的偏微分方程? ? 在在有有限限元元软软件件中中，，可可以以将将各各种种因因素素作作为为输输入入文文件件，，计计算算得得到到解解答答。

然然而而，，当当讨讨论论这这些些结结果果的的合合理理性性时时，，我我们们会会被被问问到到：：哪哪些些因因素素控控制制着着解解答答，，什什么么情情况况下下是是温温度度控控制制，，或或是是振振动动控控制制，，他他们们共共同同控控制制解解答答的的条条件件是什么是什么? ? 带带着着这这些些问问题题，，为为了了理理解解各各种种有有限限元元程程序序的的适适用用性，我们需要理解偏微分方程的属性性，我们需要理解偏微分方程的属性7 7 偏微分方程分类偏微分方程分类 TSINGHUA UNIVERSITY在在ABAQUSABAQUS中使用的关于自由度的顺序约定如下：中使用的关于自由度的顺序约定如下：1 11 1方向的平动方向的平动2 22 2方向的平动方向的平动3 33 3方向的平动方向的平动4 4 绕绕1 1轴的转动轴的转动5 5 绕绕2 2轴的转动轴的转动6 6 绕绕3 3轴的转动轴的转动7 7 开口截面梁单元的翘曲开口截面梁单元的翘曲8 8 声压、孔隙压力或静水压力声压、孔隙压力或静水压力9 9 电势电势1111 实体单元的温度实体单元的温度 （或质量扩散分析中的归一化浓度），（或质量扩散分析中的归一化浓度）， 或者梁和壳厚度上第一点的温度或者梁和壳厚度上第一点的温度12 12 梁和壳厚度上其它点的温度（继续增加自由度）梁和壳厚度上其它点的温度（继续增加自由度）7 7 偏微分方程分类偏微分方程分类 TSINGHUA UNIVERSITY1.双曲线，典型问题是波的传播，如弦振动双曲线，典型问题是波的传播，如弦振动2.抛物线，典型问题是扩散方程，如热传导抛物线，典型问题是扩散方程，如热传导3.椭椭 圆，典型例子是弹性力学平衡方程；圆，典型例子是弹性力学平衡方程； Laplace方程，及其非齐次方程，及其非齐次Poisson方程；方程； 断裂力学中断裂力学中Griffith解答解答, 应用了应用了Inglis无限大无限大 平板含椭圆孔的解。

平板含椭圆孔的解7 7 偏微分方程分类偏微分方程分类 双曲线双曲线抛物线抛物线椭椭 圆圆为为了了理理解解有有限限元元程程序序的的适适用用性性，，解解答答的的属属性性，，影影响响解解的的因因素素，，如如解解答答的的平平顺顺性性，，信信息息传传播播(如如波波、、力力和和场场)、、边边界界与与初初始始条条件的影响，因此需要了解各种类型的偏微分方程件的影响，因此需要了解各种类型的偏微分方程 如如果果不不计计时时间间相相关关性性，，三三个个方方程程退退化化为为同同一一种种形形式式，，固固体体力力学方程从双曲线变化为椭圆学方程从双曲线变化为椭圆TSINGHUA UNIVERSITY7 7 偏微分方程分类偏微分方程分类 PDEs推演是先降为一阶系统，如两个未知量的一个准线性系统：推演是先降为一阶系统，如两个未知量的一个准线性系统：PDEs分类依据是线段或者表面是否存在交叉，若存在交叉，导分类依据是线段或者表面是否存在交叉，若存在交叉，导数是不连续的数是不连续的式中的式中的Ai, Bi, Ci, Di是独立变量是独立变量x和和y，以及两个非独立变量，以及两个非独立变量u和和v的的函数。

方程中的导数是线性的方程中的导数是线性的 让让我我们们检检验验u和和v在在x-y平平面面内内是是否否可可能能有有不不连连续续的的导导数数考考虑虑参参数数为为s的的一一条条曲曲线线ГГ，，沿沿着着Г导导数数可可能能连连续续，，横横向向Г导导数数可可能能不不连续由连锁法则，非独立变量的导数可以写成连续由连锁法则，非独立变量的导数可以写成：TSINGHUA UNIVERSITY7 7 偏微分方程分类偏微分方程分类 将上面公式写成一个矩阵方程，得到将上面公式写成一个矩阵方程，得到如果导数是不连续的，上面系统线性代数方程的解答是非确定如果导数是不连续的，上面系统线性代数方程的解答是非确定的，例如，没有唯一解答，它暗示的，例如，没有唯一解答，它暗示 在某些运算后，在某些运算后，得到一个条件服从得到一个条件服从 式中式中除以除以，并注意到，并注意到TSINGHUA UNIVERSITY7 7 偏微分方程分类偏微分方程分类 得到一元二次方程得到一元二次方程公式的解答为二次方程的根公式的解答为二次方程的根 有两族特征函数，双曲线，导数不连续有两族特征函数，双曲线，导数不连续有一族特征函数，抛物线，平滑有一族特征函数，抛物线，平滑无实特征函数，无实特征函数， 椭椭 圆，平滑圆，平滑 双双曲曲线线系系统统的的特特征征－－存存在在交交叉叉，，穿穿过过特特征征函函数数线线的的导导数数可可能能是不连续的，如应变或速度分量。

是不连续的，如应变或速度分量TSINGHUA UNIVERSITY7 7 偏微分方程分类偏微分方程分类 1.双曲线，典型问题是波的传播，如弦振动双曲线，典型问题是波的传播，如弦振动 在在双双曲曲线线系系统统中中，，信信息息以以有有限限的的速速度度传传播播，，例例如如一一维维情情况况，，波波速速为为c c＝＝x/tx/t的的直直线线斜斜率率一一个个力力在在t t＝＝0 0时时刻刻施施加加在在杆杆的的左左端端，，在在右右侧侧x x处处的的观观察者直到波传播到该点时才有感觉察者直到波传播到该点时才有感觉例例1 1：一维波动方程：一维波动方程其解答为两个实根其解答为两个实根 波速为波速为 的直线斜率的直线斜率TSINGHUA UNIVERSITY2. 2. 抛物线，典型问题是扩散方程，如热传导抛物线，典型问题是扩散方程，如热传导7 7 偏微分方程分类偏微分方程分类 在在抛抛物物线线系系统统中中，，仅仅存存在在一一族族特特征征函函数数值值，，它它们们平平行行于于时时间间轴轴，，因因此此信信息息以以无无限限速速度度传传播播施施加加在在杆杆的的左左端端的的热热源源，，使使得得沿沿着着整整个个杆杆件件的的温温度度瞬瞬间间升升高高，，升升温温呈呈梯梯度度变变化化，，远远离离热热源源处处，，温温度度增增加加的的可可能能非非常常少少，，而而在在双双曲曲线线型型模模型型中中，，该该处处在在波波传传播播到到达达前没有反应。

前没有反应例例2 2：一维热传导的方程：一维热传导的方程TSINGHUA UNIVERSITY7 7 偏微分方程分类偏微分方程分类 3. 3. 椭圆，典型例子是弹性力学平衡方程椭圆，典型例子是弹性力学平衡方程 在在椭椭圆圆系系统统中中，，虚虚根根，，无无实实特特征征函函数数，，与与双双曲曲线线是是对对立立的的，，方方程程与与时时间间无无关关，，在在任任何何边边界界点点的的数数据据趋趋向向于于影影响响全全部部解解答答，，数数据据的的影影响响域域是是全全部部区区域域而而在在边边界界处处小小量量的的不不规规则则数数据据满满足足St.VenantSt.Venant’s s原原理理求求解解椭椭圆圆PDEsPDEs的的困困难难在在于于边边界界处处尖尖角角所所导导致致的的解解答答奇奇异异性性，，如如断断裂裂力力学学中中的的裂裂纹纹尖尖端端奇奇异异性性和和赫赫兹兹接接触触中中的的边边界界奇奇异异性性等例例3 3：平面弹性力学的：平面弹性力学的LaplaceLaplace方程方程TSINGHUA UNIVERSITY学习要求学习要求 计算机仿真的计算机仿真的5 5个方面训练：个方面训练：1.1.理论模型：科学知识，经验公式，实验数据理论模型：科学知识，经验公式，实验数据2.2.数学模型：推导和描述系统和过程的数学公式数学模型：推导和描述系统和过程的数学公式3.3.计算模型：建立前处理模型，算法，数据处理计算模型：建立前处理模型，算法，数据处理4.4.计计算算模模型型的的求求解解：：计计算算机机科科学学，，工工程程数数学学，，概概率统计率统计5.5.后后处处理理，，预预见见、、决决策策：：经经验验和和准准则则，，数数据据分分析析的知识，科学原理的理解的知识，科学原理的理解TSINGHUA UNIVERSITY作业作业: 1.6练习练习: 1, 2主主要要内内容容：：非非线线性性有有限限元元的的基基本本概概念念，，发发展展历历史史，，工工程程应应用用，，标标记记方方法法，，网网格格表表述述和和偏偏微分方程的分类。

微分方程的分类 TSINGHUA UNIVERSITY谢谢谢谢Written by庄茁© Copyright 2009。