选修45证明不等式的基本方法综合法与分析法.ppt

19 九月 2024 不等式的证明精选ppt第二第二讲 证明不等式的基本方法明不等式的基本方法　　　　　　　　　　综合法与分析法合法与分析法精选ppt二、二、综合法与分析法合法与分析法例例1.已知已知a,b,c>0,且不全相等，求且不全相等，求证：： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc分析：分析：观察待察待证不等式的特点与重要不等式：不等式的特点与重要不等式：a2+b2≥2ab有关有关所以所以证明可以从明可以从这个重要不等式出个重要不等式出发，，再再结合不等式的性合不等式的性质推出推出.这就是就是综合法合法精选ppt综合法：合法： 一般地，从已知条件出一般地，从已知条件出发，利用定，利用定义、公、公理、定理、性理、定理、性质等，等，经过一系列的推理、一系列的推理、论证而得出命而得出命题成立，成立，这种种证明方法叫明方法叫综合法合法.综合法又叫合法又叫顺推推法或法或由因由因导果果法法综合法的合法的“入手入手处”是一些重要的不等式：是一些重要的不等式：精选ppt例例2.已知已知a1,a2,...,an∈∈R+,且且a1a2...an＝＝1，求，求证 (1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n分析：分析：观察要察要证明的明的结论，可以，可以联想到是由想到是由n个同向不等式相乘得到个同向不等式相乘得到.由基本不等式得：由基本不等式得：再由条件：再由条件： a1a2...an＝＝1可得可得结论精选ppt例例2.已知已知a1,a2,...,an∈∈R+,且且a1a2...an＝＝1，求，求证 (1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n精选ppt变式式练习：：精选ppt点点评：瞄：瞄准目准目标进行拆分与行拆分与组合合精选ppt分析：分析：观察不等式的特点察不等式的特点——联想想n n维均均值不等式不等式关关键：将右：将右边的的1 1移至左移至左边并并进行行“均分均分”再用均再用均值不等不等式即可式即可达到目达到目标精选ppt精选ppt课堂堂练习: :1.1.已知已知a,b,ca,b,c不全相等，且不全相等，且a+b+c=3,a+b+c=3, 求求证：：a a2 2+b+b2 2+c+c2 2>3>3证：：由已知得由已知得(a+b+c)(a+b+c)2 2=9=9即即:a:a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2(ab+bc+ca)=9+2(ab+bc+ca)=9　　①①∵∵a a2 2+b+b2 2≥2ab,≥2ab,由由①①和和②②得得9<3(a9<3(a2 2+b+b2 2+c+c2 2),),即即a2+b2+c2>3．．又又a,b,ca,b,c不全相等不全相等, ,∴ ∴2a a2 2+2b+2b2 2+2c+2c2 2>2ab+2bc+2ca >2ab+2bc+2ca ②②b b2 2+c+c2 2≥2bc,≥2bc,a a2 2+c+c2 2≥2ca≥2ca以上三式相加得以上三式相加得2a2a2 2+2b+2b2 2+2c+2c2 2≥2ab+2bc+2ca≥2ab+2bc+2ca精选ppt小小结：：作作业: :P25－－1,2,7,8课堂堂练习综合法是合法是证明不等式的基本方法，用明不等式的基本方法，用综合法合法证明明不等式的不等式的逻辑关系是：关系是：(A(A为证明明过的不等式的不等式,B,B为要要证的不等式）的不等式）即即综合法是：合法是：由因由因导果果精选ppt分析法分析法 证明命明命题时，我，我们还常常从要常常从要证的的结论出出发，逐步，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需找使它成立的充分条件，直至所需条件条件为已知条件或一个明已知条件或一个明显成立的事成立的事实（定（定义、、公理或已公理或已证明的定理、性明的定理、性质等），从而得出要等），从而得出要证的命的命题成立，成立，这种种证明方法叫做分析法明方法叫做分析法.这是一种是一种执果索因果索因的思考和的思考和证明方法明方法精选ppt因因为14<18成立，成立，精选ppt例例2.已知已知a>0,b>0,2c>a+b.求求证：：分析：分析：原不等式等价于原不等式等价于又又a>0所以，只需所以，只需证：：a<2c-b 即：即：a+b<2c由由题设知知a+b<2c成立成立, ∴ ∴原不等式得原不等式得证.精选ppt精选ppt精选ppt课堂堂练习精选ppt2.证明:当周长相等时,圆的面积比正方形的面积大. 这就证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大．课堂堂练习精选ppt课堂堂练习精选ppt课堂堂练习精选ppt作作业：：P26－－3,4,5,6,9 分析法的思路是分析法的思路是“执果索因果索因”，未知，未知⇒⇒已知已知 即从求即从求证的不等式出的不等式出发，不断地用充分条件来代替，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式前面的不等式，直至找到已知的不等式为止。

止小小结:(1)(1)法常用于比法常用于比较法，法，综合法合法难于于 入手的入手的题型．型．(2)(2)分析法的分析法的优点是利于思考，因点是利于思考，因为它方向明确思它方向明确思路自然，易于掌握，而路自然，易于掌握，而综合法的合法的优点是易于表述，点是易于表述，条理清楚条理清楚, ,形式形式简洁，因而，因而证不等式不等式时常常用分常常用分析法析法寻找解找解题思路，再用思路，再用综合法写出合法写出证明明过程．程． 精选ppt解:设f(x)=(1+x)n－(1+nx)，则 f´(x)=n(1+x)n-1－n＝n［(1+x)n-1－1］.　 由f´(x)=0得x=0,于是 当x∈(-1，0)时,f´(x)<0，f(x在(-1,0)上递减. 当x∈(0,+∞)时,f´(x)>0，f(x)在(0,+∞)上递增. ∴当x=0时，f(x)最小，最小值为0，即f(x)≥0． ∴ (1+x)n ≥1+nx.例4.已知x＞-1，n≥2且n∈N N*，比较(1+x)n与1+nx的 大小.精选ppt例4.已知x＞-1，n≥2且n∈N N*，比较(1+x)n与1+nx的 大小.解:设t=1+x,则t>0,(1+x)n-(1+nx)=tn－nt＋n－1(﹡) 再设f(t)= tn-nt+n-1,则 f´(t)=ntn-1－n＝n(tn-1－1］. 当t∈(0，1)时,f´(t)<0，f(t)在(0,1)上递减. 当t∈(1,+∞)时,f´(t)>0，f(t)在(1,+∞)上递增. ∴当t=0时，f(t)最小，最小值为0，即f(t)≥0． ∴tn－nt＋n－1≥0,由(﹡)式即得(1+x)n ≥1+nx.精选ppt。