初中数学-----二次函数的最值问题.docx

欢迎加入初中数学交流群，每天都有资料更新！联系 shouyu2018二次函数的最值问题二次函数 y =ax2+bx +c ( a ¹0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a >0时，函数在 x =-b2a处取得最小值4ac -b4a2，无最大值；当a <0时，函数在 x =-b2a处取得最大值4ac -b4a2，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例 1】当-2 £x £2时，求函数y =x 2 -2 x -3的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得 到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值．解：作出函数的图象．当x =1时，ymin=-4，当x =-2时，ymax=5．【例 2】当1 £x £2时，求函数y =-x2-x +1的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当 x =1 时， ymin=-1，当 x =2 时， ymax=-5．由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一 段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异．下面给出一 些常见情况：【例 3】当x ³0时，求函数y =-x(2 -x )的取值范围．关注公众号”品数学“，一起学数学吧！欢迎加入初中数学交流群，每天都有资料更新！联系 shouyu2018解：作出函数y x(2 x) x22x 在 x 0内的图象．可以看出：当x 1时，ymin1，无最大值．所以，当x 0时，函数的取值范围是y 1．【例 4】当t x t 1时，求函数y1 5x2 x2 2的最小值(其中 t为常数)．分析：由于 x 所给的范围随着 t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位 置．解：函数y1 5x2 x2 2的对称轴为x 1．画出其草图．(1) 当对称轴在所给范围左侧．即 t 1 时：当x t时， ymin1 5t2 t2 2；(2) 当对称轴在所给范围之间．即t 1 t 1 0 t 1时：当x 1时，ymin1 512 1 32 2；(3) 当对称轴在所给范围右侧．即t 1 1 t 0时：当x t 1 时， ymin1 5 1 (t 1)2 (t 1)2 2 2t2 3．12t2 3,t 0综上所述：y 3,0 t 11 5t2 t ,t 1 2 2在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m 162 3x,30 x 54．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利 润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为 (x 30) 元，那么m件的销售利润为y m (x 30)，又m 162 3x．y (x 30)(162 3x) 3x关注公众号”品数学“，一起学数学吧！2252x 4860,30 x 54min欢迎加入初中数学交流群，每天都有资料更新！联系 shouyu2018(2) 由(1)知对称轴为 x =42 ，位于 x 的范围内，另抛物线开口向下\当x=42时，ymax=-3´422+252 ´42 -4860 =432\当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为 432 元．二次函数的最值问题答案A 组1．4 14 或 2，322．l 216m293 ．(1) 有最小值 3，无最大值；(2) 有最大值 ，无最小值．44．当x =3 31时， y =4 8；当x =-2时，y =19max．5．y ³-56．当x =5 3 2 时， y =3 - ；当 x =6 min 6 3或 1 时，y =3max．7．当t =-54时，y =0min．B 组1．(1) 当 x =1 时， ymin=1 ；当 x =-5时， ymax=37．(2) 当 a ³0 时， ymax=27 +10 a ；当 a <0 时， ymax=27 -10 a．2．-2 £m £-1．3．a =2, b =-2．4 ．a =-14或a =-1．5 ． 当t £0时 ，ym a x=2 -2t， 此 时x =1； 当t >0时 ，ym a x=2 +2t，此时x =-1．关注公众号”品数学“，一起学数学吧！欢迎加入初中数学交流群，每天都有资料更新！联系 shouyu2018练习 A组1．抛物线y =x 2 -( m -4) x +2 m -3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．2．用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．求下列二次函数的最值：(1)y =2 x2-4 x +5；(2)y =(1 -x )( x +2)．4．求二次函数y =2 x 2 -3 x +5在-2 £x £2上的最大值和最小值，并求对应的x的值．5．对于函数y =2 x2+4 x -3 ，当 x £0 时，求 y 的取值范围．6．求函数y =3 - 5 x -3 x2-2的最大值和最小值．7．已知关于 x 的函数 y =x组B2 +(2 t +1) x +t 2-1 ，当 t 取何值时， y 的最小值为 0？1．已知关于 x 的函数 y =x2+2 ax +2 在 -5 £x £5上．(1) 当a =-1时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a为实数时，求函数的最大值．2．函数y =x 2 +2 x +3在m £x £0上的最大值为 3，最小值为 2，求m的取值范围．3．设a >0，当-1£x £1时，函数y =-x2-ax +b +1的最小值是-4，最大值是 0，求a , b的值．4．已知函数y =x2+2 ax +1 在 -1 £x £2上的最大值为 4，求 a 的值．5．求关于x的二次函数y =x 2 -2tx +1在-1£x £1上的最大值(t为常数)．关注公众号”品数学“，一起学数学吧！欢迎加入初中数学交流群，每天都有资料更新！联系 shouyu2018关注公众号”品数学“，一起学数学吧！。