均匀带电薄圆盘的电势及等势面.pdf

教学研究 均匀带电薄圆盘的电势及等势面程昌林?? 王 ? 慧 ? 李业凤 ( 电子科技大学物理电子学院, 四川 成都 ? 610054)( 收稿日期: 2002 -04 -27)摘? 要? 根据电势的叠加原理, 导出了均匀带电薄圆盘电势的级数表达式, 并进而给 出了等势面方程. 关键词? 薄圆盘; 电势; 级数解; 等势面POTENTIAL OF A UNIFORMLY CHARGED DISC AND ITS EQUIPOTENTIAL SURFACESCheng Changlin? Wang Hui ? Li Yefeng(University of Electrical Science and Technology of China, Chengdu, Sichuan 610054)Abstract? We obtain the series solution of the potential of a uniformly charged disc and its equipotential surfaces using the superposition theorem. Key Words? disc; potential; series solution; equipotential surfaces1? 引言在大学物理静电场内容的教学中, 均匀 带电薄圆盘作为一个典型的带电模型, 常常 需要求其周围空间的电场. 由于寻找普遍解 析解的困难, 目前教材上的内容, 通常只局限 于求过其圆心的轴线上的解. 近年来, 寻找普 遍解的问题已受到同行们的关注. 他们或者 在用积分方程表示其电势和电场解的同时, 还用计算机对其进行数值计算[ 1]; 或者通过 数学物理方法, 用 Legendre 多项式表示其电 势[ 2]. 然而, 寻找更易于理解的数学表达式, 常常是学生们问及, 也是我们非常关心的问题. 本文先利用点电荷电势的公式及叠加原 理, 导出均匀带电细圆环周围空间电势的级 数解, 再通过电势叠加原理, 得到均匀带电薄 圆盘电势的级数解. 此外, 还求出了均匀带电 薄圆盘的等势面方程.2? 均匀带电细圆环的电势如图 1, 设均匀带电细圆环半径为 R, 其 电荷线密度为 ? . 由对称性可知: 其电势必以 z 轴对称。

因此, 只要求得 xOz 平面内电势, 则整个空间电势便可知. 图中 dl 线段电荷在 P 点电势为:6物理与工程? Vol. 12? No. 5? 2002??程昌林(1944? ) : 男, 硕士, 重庆人,副教授, 现主要从事大学物理教学.图1dUP=1 4??0?? dl r=1 4??0?? Rd? x2+ z2+ R2- 2xRcos?=C? A 2?d? 1- Bcos?( 1)式中, C =1 2??0; A =R x2+ z2+ R2; B =2xR x2+ z2+ R2. 将细圆环视为点电荷的集合, 由电势叠加原理, 在空间P 点处电势为:UP=C? A 2?2??0d? 1- Bcos?= C? A?? 20d? 1- Bcos?+??? 2d? 1- Bcos?= C? A?? 20d? 1- Bcos?+?? 20d? ? 1+ Bsin? ?= C? A?? 201 1- Bcos?+1 1+ Bsin?d?( 2)其中, ? ?= ? -? 2.利用幂级数( 1 ? x)-1 2= 1 ?1 2x +1?3 2?4x2?1?3? 5 2?4? 6x3+1?3?5? 7 2?4?6? 8x4? ?, | x | R0)( 8)则变量 b 和z 的关系有:z2= y2- R2 0-1 b2( 9)将( 9) 式乘以 b2后与( 8) 式相加, 得到: x2C2 0+z2C0?1+ b22= 1( 10)式中, C0=( y2- R2 0) ( 1+ b2) - 1, ( 10) 式为长轴在 x 轴, 短轴在 z 轴的椭圆. 考虑到均匀 带电圆盘电场以 z 轴对称, 则其等势面方程 为 x2+ y2C2 0+z2C0?1+ b22= 1( 11)此为长轴位于 xOy 面内, 短轴位于 z 轴的旋 转椭球面.5? 讨论( 1) 根据静电场中场强与电势的关系, E = - ?U, 不难从公式( 6) 求出空间中除圆盘 上点外的任一点的场强. 同时, 当 P 点位于圆 盘对称轴, z 轴( x = 0) 上时, 电场有解析解:E= Ez=? 2?01-z z2+ R2 0. 这和现行大学物理教材结果是一致的[ 3].( 下转第 20页)8物理与工程? Vol. 12? No. 5? 2002?量) , ?p?=ma2?? ?, 又 因 ?p?= -?H ??= -m?2a2sin? , 故得小环相对运动微分方程为???+ ?2sin?= 0相对运动的变分原理为??t2t1Ldt = 0( 13)其中的 L 必须用由( 10) 式表示的相对运动的 拉格朗日函数. 作为应用举例再解上例? L = ma2?????+ ma2????- ma2?2sin? ??=d dt( ma2???? ) -d dt( ma2??) ??-ma2?2sin? ? ?=d dt( ma2???? ) - ( ma2???+ ma2?2sin? ) ???t2t1? Ldt = ( ma2???? ) |t2t1-?t2t1( ma2???+ ma2?2sin? ) ?? dt= -?t2t1( ma2???+ ma2?2sin? )?? dt = 0因为除两端点外, ???0, 所以有ma2???+ ma2?2sin?= 0即???+ ?2sin?= 04? 小结在矢量力学中, 由于矢量的绝对微商和 相对微商不相等, 使得从惯性系运动方程导 出的非惯性系相对运动方程形式不同. 而在 分析力学中, 由于标量对时间的绝对微商和 相对微商相等, 使得惯性系动力学与非惯性 系相对运动动力学方程有着相同的形式, 但 仍要注意惯性与非惯性系的区别. 用相对运 动的动力学方程求解某些相对运动问题较惯 性系一般方法来得方便, 这是由于其中拉格 朗日函数中的动能是非惯性系中的相对动 能. 而惯性系方法中的动能是相对惯性系的 动能, 表达式复杂, 不易推导, 优点是不引入 惯性力. 限于篇幅, 文中例题只给出非惯性系 相对运动的解法. 最后指出, 非惯性系受理想 完整约束有势( 包括有势惯性力) 力学系统的 动力学方程与惯性系中的动力学方程等价.参? 考? 文? 献[ 1] ? 程达三等. 非惯性系拉格朗日函数[ J ] . 大学物理,1986, (12)[ 2] ? 周衍柏. 理论力学[ M ] . 北京: 高等教育出版社, 1985.284~ 285[ 3] ? 刘荣万. 相对运动能量积分[ J ] . 大学物理,1995, ( 1)( 上接第 8 页) ( 2) 对于圆盘上的点的电势, 可参看参考 文献[ 1] 的方法进行计算. ( 3) 在导出等势面方程( 10) 或( 11) 的时 候, 我们定义了一个新的变量 b. 如前所述, 这 个变量的定义是由公式( 6) 等势所要求的. 在 该公式中, 电势的值取决于 y 和x2. 如果电势只由 y 决定, 则等势面必为球面, 然而由于 x2的函数也同时影响电势的值, 因而在电势相 等的情况下, z 轴上的电势要小于x 轴上的电 势. 而这个差值, 显然应和 x2成倒数的函数 有关. 所以 b 是与电势值及等势面长短轴有 关的一个新的量. 等势面方程的正确性, 还可通过下述情 形得到验证. 随着我们研究的等势面离圆盘中心愈远, 即 x 愈大, 则 b 值愈小, 由公式 ( 11) , 等势面方程的短轴与长轴差别减小, 旋 转椭球由扁逐渐变圆. 当研究的等势面离圆 盘中心足够远时, b 趋于 0, 等势面近似为球 面. 这相当于圆盘电荷集中于圆心的点电荷 的情形.参? 考? 文? 献[1] ? 赵宝明, 张继生. 均匀带电圆盘的电势及场强分布. 鞍山钢铁学院学报, 1997, ( 4) :32~ 33[2] ? 吴崇试. 均匀带电圆盘的静电势问题. 大学物理, 2000,( 11) : 1~ 4[3] ? 张三慧主编. 大学物理学 ? 第三册? 电磁学. 北京: 清华大学出版社, 199920物理与工程? Vol. 12? No. 5? 2002?。