第二章 解析函数_15876.doc

第二章 解析函数（Analytic function）第一讲授课题目：2.1解析函数的概念2.2解析函数与调和函数的关系教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数与调和函数的关系.学时安排：2学时教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性3、了解复变函数导数的定义教学重点：函数解析的充分必要条件教学难点：解析函数与调和函数的关系教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：思考题：1、2、习题二：1-12板书设计：一、解析函数的概念 二、函数解析的充分必要条件 三、解析函数与调和函数的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、解析函数的概念基本掌握2、函数解析的充分必要条件掌握不太好3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活4、加强课后教学过程：2.1 解析函数的概念(The conception of analytic function)一、复变函数的导数（Derivative of complex function）定义（Definition）2.1 设是在的某邻域内有定义，对于邻域内任一点.如果存在有限的极限值复数，则称在处可导，极限称为在处的导数，记作，或. 即说明：（1）是按任意方式趋于零；（2） 若是在点连续，但在点不一定可导.并且在复变函数中处处连续但又处处不可微的函数很多.例1 设. 证明：在z平面上处处连续，但处处不可导.学生课堂：在z平面上处处连续，但处处不可导.二、 解析函数的概念与求导法则（Resolution and report the concept of function to laws） 1、解析函数的概念（Analytic function concept）定义（Definition）2.2 如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析.如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数. 注1 解析函数这一重要概念，是与区域密切相关的.注2 在区域内解析，指在区域内处处可导.注3 若函数在一点可导，则函数必然在这点连续.注4 函数在一点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注5 函数在一点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一点的可导性不能得到在这个点解析.2、导数的四则运算法则（A derivative of the algorithms）：设和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：.3、复合函数求导法则（Composite function to laws on）：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，则复合函数在内解析，并且有4、反函数的求导法则(Inverse function derivative rule)：设是在区域内解析，且，反函数存在且连续，则.5、举例(For example)： （1）如果（复常数），那么； （2），； （3）的任何多项式在整个复平面解析，并且有 （4）在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同. 三、函数解析的一个充分必要条件（Analytic functions for a full）可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理（Theorem）2.1（可微的充要条件）设函数在区域内有定义，则在点可微的充要条件是：（1）在处可微； (2)在处满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann） 条件（简称C-R方程）. 证明（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时（）其中，.比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，在处可微，并且有即 （充分性）设在处可微，，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，令，有 则有所以，在点可微的.且 说明：（1）解析函数的导数形式： （2）C-R条件是复变函数可导的必要条件而非充分条件. 例2 定理（Theorem）2.2设函数在区域内有定义，则在内解析的充要条件是： （1）在内可微； (2) 在内满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件（简称C-R方程）推论 设函数在区域内有定义，则在区域D内解析的充分条件是： (1)的偏导数在内连续； (2)在内满足柯西-黎曼条件,简称C-R方程 例3 讨论函数的可导性与解析性. 学生课堂讨论： 讨论函数的可导性与解析性. 解 ，所以显然上述四个偏导在整个复平面上连续由条件 只在处可导，从而在复平面上处处不解析.例4 讨论函数的可导性与解析性 解 因为上述的四个偏导数在整个复平面上连续，并且满足C-R方程：所以函数在整个复平面处处可导，故也处处解析，并且有 即 例5 设在区域内解析，证明：若满足下列条件之一，则在内为常数： （1）对每一个，有=0 （2）或在内为常数 （3）在内为常数 （4）在内解析 （5）恒在内为实数 （6）在内为常数证明 注意：在区域内，若,则在内为常数 (1)由及则在内为常数，从而在内为常数. (2) 由在内为常数，故，已知在区域内解析，由方程可知，则在内为常数，从而在内为常数.同理，由在内为常数，可证在内为常数. (4) 设,因为在内为解析，所以 (1)因在内为解析，所以 （2）由（1）和（2）式得 ：故在内为常数.本节重点掌握：（1） 复变函数解析与可导的关系；（2）解析函数的实部和虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解. （3）函数在哪一点不满足C-R方程，函数在那一点不可微. 函数在哪个区域不满足C-R方程，函数在那个区域不解析.2.2 解析函数与调和函数的关系（The relation of analytic function and harmonic function ）一、调和函数的概念(The concept of harmonic functions)定义（Definition）2.3 如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程,则称为区域内的调和函数.调和函数常出现在诸如流体力学、电学、磁学等实际问题中.定理（Theorem）2.3 若在区域内解析,则在区域内与都是区域内的调和函数.证明：因在区域内解析，所以与在区域内满足方程在上述二式子分别对与求偏导数： 因为，于是有即是区域内的调和函数，同理也是区域内的调和函数.注意：此定理的逆不一定成立. 共轭调和函数(Conjugate harmonic function)定义（Definition）2.4 在区域内满足方程 的两个调和函数,中, 称为在区域内的共轭调和函数.由上面的讨论,我们已经证明了:定理（Theorem）2.4若在区域内解析的充分必要条件是在区域内,则在区域内的虚部必为实部的共轭调和函数.注1：由此定理，利用一个调和函数和它的共轭调和函数作一个解析函数. 二、解析函数与调和函数的关系（Analytic functions and functions of the relationship between）现在研究反过来的问题：例如 假设是一个单连通区域，是区域内的调和函数，则在内有二阶连续偏导数，且 由数学分析的定理知：是某函数的全微分，令，则 （1）其中是内的定点, 是内的动点，是一个任意常数，积分与路径无关.结论： 设是在单连通区域内的调和函数,则存在由（1）式所确定的函数,使是内的解析函数.注2： 如单连通区域包含原点,则（1）式中的显然可取成原点(0,0)；注3：（1）可由两端积分得之.注：类似地，两端积分，有 （2） 思考题 ：“是的共轭调和函数”， 、是否可以交换顺序？例6 验证是平面上的调和函数,并求以为实部的解析函数,使合解 ，，，有 故在平面上为调和函数.由（1）得 故要合必故 解法1 解法2 解法3，本节重点掌握：利用一个调和函数和它的共轭调和函数构造一个解析函数的方法.内容小结：1、复变函数的导数2、解析函数的概念与求导法则 点可导与点解析关系；区域可导与区域解析关系3、函数解析的充分必要条件4、调和函数的概念5、共轭调和函数6、解析函数与调和函数的关系7、解析函数的构造方法 2 12.3 初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数、双曲函数与反双曲函数1、掌握初等解析函数及其性质2、理解分出初等多值函数的单值解析分支的方法3、了解双曲函数及反双曲函数初等解析函数初等多值函数讲授法 多媒体与板书相结合思考题：3、4、习题二：13-201、指数函数2、对数函数（多值函数 ）3、一般幂函数（一般是多值函数 ） 4、三角函数5、反三角函数（多值函数 ）6、双曲函数与反双曲函数（多值函数 ）[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008.1、能掌握初等解析函数及其性质2、分出初等多值函数的单值分支的方法理解不透第二讲授课题目：2.3 初等函数教学内容：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数、双曲函数与反双曲函数学时安排：2学时教学目标：1、掌握初等解析函数及其性质2、理解分出初等多值函数的单值解析分支的方法3、了解双曲函数及反双曲函数教学重点：初等解析函数教学难点：初等多值函数教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：思考题：3、4、习题二。