《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教案、导学案、课后作业.docx

《8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的外表积和体积》教案【教材分析】本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的构造特征和直观图两个方面生疏了旋转体的根底上，进一步从度量的角度生疏圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括外表积和体积.【教学目标与核心素养】课程目标1. 通过对圆柱、圆锥、圆台、球的争论，把握圆柱、圆锥、圆台、球的外表积和体积计算公式．2. 能运用圆柱、圆锥、圆台、球的外表积和体积公式进展计算和解决有关实际问题．数学学科素养1. 数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的外表积与体积公式；2. 数学运算：求旋转体及组合体的外表积或体积；3. 数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的外表积和体积公式进展计算和解决有关实际问题.【教学重点和难点】重点：把握圆柱、圆锥、圆台、球的外表积和体积计算公式和应用； 难点：圆台的体积公式的理解.【教学过程】一、情景导入前面已经学习了三种多面体的外表积与体积公式，那么如何求圆柱、 圆锥、圆台、球的外表积与体积公式？要求：让学生自由发言，教师不做推断而是引导学生进一步观看.研探. 二、预习课本，引入课阅读课本 116-119 页，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、外表积公式各是什么？2. 圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？3. 球的外表积与体积公式各式什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表答复以下问题。

三、知探究〔一〕 圆柱、圆锥、圆台的外表积圆柱(底面半径为 r，母线 圆锥(底面半径为 r，母长为 l) 线长为 l)圆台(上、下底面半径分别为 r′，r，母线长为 l)侧面展开图底面积S＝2πr2底S＝πr2底S＝π(r′2＋r2)底侧面积S＝2πrl侧S＝πrl侧S＝π(r′＋r)l侧外表积S ＝2πr(r+l)S ＝πr(r+l)S ＝π(r′2＋r2)+表表 表 π(r′＋r)l〔二〕 棱柱、棱锥、棱台的外表积 1．棱柱：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝Sh.12. 棱锥：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝ Sh.3S′S1 S3. 棱台：台体的上、下底面面积分别为 S′、S，高为 h，则 V＝ ( ′＋3＋S)h.(三) 球的体积公式与外表积公式1. 球的体积公式 V＝4 𝜋𝑅3 (其中 R 为球的半径)．32. 球的外表积公式 S＝4𝜋𝑅2. 四、典例分析、举一反三题型一 圆柱、圆锥、圆台的外表积例 1 假设一个圆锥的轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 cm2，外表积为 cm2.【答案】8π 12π.【解析】如以下图，∵轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，∴圆锥的侧面积 S＝π×2×4＝8π (cm2)，侧外表积 S＝8π＋π×22＝12π (cm2)．表解题技巧〔求旋转体外表积留意事项〕旋转体中，求面积应留意侧面开放图，上下面圆的周长是开放图的弧长．圆台通常还要复原为圆锥．跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4，假设母线长为 10，则圆台的外表积为( )A. 1π C．168π【答案】CB. 0π D．169π【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如以下图，设上底面半径为 r，下底面半径为 R，则它的母线长为 l＝h2 + (R - r)2(4r)2 + (3r)2＝所以 r＝2，R＝8.＝5r＝10，故 S ＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，侧S ＝S表＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.侧题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积例 2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是 0.3m，圆柱高 0.6m 假设在浮标外表涂一层防水漆，每平方米需要 0.5kg 涂料，那么给1000 个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？〔π 取 3.14〕【答案】423.9kg【解析】一个浮标的外表积是2p ´ 0.15´ 0.6 + 4p ´ 0.152= 0.8478m2 )，(所以给 1000 个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478 ´ 0.5 ´1000 = 423.9(kg) . 解题技巧(求几何体积的常用方法)(1) 公式法：直接代入公式求解．(2) 等积法：例如四周体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．(3) 补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4) 分割法：将几何体分割成易求解的几局部，分别求体积． 跟踪训练二1. 如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积．【答案】10π.【解析】用一个完全一样的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为 π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为 10π.2. 梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， 在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥BC，以l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周，求旋转体的外表积和体积．【答案】见解析【解析】由题意知以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如以下图．在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝ BC－AD ＝2a，AB＝CDsin60°＝ 3a， cos60°∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，DO 1 ′＝a.∴ ＝ DD2由上述计算知，圆柱的母线长为 3a，底面半径为 2a；圆锥的母线长为 2a， 底面半径为 a.∴圆柱的侧面积S ＝2π·2a· 3a＝4 3πa2，圆锥的侧面积S ＝π·a·2a1 2＝2πa2，圆柱的底面积 S ＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积 S ＝πa2，3 4∴组合体上底面面积 S ＝S －S ＝3πa2，5 3 4∴旋转体的外表积 S＝S ＋S ＋S ＋S ＝(4 3＋9)πa2.1 2 3 5又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且 V ＝柱π·(2a)2· 3a＝4 3πa3，1V ＝ ·π·a2· 3a＝3πa3.锥 3 3∴旋转体的体积 V＝V－V ＝4 3πa3－柱 锥3 11 33 πa3＝ 3 πa3.题型三 球的外表积与体积例 3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.2【答案】 3【解析】 设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R.4球的体积V = p R3 ，圆柱的体积V= p R2 × 2R = 2p R3 ，1 3 2\V :V1 24 2= p R3 : 2p R3 = .3 3例4 平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为 2， 则此球的体积为( )A. 6πB．4 3πC．4 6π D．6 3π【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，则 OO′＝ 2，O′M＝1.∴OM＝ ( 2)2＋1＝ 3.4即球的半径为 3.∴V＝ π( 3)3＝4 3π.3解题技巧〔与球有关问题的留意事项〕 1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1＝𝑎，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．22. 球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有 r ＝2√2𝑎 ，如图(2)．23. 长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，依据球的定义可知， 长方体的体对角线是球的直径，假设长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为 r ＝3√𝑎2+𝑏2+𝑐2 2，如图(3)．4. 正方体的外接球正方体棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R＝ 3a.5. 正四周体的外接球正四周体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R＝62 a.6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决. 跟踪训练三1、将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )2π 34πA. 3 B.3π 2πC. D. 6【答案】A.【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，依据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是 V球4 4π＝ ×π×13＝ .3 32. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱长都为 a，顶点都在一个球面上， 则该球的外表积为( )7A. πa2 B.3πa211C. 3 πa2 D．5πa2【答案】B.【解析】选 B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a.如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP2 3a＝3a，OP＝ ×3 2 31 æ 3 öæ1 ö 7 7＝ a，所以球的半径 R＝OA 满足 R2＝ç a÷2＋ç a÷2＝ a2，故 S ＝4πR2＝ πa2.2 è 3 ø è2 ø 12 球 3五、课堂小结8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的外表积和体积1、圆柱、圆锥、圆台外表积公式例 1例 22、圆柱、圆锥、圆台体积公式例 3例 43、球的外表积与体积公式让学生总结本节课所学主要学问及解题技巧六、板书设计七、作业课本 119 页练习，119 页习题 8.3 的剩余题.【教学反思】本节课的重点是把握圆柱、圆锥、圆台、球的外表积和体积计算公式和应用， 通过本节课的例题及练习，学生根本把握.须留意的是:① 求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是外表积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.《8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的外表积和。