线性代数 向量组的线性相关性知识分享.docx

线 性代数 向量组 的 线性相关性第三节 向量组的线性相关性分布图示★ 线性相关与线性无关 ★ 例 1★例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理 1 ★ 定理 2★ 例3 ★ 例4 ★ 例 5★例6★ 定理 3 ★ 定理 4★ 定理 5 ★ 例 7★ 内容小结 ★ 课堂练 习★ 习题 3-3内容要点一、线性相关性概念定义1给定向量组A:a ,a ,A ,a ,如果存在不全为零的数k ,k ,A ,k ,使1 2 s 1 2 sk a + k a +A + k a = 0, ⑴1 1 2 2 s s则称向量组A线性相关,否则称为线性无关.注:①当且仅当k = k =A = k = 0时，⑴式成立，向量组a ,a ,A ,a线性无 1 2 s 1 2 s关;② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量a时，贝9(1) a丰0的充分必要条件是a是线性无关的；(2) a= 0的充分必要条件是a是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量 成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量 的对应分量不成比例.⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几 何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1向量组a ,a ,A ,a (s>2)线性相关的充必要条件是向量组中至少有一 1 2 s个向量可由其余s -1个向量线性表示.定理2设有列向量组a =j(a )1 ja2jMa,(j = 1,2,A , s),则向量组a ,a ,A ,a线性相关的1 2 sI nj丿充要条件是:是矩阵A = (a ,a ,A ,a )的秩小于向量的个数s • 1 2 s推论1 n个n维列向量组a ,a ,A ,a线性无关(线性相关)的充要条件是:1 2 n矩阵A =(a,a,A ,a )的秩等于(小于)向量的个数n •1 2 n推论2 n个n维列向量组a ,a ,A ,a线性无关(线性相关)的充要条件是:1 2 n矩阵A =(a,a,A ,a )的行列式不等于(等于)零.1 2 n注:上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,此向量组必线性相 关.定理 3 如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性 相关.推论 4线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4若向量组a ,A ,a ,卩线性相关，而向量组a ,a ,A ,a线性无关,则向量1 s 1 2 sB可由a ,a ,A ,a线性表示且表示法唯一•1 2 s定理 5 设有两向量组A : ai，a 2,A，a s； B :卩 1,卩 2，A，卩 t，向量组B能由向量组A线性表示，若s < t,则向量组B线性相关.推论5向量组B能由向量组A线性表示，若向量组B线性无关，则s > t.推论6设向量组A与B可以相互线性表示，若A与B都是线性无关的，则s — t •例题选讲例1设有 3个向量（列向量）:'1、(-/1、a—0,a—2,a—2122<1丿、2丿、4丿不难验证2ai +a2 -a3 - 0,因此ai，a2,a3是3个线性相关的3维向量./1、, e —r 0、< 0丿2J丿1例 2 设有二个 2 维向量: e如果他们线性相关， 那么存在不全为零的数“九2,使也就是r1、+ Xr0、、0丿2.1丿— 0,1+(0 )九2丿于是九1 = 0, — 0,这同”九2不全为零的假定是矛盾的.因此■是线性无关的二个向量. 例3 (E01) n维向量组£ = (1,0,A ,0)t , £ = (0,1A ,0)T ,A , £ = (0,0,A ,1)t1 2 n称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性.解n维单位坐标向量组构成的矩阵10A00 A 0、E =(£1，£ 2，A，£ n)=1 A 0AAA0 A 1 /是 n 阶单位矩阵.由E = 1丰0,知rE = n.即rE等于向量组中向量的个数，故由推论2知此向量是线性无关的.1例 4 (E02) 已知 a1/ 2、a = 4 ,试讨论向量组3a ,a ,a123及a , a12的线性相关性.解 对矩阵A =(牛a2,作)施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A及B = (%,^2)的秩，利用定理2即可得出结论.[10 2、[1 0 2、5[1 0 2、(d ,d ,d ,) =1 2 31 2 40 2 2r - r——1 2 2 >0 2 21 5 7r _/10 5 50 0 0丿易见，r(A) = 2, r(B) = 2,故向量组％,d2,兔,线性相关•向量组a^a?线性无关.例 5 判断下列向量组是否线性相关:T'2、'4、2—13a=,a=,a=1—1213—1<5丿< 1丿111丄丄丿解对矩阵2“3)施以初等行变换化为阶梯形矩阵:4、(1 2 4、‘1 2 4、30 — 5 — 50 1 1——>—10 3 30 0 011>(0 — 9 — 9,、0 0 0,22 — 1—1 151秩(吓2“3)= 2 < 3,所以向量组巒2"3线性相关.例6证明：若向量组a, p,y线性无关，则向量组a + B, p +y, y +a亦线性无关. 证设有一组数k ,k ,k ,使123k/a + p) + k2( B +y) + kjy+a) = 0 ⑴成立，整理得(ki + k3 )a + (k1 + k2 )p + (k2 + k3 )y = 0由a,p,y线性无关，故k + k = 01 3Ik +k =0 ⑵12k + k = 0231 0 1因为110 = 2丰0,故方程组(2)仅有零解•即只有k = k = k = 0时(1)式才成1 2 30 1 1立.因而向量组a + p, p +y, y +a线性无关.例7 (E03)设向量组a ,a ,a线性相关,向量组a ,a ,a线性无关，证明1 2 3 2 3 4(1) a 能由 a ,a 线性表示;1 2 3(2) a 不能由 a ,a ,a 线性表示.4 1 2 3证明(1)因a ,a ,a线性无关，故a ,a线性无关，而a ,a ,a线性相关，2 3 4 2 3 1 2 3从而a能由a ,a线性表示；1 2 3(2)用反证法.假设a能由a ,a ,a线性表示，而由(】)知a能由a ,a线性4 1 2 3 1 2 3表示，因此a能由a ,a表示，这与a ,a ,a线性无关矛盾•证毕.4 2 3 2 3 4课堂练习1. 试证明:(1) —个向量a线性相关的充要条件是a = 0；(2) —个向量a线性无关的充分条件是a丰0；(3) 两个向量a, p线性相关的充要条件是a = kp或者p = ka (两式不一定 同时成立)。

2. 判断向量组a = (1,2,0,1) t ,a = (1,3,0,-1) t ,a = (—1,—1,1,0) t1 2 3是否线性相关.3. 判断向量组a =(1,2,—1,5)T,a =(2,—1,1,1)T,a =(4,3,—1,11)T1 2 3是否线性相关.。