连续介质力学引论.doc

应变张量变形连续介质在外界因素（如外力、温度）作用下，不但能产生整体运动而且也将发生变形在拉格朗日物质坐标系中，P0和Q0两点间的距离线元平方因为所以在某一确定时刻，有写成不变性形式其中于是（2.7a）（2.7b）其中（2.7c）(2.7d)我们称它为柯西变形张量类似的在欧拉空间坐标系中，P和Q两点线元平方（2.9a）不变形式(2.9b)其中（2.9c）(2.9d)我们称为格林变形张量对于连续介质，我们用相邻两个物质点的距离线元的平方差来度量其变现那么(2.10a)或者(2.10b)其中（2.10c）称为拉格朗日有限变形张量或格林有限变形张量，（2.10d）称为欧拉有限变形张量或阿尔曼西有限变形张量由图（2.11）对于拉格朗日物质坐标系则（2.12a）同样对于欧拉空间坐标系（2.12b）把式（2.12a）和式（2.12b）中的和分别代入式（2.10c）和（2.10d）得到：(2.13a)(1.13b)拉格朗日有限变形张量表征物质点P0的领域的变形在一些实际问题中（例如弹性固体的小变形问题），连续介质发生变形时，位移梯度分量和 的大小与1相比都是高阶小量因此，性连续介质理论中可以把和中的非线性项和略去不计。

那么可得到无限小应变张量：（2.14a）（2.14b）它们常被称为拉格朗日应变张量和欧拉应变张量写成不变形式：（2.14c）（2.14d）矩阵形式(2.14e)(2.14f)在小变形弹性理论中，由于x与X差别很小，通常认为x=X, 这样，我们就没有必要再去区分拉格朗日应变张量和欧拉应变张量,统称为应变张量首先考察主对角线元素设线元，这里为线元的长度，为方向内的单位矢量代表变形后长度，于是（2.15a）对于小变形（2.15b）于是 (2.16)上式表明，关于线元每单位长度上的长度变化可由应变张量E度量比如： (2.17)它表示线元的单位伸长率，也称为沿方向的法向应变再考察非对角线元素的几何意义令，于是：(2.18a)即 (2.18b)若令，则称为剪切应变，它可以用来度量和间的夹角的微小减少量因为：由于小变形情况<<1,因而，，，故(2.19a) 即 由此可见，表示原来在和方向内的两个线微元之间夹角的减少量之半综上所述，应变张量矩阵[E]的主对角线元素表示连续介质内某一点附近的法向应变，而非对角线元素则表示其剪切应变主应变应变张量的第一不变量I1的几何意义2.22a)这里e表示单位体积的体积变化率，称之为膨胀系数（膨胀率），有时也成为体积应变。

应力矢量、应力张量在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设柯西假设在运动过程中的时刻t对于任何物质坐标X和与之对应的接触面S上的单位法矢量n，表面力的存在形式为:(3.1)为了研究物体内部一点P的应力状态，设想在P的附近给定一个单位法矢量为（3.3）的平截面如图设在ABC上受到的作用力为，在PBC，PCA，PAB上的作用力分别为、、，作用于微小四面体ABCP上单位质量的体力为b对于微小四面体ABCP，柯西定律给出（3.4）即 （3.5）当微小四面体体积趋于零时，即，，则有（3.6）考虑到式（3.3），并令（3.7）则式（3.6）可写成（3.8a）当T对称时，则（3.8b）（3.9a）称为应力张量，其矩阵形式(3.9b)如果物体中一点处的应力张量已知，那么由式（3.8）可以得到通过该点的任何截面上的应力矢量，因此应力张量完全地刻画了物体中一点的应力状态质量守恒定律设为物体的密度，表示物质质点的体积，由于在运动过程中质量体积保持不变，所以 (3.11a)展开 (3.11b)又由（2.32）于是（3.11b）可写为 (3.12a)其不变形式 (3.12b)其中 (3.13)把上式代入式（3.12a）(3.14a)其不变形式 (3.14b）式（3.12）和式（3.14）就是质量守恒定律的数学表达式——质量守恒方程，在连续介质力学中常称为连续性方程。

动量平衡定律欧拉第一运动定律： （3.17）上式说明任意物体具有的动量的变化率等于作用于物体上的合力设所研究物体在其体积V上受有连续分布的体力和在其体积的边界面S上连续分布的接触力，因此在物体上所受合力为 （3.18a）其中（3.18b）是每单位质量的体力（3.18c）物体的动量为（3.19）于是将式（3.18）和式（3.19）代入式（3.17）则（3.20）其中表示点的加速度由式（3.8），可将上式改写成利用高斯公式则得即考虑到V的任意性，则即（3.21a）上式称为柯西第一运动定律其指标形式（3.21b）展开得（3.21c）特别的，在静止的情况下，物体的加速度为零，则式（3.21a）化为（3.22）在弹性力学中，上式称为平衡方程动量矩平衡定律对于任意物体下列关系是成立：(3.24)其中表示物体绕点的动量矩，表示作用于物体上的力对点的合力矩上式称为欧拉第二运动定律设作用于物体上的力矩只是由体力和接触力引起的，故其合力矩为(3.25)而物体的动量矩为(3.26)将式（3.25）和式(3.26)代入式（3.24），并考虑到可得(3.27)其中表示点x的加速度考虑到式（3.8）和高斯公式，则考虑到体积的任意性，得因此，必为对称张量，即(3.28a)或(3.29a)上式叫做柯西第二运动定律。

柯西第二运动定律限定应力张量为对称张量，其中只有六个独立的分量能量守恒定律在连续介质中，如果只研究力学量的影响，而不考虑热学效应，那么连续介质的能量守恒定律可以直接由运动方程导出首先，将运动方程点乘速度矢量在体积V上积分考虑到上式表示在体积V中的总动能的时间变化率另外，考虑到这里利用了反对称张量W与对称张量T之间的双重点积为零的性质吧式（3.31）和式（3.32）代会到式（3.30）中去，则得运用高斯公式把上式右边的第一个体积分化为面积分，并李永华柯西假设，则将上式代入式（3.33），于是我们得到纯力学的能量方程其中方程左边两项分别表示连续介质的动能和内能的时间变化率，右边两项分别表示接触力和体力所做的功率若令U表示内能，则能量方程（3.35）也可简洁地写成其中表示接触力和体力的功率，记号表示这个量不一定能写成某个函数的全微分形式。