平面曲线的弧长与曲率.doc

《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 河西学院数学系1§3§3 平面曲线的弧长与曲率平面曲线的弧长与曲率教学目标：教学目标：掌握平面曲线的弧长与曲率教学内容：教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式．(2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．教学建议：教学建议：(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式．(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式．教学过程：教学过程：一、曲线弧长的概念一、曲线弧长的概念设平面曲线),(BAC，在其上从A到B依次取分点得曲线的一个分割T：BPPPPAn,,,,210用线段联结相邻的点得：niPPii,, 2 , 1,1记 niiiTiiniPPsPPT 1111,max分别表示最长弦的长度和折线的总长度定义 1 对于平面曲线C的无论怎样的分割T，若极限ssT T 0lim存在，则称曲线C是可求长的，并称s为曲线C的弧长二、参数形曲线的弧长的计算公式二、参数形曲线的弧长的计算公式定义定义 2 2 设平面曲线].,[),(),(:ttyytxxC若)(tx与)(ty在],[上连续可微，且)( ' tx与)( ' ty不同时为零，则称C为一条光滑曲线。

定理定理 1 1 设平面曲线],[),(),(:ttyytxxC为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 河西学院数学系2.)(')('22dttytxs证证： 对C作任意分割T： BPPPPAn,,,,210，并设nPP ,0分别对应t与x，且. 1, 2 , 1)),(),((),(nitytxyxPiiiii于是与T对应地得到区间],[的一个分割.: '110nnttttT在],[1iiixx上应用微分中值定理得;,)( ')()(1iiiiiiitxtxtxx.,)( ')()(1iiiiiiitytytyy从而有.)(')(' 122122 iniiiniiiTtyxyxs 由C为一光滑曲线知，0T与0' T是等价的又由)(')('22tytx在],[上连续从而可积，因此由定义 1，只需证明 iniiiTTTtyxs 1220'0)(')('limlim.)(')('22dttytx（*）记, )(')(')(')('2222 iiiiiyxyx则有.])(')('[ 122 iiniiiTtyxs 由三角不等式易证., 2 , 1, )( ')( ')( ')( 'niyyyyiiiii又因)( ' ty在],[上连续，从而一致连续，故, 0, 0当'T时，只要iii ,，就有.., 2 , 1,nii于是有.)(')(' 11122 iniiniiiniiiiTtttyxs《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 河西学院数学系3由此及（*）式知，所证公式成立。

例例 1 1、、求摆线)0)(cos1 (),sin(atayttax一拱的弧长解解： ,sin)( '),cos1 ()( 'tatytatx由公式 得dttadttytxs 2022022)cos1 (2)(')(' =.82sin220adtta三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式若曲线C：],[),(baxxfy，则当)(xf在],[ba上连续可微时，此曲线为一光滑曲线，它的弧长公式为.)('12dxxfsba例例 2 2、求悬链线2xxeey从0x到0 ax一段的弧长解解： , 4)('1 ,2'22xxxxeeyeey 由公式得.22)('1002aaaxxaeedxeedxxfs四、极坐标形曲线的弧长的计算公式四、极坐标形曲线的弧长的计算公式设曲线C：].,[),( rr将其化为参数形C：].,[,sin)(,cos)(ryrx当)( ' r在],[上连续，且)(r与)( ' r不同时为零时，此极坐标曲线是一光滑曲线，其弧长的计算公式为.)(')(22drrs例例 3 3、求心形线)0)(cos1 (aar的周长。

解解： 由公式得 dadrrs2022022)cos1 (22)(')(《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 河西学院数学系4.82cos40ada注意：若定理 1 中公式的上限改为变量t，则有.)(')('22dyxst由于被积函数 连续，所以有)(')(')( '22tytxtsds=dttytx)(')('22后式称为弧微分作业作业：P246 : 1.。