《大学应用数学1》教学课件03积分及其应用.pptx

第三章积分及其应用 极限与连续积分是微积分学的另一重要部分，它是微分运算的逆运算，包括不定积分和定积分.定积分是对连续变化过程总效果的度量.本章将由具体问题引入定积分的概念，并逐步介绍求积分方法，最后将积分法应用于实际.目录3.1定积分的概念3.2微积分学基本公式3.3不 定 积 分3.4定积分的换元积分法与分部积分法3.5定积分的应用3.6常微分方程简介3.1定积分的概念实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的，如非匀速直线运动在某时间段内的位移；变力使物体沿直线方向移动所作的功；非均匀线密度的细棒的质量等.所有这些问题都可以归结为曲边梯形的面积问题.3.1定积分的概念曲边梯形的面积我们把由一条连续曲线y=f(x)(f(x)0)和三条直线x=a,x=b,y=0围成的图形叫曲边梯形.如图3-1所示.分析其面积.我们以往的知识能够对规则图形求面积，如果曲边函数y=f(x)是常数，则可以用矩形的面积公式求面积.但y=f(x)C,显然不能直接用以往的公式求曲边梯形的面积.如果我们将曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当小曲边梯形的宽度不大时，曲边的变化也就不大（连续函数），我们就可以将小曲边梯形的面积用小矩形的面积近似代替，如图3-2所示.3.1.1问题举例对于第i个小曲边梯形而言，面积Aif(Xi-1）（Xi-Xi-1)f(Xi)(Xi-Xi-1)，或者以小区间内部任一点i对应的函数值f（i）为小矩形的高得出小曲边梯形面积 Aif(i)(Xi-Xi-1).具体步骤如下.（1）分割.在区间a,b内任意插入n-1个分点，使a=X0X2X2Xn-1Xn=b把区间a,b分成n个小区间Xi-1, Xi(i=1,2,n),小区间的长度为Xi=Xi-Xi-1.则大曲边梯形被分割成n个小曲边梯形.（2）取近似.在区间Xi-1, Xi上任取一点iXi-1, Xi,当每个小区间的长度很小时，小曲边梯形的面积Ai可以用小矩形的面积近似代替，即Aif(i)Xi.3.1.1问题举例对于第i个小曲边梯形而言，面积Aif(Xi-1）（Xi-Xi-1)f(Xi)(Xi-Xi-1)，或者以小区间内部任一点i对应的函数值f（i）为小矩形的高得出小曲边梯形面积 Aif(i)(Xi-Xi-1).具体步骤如下.（1）分割.在区间a,b内任意插入n-1个分点，使a=x0 x1x2xn-1xn=b把区间a,b分成n个小区间Xi-1, Xi(i=1,2,n),小区间的长度为xi=xi-xi-1.则大曲边梯形被分割成n个小曲边梯形.（2）取近似.在区间xi-1,xi上任取一点ixi-1,xi,当每个小区间的长度很小时，小曲边梯形的面积Ai可以用小矩形的面积近似代替，即Aif(i)Xi.3.1.1问题举例(3)求和.将所有的小曲边梯形面积相加，就得出大曲边梯形面积（近似值），即(4)取极限.小区间的宽度越小，近似程度就越高，当分割无限细密，每一个小区间的宽度都是无穷小量时，近似代替产生的误差也是无穷小量.为了保证每一小区间的宽度都是无穷小量，取最大的一个小区间的长度为=maxxi(i=1,2,n),于是，当0时， 3.1.1问题举例因此,曲边梯形的面积可表示为一种特定的和式的极限，我们由此抽象出定积分的概念.1.定积分的定义3.1.2定积分的概念其中，称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，a,b称为积分区间.设函数y=f(x)在区间a,b上有界，用分点a=x0 x1x2xn-1xn=b将区间a,b分成n个小区间xi-1,xi(i=1,2,n),每个区间长度为xi=xi-xi-1,其中=maxxi,在每一个小区间xi-1,xi上任取一点ixi-1,xi必须注意的是：定积分的值与被积函数和积分区间有关，与积分变量的符号无关，与区间的分割方法及i的取法无关.例如3.1.2定积分的概念2.几何意义3.1.2定积分的概念2.几何意义3.1.2定积分的概念3.1.3定积分的运算性质3.1.3定积分的运算性质对于性质34，我们分析f(x)0，g(x)0的情况，其几何理解如图37所示， 表示阴影部分的面积，总不大于以y=g（x）为曲边的曲边梯形的面积.其他情况可得同样的结论.3.2微积分学基本公式定积分定义为一种和式的极限，如果用定义直接求定积分，运算将会相当复杂，对于比较复杂的被积函数，如果用定义直接求定积分几乎是不可能的.下面我们寻求定积分的计算方法.3.2微积分学基本公式3.2微积分学基本公式根据导数的意义，我们知道s(t)=v（t）.即被积函数v(t)在区间t1,t2上的定积分等于它的一个原函数在区间t1,t2上的改变量.下面我们分析其普遍性.根据上一节分析我们知道，变速直线运动v(t)在时间段t1,t2内的位移可以用积分 来表示；另一方面，时间段t1,t2内的位移也可以用位移的增量s(t2)-s(t1)来表示，即3.2.1积分上限函数定理3-1 如果函数f(t)在区间a,b上连续，则积分上限函数可导，且3.2.1积分上限函数3.2.1积分上限函数3.2.1积分上限函数根据上述定理，积分上限函数是被积函数的一个原函数，即 ,如果将变上限取定值x=b，即得微积分学基本公式：3.2.2微积分学基本公式此公式也称为牛顿莱布尼兹公式.它反映了定积分与被积函数的原函数之间的关系，也为我们计算定积分提供了一条便捷的途径，即要计算连续函数f(x)在区间a,b上的定积分，只需求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)在区间a,b上的改变量 即可.必须注意的是：牛顿-莱布尼兹公式适用的条件，必须是被积函数f(x)在区间a,b上连续.3.2.2微积分学基本公式例32求函数y=sinx在区间0，上与x轴所围成的图形的面积.分析由定积分的几何意义可知，所求面积等于正弦函数在区间0，上的定积分，即3.2.2微积分学基本公式3.3不 定 积 分由牛顿-莱布尼兹公式可知，求连续函数的定积分的便捷方法是求被积函数的一个原函数在积分区间上的改变量，因此，求原函数对定积分计算有着重要意义.有关原函数的问题，就是本节要讨论的不定积分.3.3不 定 积 分由导数运算公式和法则我们知道，在某区间I上，如果有F(x)=f(x),则有F（x）+C=F(x)+C=f(x)(C为常数).对于函数f(x)，如果它有一个原函数F（x）,则它就有无穷多个原函数F（x）+C,并且这些原函数之间相差一个常数.3.3.1不定积分的概念1.不定积分的定义在区间I上，如果F(x)=f(x)，则称F（x）+C为函数f(x)在区间I上的不定积分，记作 ,即 其中称为不定积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常量.3.3.1不定积分的概念必须注意的是：（1）不定积分运算和导数（微分）运算互为逆运算；（2）不定积分是被积函数的一个原函数加任意常数.2.不定积分的运算性质3.3.1不定积分的概念3.3.2基本积分公式3.3.2基本积分公式1.直接积分法通过简单的变形和积分运算性质，就能将被积函数变成积分公式的类型求积分，这种方法称为直接积分法.3.3.3基本积分法3.3.3基本积分法3.3.3基本积分法2.第一换元积分法（凑微分法）3.3.3基本积分法从上面的例子中可以看出凑微分法需要较灵活的技巧，对于不同的积分应采用不同的凑法.下面是凑微分法常用的一些公式.3.3.3基本积分法总之，凑微分的关键在于将积分g(x)dx问题化为f(u)du的形式，再应用积分公式求得积分.下面我们使用凑微分推导一些常用的积分公式.3.第二换元积分法3.3.3基本积分法3.第二换元积分法3.3.3基本积分法这种通过变量代换求积分的方法称为第二换元积分法.必须注意的是：（1）第一换元和第二换元积分法的目的都是为了使被积表达式转化为可求积分的类型；（2）第一换元积分法求积分过程中，如果不写出中间变量，求出积分的结论就无需回代变量；第二换元积分法则不能省略中间变量的代换.三角代换.现将其归纳如下.3.3.3基本积分法4.分部积分法3.3.3基本积分法根据积的求导数法则，如果u，v可导，则（uv）=uv+uv,移项得uv=(uv)-uv,等式两边变量的不定积分相同，有必须注意的是：（1）分部积分法针对特点是,当被积函数u与积分变量v互换后的积分易求，即vdu比udv易求；（2）对于被积函数为积的类型的积分，如果不能直接求积分或使用凑微分法求积分，可以考虑被积函数的部分因子凑微分，使积分变成udv的形式，再尝试分部积分法.3.3.3基本积分法3.4定积分的换元积分法与分部积分法上节我们讨论了不定积分，解决了被积函数的原函数问题，再结合牛顿-莱布尼兹公式，就可以解决定积分的计算.下面再看两个例子.3.4定积分的换元积分法与分部积分法3.4定积分的换元积分法与分部积分法在第二节中，我们已经看到，牛顿-莱布尼兹公式将定积分的计算问题归结为求原函数（或不定积分）问题，因此，不定积分中用以求原函数的两种方法换元积分法与分部积分法，同样可以在定积分中应用.下面分别讨论，并请读者注意这两种方法在用法上与不定积分的异同.3.4定积分的换元积分法与分部积分法定理3-4设函数f(x)在区间a,b上连续，函数x=(t)满足以下条件：（1）（a）=,(b)=;(2)(t)在,(或,)上具有连续导数，且其对应的值域不超出区间a,b，则有3.4.1定积分的换元积分法必须注意的是：（1）从左边到右边应用上述公式时，相当于不定积分的第二类换元积分法.计算时，用代换x=(t)把原积分变量x换成新变量t时，积分上下限必须换成相应于新变量t积分上下限，但最后不必像不定积分那样变量回代；（2）从右边到左边应用上述公式时，相当于不定积分的凑微分法.计算时，如果不引入新的积分变量，则原积分上下限不变.事实上，我们可以通过定积分的几何意义得知上述积分在数量上等于半径为a的圆的四分之一面积.3.4.1定积分的换元积分法设函数u=u(x),v=v(x)在区间a,b上具有连续导数，由乘积求微公式d(uv)=vdu+udv 移项得: udv=d(uv)-vdu两边在a,b上积分，用牛顿-莱布尼兹公式得3.4.2.定积分的分部积分法这就是定积分的分部积分法公式.不定积分的分部积分法和定积分的分部积分法在公式和方法上相同，只是定积分带有积分上下限，而不定积分没有；在求出原函数时，不定积分需加积分常数，而定积分需求改变量.3.4.2.定积分的分部积分法3.5定积分的应用3.5定积分的应用通过定积分思想和积分方法的学习，我们可以解决一些非均匀变化的改变量的问题，事实上，在实际应用过程中，如何把一个所求量表示为定积分的形式，是我们使用定积分解决问题的前提.1.定积分的元素法我们首先回顾定积分的定义引入过程中求由曲线y=f(x)(f(x)0)和直线x=a，x=b,y=0围成的曲边梯形面积的四个步骤：（1）分割在区间a,b内任意插入n-1个分点把区间a,b分成n个小区间Xi-1, Xi(i=1,2,n)，则大曲边梯形被分割成n个小曲边梯形.（2）取近似在区间Xi-1, Xi上任取一点iXi-1, Xi,用小矩形的面积f(i)xi近似代替小曲边梯形的面积，即Aif(i)Xi.(3)求和将所有的小曲边梯形面积相加，就得出大曲边梯形面积（近似值），即(4)取极限令=maxxi(i=1,2,n),于是，当0时， ,即3.5.1定积分的元素法在确定积分表达式的四个步骤中，主要是第二步确定小曲边梯形面积的近似值，为了简便起见，图3-10我们用A表示任一小区间x,x+dx上的小曲边梯形的面积，而且取该小区间左端点x处对应的函数值f(x)为小矩形的高，则小矩形的面积f(x)dx近似等于小曲边梯形的面积A，即Af(x)dx(如图310中阴影部分)，于是将小矩形面积求和并取极限即得曲边梯形的面积，A=baf(x)dx.事实上，小矩形的面积f(x)dx就是定积分的被积表达式，我们将该小矩形的面积f(x)dx称为面积元素，记作dA=f(x)dx，也即A=bad。