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2009-2012年全国高中数学联赛试题及标准答案.doc

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  • 卖家[上传人]:千****8
  • 文档编号:116253300
  • 上传时间:2019-11-16
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    • 2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设7分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中至少4分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空(共8小题,每小题7分,共56分)1. 若函数且,则 .【答案】【解析】 ,…….故.2. 已知直线和圆,点在直线上,,为圆上两点,在中,,过圆心,则点横坐标范围为 .【答案】【解析】 设,则圆心到直线的距离,由直线与圆相交,得.解得.3. 在坐标平面上有两个区域和,为,是随变化的区域,它由不等式所确定,的取值范围是,则和的公共面积是函数 .【答案】【解析】 由题意知 4. 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 .【答案】【解析】 设.显然单调递减,则由的最大值,可得.5. 椭圆上任意两点,,若,则乘积的最小值为 .【答案】【解析】 设,.由,在椭圆上,有 ① ②得.于是当时,达到最小值.6. 若方程仅有一个实根,那么的取值范围是 .【答案】 或【解析】当且仅当 ① ② ③对③由求根公式得, ④或.(ⅰ)当时,由③得所以,同为负根.又由④知所以原方程有一个解.(ⅱ)当时,原方程有一个解.(ⅲ)当时,由③得所以,同为正根,且,不合题意,舍去.综上可得或为所求.7. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示)【答案】【解析】 易知:(ⅰ)该数表共有100行;(ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为,,,…,(ⅲ)为所求. 设第行的第一个数为,则 ……故.8. 某车站每天,都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为到站时刻概率一旅客到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分).【答案】 27【解析】 旅客候车的分布列为候车时间(分)1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题1. (本小题满分14分)设直线(其中,为整数)与椭圆交于不同两点,,与双曲线交于不同两点,,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.【解析】 由消去化简整理得设,,则 ① ………………………………………………4分由消去化简整理得设,,则 ② ………………………………………………8分因为,所以,此时.由得.所以或.由上式解得或.当时,由①和②得.因是整数,所以的值为,,,,,,.当,由①和②得.因是整数,所以,,.于是满足条件的直线共有9条.………14分2. (本小题15分)已知,是实数,方程有两个实根,,数列满足,,(Ⅰ)求数列的通项公式(用,表示);(Ⅱ)若,,求的前项和.【解析】 方法一:(Ⅰ)由韦达定理知,又,所以,整理得令,则.所以是公比为的等比数列.数列的首项为:.所以,即.所以.①当时,,,变为.整理得,,.所以,数列成公差为的等差数列,其首项为.所以.于是数列的通项公式为;……………………………………………………………………………5分②当时,, .整理得,.所以,数列成公比为的等比数列,其首项为.所以.于是数列的通项公式为.………………………………………………10分(Ⅱ)若,,则,此时.由第(Ⅰ)步的结果得,数列的通项公式为,所以,的前项和为以上两式相减,整理得所以.……………………………………………………………………………15分方法二:(Ⅰ)由韦达定理知,又,所以,.特征方程的两个根为,.①当时,通项由,得 解得.故 .……………………………………………………5分②当时,通项.由,得 解得,.故 .…………………………………………………………10分(Ⅱ)同方法一.3. (本小题满分15分)求函数的最大和最小值.【解析】 函数的定义域为.因为 当时等号成立.故的最小值为.……………………………………………5分又由柯西不等式得 所以. ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件,得,解得.故当时等号成立.因此的最大值为.…………………………………………………………………………………15分2010年全国高中数学联赛一 试一、填空题(每小题8分,共64分,)1. 函数的值域是 .2. 已知函数的最小值为,则实数的取值范围是 .3. 双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是 .4. 已知是公差不为的等差数列,是等比数列,其中,且存在常数使得对每一个正整数都有,则 .5. 函数 在区间上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是 .6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7. 正三棱柱的9条棱长都相等,是的中点,二面角,则 .8. 方程满足的正整数解(x,y,z)的个数是 . 二、解答题(本题满分56分)9. (16分)已知函数,当时,,试求的最大值. 10.(20分)已知抛物线上的两个动点,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值. 11.(20分)证明:方程恰有一个实数根,且存在唯一的严格递增正整数数列,使得 .解 答1. 提示:易知的定义域是,且在上是增函数,从而可知的值域为.2. 提示:令,则原函数化为,即.由,, 及 知 即 . (1)当时(1)总成立;对;对.从而可知 .3. 9800 提示:由对称性知,只要先考虑轴上方的情况,设与双曲线右半支于,交直线于,则线段内部的整点的个数为,从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点,所以所求整点的个数为.4. 提示 :设的公差为的公比为,则 (1), (2)(1)代入(2)得,求得.从而有 对一切正整数都成立,即 对一切正整数都成立.从而 ,求得 ,.5. 提示:令则原函数化为,在上是递增的.当时,,,所以 ;当时,,,所以 .综上在上的最小值为.6. 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为,从而先投掷人的获胜概率为.7. 提示:解法一:如图,以所在直线为轴,线段中点为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则,从而,.设分别与平面、平面垂直的向量是、,则由此可设 ,所以,即.所以 .解法二:如图, .设与交于点 则 .从而平面 .过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中,,即 .又 ..8. 336675 提示:首先易知的正整数解的个数为 .把满足的正整数解分为三类:(1)均相等的正整数解的个数显然为1;(2)中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003; (3)设两两均不相等的正整数解为.易知 ,所以 ,即.从而满足的正整数解的个数为.9. 解法一: 由 得. 所以 ,所以. 又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为. 解法二:. 设,则当时,. 设 ,则..容易知道当时,. 从而当时, , 即,从而 ,,由 知. 又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为.10. 解法一:设线段的中点为,则 , .线段的垂直平分线的方程是. (1)易知是(1)的一个解,所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为. 由(1)知直线的方程为,即. (2)(2)代入得,即. (3)依题意,是方程(3)的两个实根,且,所以,. . 定点到线段的距离 . . 当且仅当,即,或时等号成立. 所以,面积的最大值为. 解法二:同解法一,线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为. 设,则的绝对值, ,所以, 当且仅当且,即 ,或时等号成立. 所以,面积的最大值是. 11.令,则,所以是严格递增的.又,故有唯一实数根. 所以 ,.故数列是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列和满足,去掉上面等式两边相同的项,有,这里,所有的与都是不同的. 不妨设,则,,矛盾.故满足题设的数列是唯一的. 2011年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)考试时间:2011年10月16日 8:00—9:20一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上.1.设集合,若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为,则集合 .2.函数的值域为 .3.设为正实数,,,则 .。

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