复变函数2.ppt

2019/1/3,第一章 复变函数2,1,第一章 复变函数,§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数 §1.3 导数 §1.4 解析函数 §1.5 平面标量场,2019/1/3,第一章 复变函数2,2,1、定义,§1.3 导数,设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z，极限,存在，则称函数f(z)在z点处可导（或可微），并称该极限值为函数f(z)在z点处的导数（或微商），记为,2019/1/3,第一章 复变函数2,3,2、求导法则:,,,形式上与实函数一样!,2019/1/3,第一章 复变函数2,4,3、柯西－黎曼条件,导数与z→0的方式无关，可沿复平面上任一曲线逼近零下面研究沿实轴和虚轴逼近的路径若f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在点z=x+iy处可导，则有,其中已令z= x+iy, f(z+z)-f(z)=u+iv, 及,2019/1/3,第一章 复变函数2,5,沿实轴：y=0, z= x→0, 式(A)可写为,沿虚轴：x=0, z=iy→0, 式(A)又可写为,若f(z)在z点可导， 则极限(B)和(C)存在且彼此相等，于是得到柯西－黎曼方程，或柯西－黎曼条件(Cauchy-Riemann条件，简称C-R条件),(B),(C),2019/1/3,第一章 复变函数2,6,柯西－黎曼条件是复变函数可导的必要条件:,说明,在z=0处满足C-R条件，但不可导.,满足柯西－黎曼条件的复变函数不一定可导。

例如函数,不满足柯西－黎曼条件的复变函数必定不可导例如连续的函数w=Rez=x.,2019/1/3,第一章 复变函数2,7,证明：在I、III象限，u=(xy)1/2, v=0, 于是在z=0处导数为,若增量z沿斜率为k的射线趋于0, 则有y= kx, 上述导数,是一个与k有关的值，说明沿不同的路线趋于0, f/z的极限值不同(无极限)，因此说f(z)在z=0处不可导2019/1/3,第一章 复变函数2,8,4、可导的充要条件,复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导的充分必要条件是,证明：,由于二元函数的偏导数存在且连续，则有,,增量x和y的高阶展开项2019/1/3,第一章 复变函数2,9,这样，不管z按什么方式逼近0, f/z总是有同一个极限值,2019/1/3,第一章 复变函数2,10,说明,设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么,如果函数f(z)在区域B内处处可导，则称f(z)在区域B内可导可导必连续，反之不然极坐标下的Cauchy-Riemann条件,2019/1/3,第一章 复变函数2,11,例2：求i i=?,解:,ii=eiLni=ei(/2+2k)i=e-(/2+2k), k为整数.,例1：求Lni=?,解:,因为i＝ei/2，所以 Lni=ln1+ (/2+2k)i= (/2+2k)i , k为整数.,,同理可求,例题与习题,,例3：求21+i=?,解:,21+i =e(1+i)Ln2=e(1+i)(ln2+2ki)=e(ln2-2k)+i(ln2+2k) = e(ln2-2k)[cos(ln2)+isin(ln2)] =2e-2k[cos(ln2)+isin(ln2)], k为整数.,2019/1/3,第一章 复变函数2,12,例4：求sinz和cosz的实部和虚部？,解：,令z＝x＋iy (其中x, y R)，根据三角函数的定义，得到,同理可求,2019/1/3,第一章 复变函数2,13,例5 [p9,习题2 (9)]. 求|eiaz-ibsinz|. (a和b为实常数, z=x+iy, x和y为实数) 。

解：,令z＝x＋iy (其中x, y R)，因为,所以得到,2019/1/3,第一章 复变函数2,14,例6. 求解方程 sinz＝2 [参看梁书P9,习题3],解：,根据方程sinz＝2, 可得,（1）,（2）,式(1)给出解: cosx＝0, 或者y＝0. 显然y0, 否则式(2)将给出sinx=21. 因此式(1)给出,x＝/2+2k, (k为整数).,2019/1/3,第一章 复变函数2,15,解方程（3）得到 所以,,（3）,代入式（2）中得到,最后得到,2019/1/3,第一章 复变函数2,16,习题：推导极坐标下的C-R条件,沿径向：=0, z= eir→0, 导数可写为,沿轴向：r=0, z=irei→0, 导数可写为,2019/1/3,第一章 复变函数2,17,式(A)和(B)等号右边相等，得到,整理后可以得到极坐标下的C-R条件。