高中数学 第三章 一元函数微分学.doc

1第三章第三章 一元函数微分学一元函数微分学§3.1§3.1 基本概念与主要结果基本概念与主要结果例例 1 设设定义在定义在上且在上且在处可导处可导, 对任意对任意有有, )(xf, 01x0,yx   yxfxyfxyf证明证明 在在上处处可导上处处可导, 并求并求与与. .)(xf, 0)( ' xf)(xf证明 令，得=2,=0, 当时有1 yx) 1 (f) 1 (f) 1 (f0x  hxfhxf   hxfxhxf1 .1     hxfxfxhxfxfxh111  xxf,于是.xhfxhf11  )( ' xf  hxfhxfx0lim 1'fxxf下面解微分方程 （1）.令，即，有，代入（1）1' fxy dxdyxyu uxy udxduxdxdy式化简得，即.令,得,故, xf dxdu1'Cxxxfuln1'1x0C xxfxfln1' ).ln1 (1''xfxf例例 2 设设在在上可导上可导, , , 导数导数与与存在且存在且..)(xfba,  0bfaf)( ' af)( ' bf)( ' af0)( 'bf证明证明 存在存在使得使得.bac, 0cf证明 不妨设 ,,由于,存在,当0)( 'af0)( 'bf   axafxfaxlim0)( 'af01时， 由得.11,aax  011 axafxf01 ax  01afxf又由,存在,当时, ,从而   bxbfxfbxlim0)( 'bf02bbx,22  022 bxbfxf.取充分小 使得 . 从而有,在上利用连  02bfxf,12ba1221xx ],[21xx续函数的介值性定理存在使得. baxxc,,21 0cf例例 3 设设在在上二阶导数连续，且上二阶导数连续，且，定义函数，定义函数,)(xf(,) 0)0(f    0,0,0' )(xxxfxf xg证明证明 在在上有一阶连续的导函数上有一阶连续的导函数.)(xg(,) 2证明 显然当时, 是连续的,又0x)(xg,故在上连续.     0'00limlimlim 000fxfxf xxfxg xxx  0g)(xg(,) 由导数的定义,     00lim0' 0xgxgg x   xfxxfx0' lim 0  200'limxxfxfx   . 20' ' 20''lim 0f xfxfx因此在处可导,从而在上处处可导. )(xg0x)(xg(,) 当时, ,,0x xg'  2' xxfxxf由于.  xg x'lim 0  20'limxxfxxfx  xxxfx2' 'lim 0  2' 'lim 0xfx  20' ' f 0' g因此在处连续, 从而在上处处连续.)( ' xg0x)( ' xg(,) 例例 4 设设在在上可导，证明上可导，证明具有介值性即具有介值性即（不妨设（不妨设）及）及)(xfba,)( ' xfbaxx,,2121xx 介介于于与与之间的任意值之间的任意值，存在，存在使得使得. .)( '1xf)( '2xf21,xx)( ' f证明 不妨设，令.则在上连续且 21')( 'xfxf xxfxF)()(xFba,.由连续函数的最值定理,在上有最小值, 设最小值点为.由于 )( ''xfxF)(xFba,,故存在使,从而,即 0)( ''11xfxF],[21xxx  011 xxxFxF   FxFxF1,类似可证.由 Fermat 定理(极值的必要条件), ,即.1x2x0)( 'F)( ' f注 此结论称为达布定理, 也称为导数的介值性定理.推论推论 若若在在内处处可导内处处可导, 则则不能有第一类间断点不能有第一类间断点,即具有第一类间断点的函即具有第一类间断点的函)(xfba,)( ' xf数不存在原函数数不存在原函数.证明 因在内处处可导, 所以对任意,当时, 在上满)(xfba,bax,00xx )(xf],[0xx足拉格朗日中值定理的条件, 故存在, 使得.又,xx ,0   '00fxxxfxfxx0故时有,于是有,这0xx0x      00 0' 0lim'xxxfxfxfxfmxx 0''lim0 0 xff x 3说明在处有右极限时必有,同理可证若在处)( ' xf0x 0' xf 0''lim0 0 xff x )( ' xf0x有左极限时有.所以在内任意一点处除非至少有一侧 0' xf 0''lim0 0 xff x ba,0x无极限（这时为的第二类间断点） ，否则在此处连续即. )( ' xf0x)( ' xf)( ' xf 0'0xf. 0' xf0'0xf例例 5 设设在在内可导且内可导且存在存在.)(xfba,0'af xf ax'lim 证明证明 (1) 存在；存在；0af xf ax lim(2) 若补充定义若补充定义,则右导数则右导数存在且存在且. af xf ax lim af'  af'0'af证明 (1) 设, 由极限的局部有界性, 存在,当时，0'af lxf ax 'lim011,aax, ,由此得. ., ,当时,由 1' lxf lxf1'0 l1,min1aaxx,,21拉格朗日中值定理, 其中介于之间.由柯   lxxfxfxf1'212121,xx西收敛准则, 存在.0af xf ax lim(2) 补充定义,当时,由拉格朗日中值定理,  af xf ax limbax,,其中介于之间,当时有且   axfafxf'xa, ax a.     axafxfaf axlim' 0''lim aff a 推论推论 若若在在内可导且内可导且,都存在都存在, 则则.)(xfba,0'af af'  af'0'af例例 6 设设在在上连续上连续, , ,且在且在内有连续的右导数内有连续的右导数)(xfba,  bfafba,)( ' xf，试证存在，试证存在使使.  hxfhxfx 0limbxaba, 0'f证明 （1）若常数,则,结论显然.)(xf0)( 'xf(2)若不恒为常数,则只需证分别有，则由)(xfba,, 0'f 0'f的连续性，便知结论成立.事实上,由在上连续,故在上必有最大最小)( ' xf)(xfba,ba,值,而, ,因此最值至少有一个在内部达到.设为的最大值点（内部  bfafba,)(xf4为最小值点类似讨论）,于是.任取一点, ,因在 ' f  0lim xfxfx, ac)(xf上连续,在上必有一点达到了最小值,于是, c)(xf, c ' f,故我们的目的达到了.  0lim xfxfx5§3.2§3.2 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用例例 1 设设 在在上可导上可导, ,, , 导数导数与与存在且存在且..)(xfba,  0bfaf)( ' af)( ' bf)( ' af0)( 'bf证明方程证明方程在在内至少有两个根内至少有两个根. . 0'xfba,证明 由§3.1 中例 2 的结论知存在使得.在, ,上分别使用罗尔定bac, 0cfca,bc,理，与使得,从而结论得证.ca,1bc,2  0''21ff例例 2 2 设设 在在上非负且三阶可导上非负且三阶可导, , 方程方程在在内有两个不同的实根内有两个不同的实根)(xfba, 0xfba,证明存在证明存在使得使得. .ba, 0' ' 'f证明 设函数 在内两个不同的实根为且. .由罗尔定理, )(xfba,21xx   021xfxf使得 (1).又,从而为f(x)的极小值点,由 Fermat 定理, 21,xxc 0'cf 0xf21,xx(2).对在, ,上用罗尔定理,则,  0''21xfxf)( ' xfcx ,12,xccxx,13使得.再对在上用罗尔定理,存在24,xcx   0' '' '43xfxf)( ' 'xf43,xx使. baxx,,43 0' ' 'f例例 3 设设在在上二阶可导上二阶可导, , 过点过点与点与点的直线与曲线的直线与曲线于于)(xfba, afaA, bfbB, xfy 点点，其中，其中. .  cfcC,bca证明存在证明存在, ,使得使得. .ba, 0' 'f证明 由条件对在, ,上分别使用拉格朗日中值定理，与)(xfca,bc,ca,1使得,,由于三点共线,bc,2   ACkcacfaff1'   CBkbcbfcff2'CBA,,故对在上应用罗尔定理, 存在一点,使.)( ' xfba, ba,,21 0' 'f例例 4 4 设设在在上连续上连续, ,在在内可导内可导, ,. .)(xfba,ba,  0bfaf试证对任意的试证对任意的, ,存在存在, ,使得使得. .,ba,  ff'注 由,可得，即为的零点.又  ff'  0'ff  0'xfxf6,令,检验罗尔定理的条件,这是显然的. 'xexf xexf' xexf  xexfxF例例 5 5 若若, , 在在上可导且上可导且, ,则存在则存在, ,使得使得.)(xf)(xgba,0)( 'xgba,          '' gf bggfaf证明 构造函数,检验罗尔定理的条件,这是显然的.          xfbgxgafxgxfxF例例 6 6 设设, , 在在上可导上可导, ,且且, ,, ,有有. .)(xf)(xg。