高中数学 第二章 平面解析几何初步学案 新人教B版必修2.doc

第二章平面解析几何初步知识建构综合应用专题一　位置关系问题两条直线的位置关系有相交、平行、重合几种，两直线垂直是相交的一种特殊情况，高考中对平行与垂直的考查是重点，多以选择及填空为主，属于容易题．而直线与圆的位置关系几乎是每年必考内容，有时结合向量，考查形式可以是选择题、填空题，也可以是解答题，属于中低档类题目．圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含等5种，在高考中单独考查的情况不多．应用1已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m的值为(　　)．A．－1或3 B．－1C．3 D．0提示：利用两直线平行的条件求解．应用2(2011·福建泉州模拟)若直线x＋y＋2n＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中n∈N＋，则n的值等于(　　)．A．1 B．2 C．4 D．1或2提示：利用圆心距等于半径列方程求解．应用3已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.试讨论两圆的位置关系．提示：随着m取值的不同，也会影响两圆的位置关系，所以需要根据两圆的不同位置关系求出m的不同取值范围．专题二　对称问题对称问题是高考中常见的一种题型，解析几何中有关对称问题，可分为点关于点对称；直线关于点对称；曲线关于点对称；点关于直线对称；直线关于直线对称；曲线关于直线对称．但总的来说，就是关于点对称和关于直线对称这两类问题．应用1(2010·湖南高考)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为__________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为__________．提示：(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1；(2)求出圆心(2,3)关于l的对称点即可．应用2(2011·安徽安庆模拟)从点(2,3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为__________．提示：画出示意图，注意反射光线与入射光线的斜率互为相反数，且反射光线经过点(－2,3)．专题三　用图示法解题用图示法解题，实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”；本章中有关斜率、距离、截距、直线与圆的位置关系等很易转化为形来说明，借助于形分析和求解，往往事半功倍．应用1讨论直线y＝x＋b与曲线y＝的交点的个数．提示：画出y＝的图象，注意等价变形．应用2设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上．(1)求的最小值；(2)求的最小值．提示：(1)理解为动点(x，y)到定点(2,0)的距离即可；(2)理解为动点(x，y)与定点(－1，－2)连线的斜率即可．应用3若实数x，y满足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0，求x＋y的最小值．提示：令x＋y＝b，则y＝－x＋b，问题即转化为求截距b的最小值问题．专题四　轨迹问题轨迹是满足某些特殊几何条件的点所形成的图形，在平面直角坐标系中，求动点的轨迹就是求动点的横坐标、纵坐标满足的等量关系．我们可以借助圆这个几何性质较多的图形，研究一些与之相关的轨迹方程．应用1已知圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0，求长为2的弦中点的轨迹方程．提示：利用定义法，即动点的运动轨迹满足圆的定义，只需确定圆心和半径，直接写出圆的方程．应用2已知动圆P与定圆C：x2＋(y＋2)2＝1相外切，又与定直线l：y＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．提示：利用直接法，即若动点的运动规律满足一些简单的几何等量关系，可以直接将这个等量关系用动点的坐标表示出来，写出轨迹方程．应用3已知圆C的方程为(x－2)2＋y2＝1，过点P(1,0)作圆C的任意弦，交圆C于另一点Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程．提示：点M的运动受到点Q运动的牵制，而点Q在圆C上，故用“相关动点法”．真题放送1．(2011·四川高考)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2,－3) D．(2,－3)2．(2011·安徽高考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)．A．－1 B．1 C．3 D．－33．(2011·重庆高考)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)．A．5 B．10C．15 D．204．(2011·大纲全国高考)设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　)．A．4 B．4 C．8 D．85．(2011·江西高考)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)．A．B．∪C．D．∪6．(2011·浙江高考)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.7．(2011·重庆高考)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．8．(2011·湖北高考)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为______．答案：综合应用专题一应用1：B　∵l1∥l2，∴1×3－m(m－2)＝0.∴m＝－1或3，经检验m＝－1适合．应用2：D　圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝2n－1.由n＝2n－1，结合选项，得n＝1或2.应用3：解：圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝32，圆心为C1(m，－2)，半径为r1＝3；圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0可化为(x＋1)2＋(y－m)2＝22，圆心为C2(－1，m)，半径为r2＝2，圆心距为d＝＝，所以①当d＝r1＋r2＝5时，此时m＝2或m＝－5，两圆外切；②当d＝r1－r2＝1时，此时m＝－1或m＝－2，两圆内切；③由②可知，当－2＜m＜－1时，两圆内含；④由①可知，当m＜－5或m＞2时，两圆外离；⑤当－5＜m＜－2或－1＜m＜2时，两圆相交．专题二应用1：－1　x2＋(y－1)2＝1　kPQ＝＝1，∴kl＝－1.P，Q的中点坐标为，∴l的方程为y－＝－，即x＋y－3＝0.点(2,3)关于x＋y－3＝0的对称点为(0,1)，∴圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.应用2：x＋2y－4＝0　由题意得，射出光线方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＋4＝0，与y轴交点为(0,2)，又(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，∴反射光线所在的直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋2y－4＝0.专题三应用1：解：如图所示，在坐标系内作出曲线y＝的图象(半圆弧)．直线l1：y＝x－2，直线l2：y＝x＋2.当直线l：y＝x＋b夹在l1与l2之间(包括l1，l2)时，l与曲线y＝有公共点；进一步观察交点的个数可有如下结论：(1)当b＜－2或b＞2时，直线y＝x＋b与曲线y＝无公共点；(2)当－2≤b＜2或b＝2时，直线y＝x＋b与曲线y＝仅有一个公共点；(3)当2≤b＜2时，直线y＝x＋b与曲线y＝有两个公共点．应用2：解：(1)式子的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是＝，圆的半径是1，所以的最小值是－1.(2)解法一：令＝t，则方程组一定有解．消去y，整理得(1＋t2)x2＋2(t2－3t)x＋(t2－6t＋8)＝0有解．所以Δ＝4(t2－3t)2－4(1＋t2)(t2－6t＋8)≥0，即6t－8≥0，解得t≥.故的最小值是.解法二：式子的几何意义是点P(x，y)与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l1时，斜率最小．设＝k，即kx－y＋k－2＝0，由直线与圆相切，得＝1，解得k＝.故的最小值是.应用3：解：原方程化为(x＋4)2＋(y－3)2＝9，设x＋y＝b，则y＝－x＋b，可见x＋y的最小值就是过圆(x＋4)2＋(y－3)2＝9上的点作斜率为－1的平行线中，纵截距b的最小值，此时，直线与圆相切．由点到直线的距离公式得＝3.解得b＝3－1或b＝－3－1.所以x＋y的最小值为－3－1.专题四应用1：解：由条件知，圆心坐标为C(2，－1)，半径r＝3.设所求弦中点为P(x，y)，则|PC|2＝r2－12＝8，|PC|＝2.∴P点在以C为圆心，半径为2的圆上．故所求轨迹方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝8.应用2：解：设点P(x，y)，如图，故动点P在直线y＝1的下侧，∵圆P与直线y＝1相切，∴圆P的半径等于1－y.又圆C与圆P相外切，∴|PC|＝1－y＋1，即＝2－y.两边平方，整理得y＝－x2.应用3：解法一：设点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)，∵M是线段PQ的中点，∴x＝，y＝.∴x0＝2x－1，y0＝2y.①∵点Q在圆C：(x－2)2＋y2＝1上运动，∴点Q的坐标满足方程(x－2)2＋y2＝1，即(x0－2)2＋y＝1.②把①代入②得(2x－1－2)2＋(2y)2＝1，整理得2＋y2＝.但P是圆C上一点，且P，Q不重合，∴x0≠1，从而x≠，即x≠1.∴点M的轨迹方程是2＋y2＝(x≠1)，即点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，不包括点(1,0)．解法二：∵点M是弦PQ的中点，∴CM⊥PM.设点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)，则kCM＝，kPM＝.由kCMkPM＝－1，得·＝－1.整理得2＋y2＝.但P是圆C上一点，且P，Q不重合，∴x0≠1，从而x≠，即x≠1.故点M的轨迹方程是2＋y2＝(x≠1)．真题放送1．D　将圆化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，故其圆心坐标为(2，－3)．2．B　圆x2＋y2＋2x－4y＝0化为标准方程：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，可得圆心(－1,2)．∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，可得a＝1.3．B　由(x－1)2＋(y－3)2＝10，可知圆心为M(1,3)，半径为，过E(0,1)的最长弦为圆的直径2，最短弦为以E为中点的弦，其长为2＝2.因两条弦互相垂直，故四边形ABCD的面积为×2×2＝10.4．C　由题意可设两圆的方程均为(x－r)2＋(y－r)2＝r2.将(4,1)代入，可得(4－r)2＋(1－r)2＝r2，∴r2－10r＋17＝0.∴此方程两根分别为两圆半径，∴两圆心的距离|C1C2|＝＝×＝×＝×4＝8.5．B　∵y(y－mx－m)＝0，∴y＝0，或y－mx－m＝0.当y＝0时，显然与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y－mx－m＝0与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同的交点，且m≠0.由方程组消去y，得关于x的一元二次方程，再令Δ＞0，解得m∈∪.6．1　∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴1×。