2006考研数三真题及解析.doc

Born to win2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) (2) 设函数的某领域内可导,且,则(3) 设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分(4) 设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则(5) 设随机变量与相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则 (6) 设总体的概率密度为为总体x的简单随机样本,其样本方差,则=__________二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则( ) (A) (B) (C) (D) (8) 设函数在处连续,且,则( )(A)存在 (B)存在(C)存在 (D)存在(9) 若级数收敛,则级数 ( )(A) 收敛 (B) 收敛(C) 收敛 (D) 收敛(10) 设非齐次线性微分方程有两个的解为任意常数,则该方程通解是( )(A) (B)(C) (D)(11) 设均为可微函数,且,已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是 ( )(A) 若 (B) 若(C) 若 (D) 若(12) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是( ) (A)若线性相关，则线性相关. (B)若线性相关，则线性无关. (C)若线性无关，则线性相关.(D)若线性无关，线性无关. (13) 设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将第一列的 -1倍加到第2列得,记，则( )(A) (B) (C) (D) (14) 设随机变量服从正态分布,随机变量服从正态分布,且,则必有 ( )(A) (B) (C) (D) 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分7分)设, 求(I) ; (II) .(16)(本题满分7分)计算二重积分,其中D是由直线,所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明:当.(18)(本题满分8分)在坐标平面上,连续曲线过点其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于(I) 求的方程;(II) 当与直线所围成平面图形的面积为时,确定的值.(19)(本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数.(20)(本题满分13分)设4维向量组 问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21)(本题满分13分) 设3 阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(I) 求的特征值与特征向量(II) 求正交矩阵和对角矩阵,使得;(III) 求及,其中为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分)设随机变量的概率密度为为二维随机变量的分布函数, 求: (I) 的概率密度; (II) ; (III) .(23)(本题满分13分)设总体的概率密度为,其中是未知参数为来自总体的简单随机样本,记为样本值中小于1的个数,求: (I) 的矩估计; (II) 的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】1【详解】题目考察数列的极限，由于数列中有，故求此数列的极限，分为奇数列和偶数列两个部分进行。

记，则 所以 . (2)【答案】【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数 利用题目已知的函数关系式进行求导便可得出由，有所以 以代入，得.(3) 【答案】【详解】题目求复合函数在某点处的全微分，可有两种方法：方法1： 由微分形式不变性，有方法2： 求偏导数， .以，代入便得如上结果.(4)【答案】 【详解】由已知条件变形得，, 两边取行列式, 得 其中，， 因此，.(5)【答案】【详解】根据独立性原理：若事件独立，则事件，而随机变量与均服从区间上的均匀分布，有和. 又随机变量与相互独立，所以，(6)【答案】【详解】样本方差是总体方差的无偏估计量，故只要计算即可.概率密度函数是偶函数，则为奇函数，所以 所以 二、选择题(7)【答案】【详解】方法1： 图示法. O x0 x0+Δx xyy=f(x) Δydy因为则严格单调增加；因为 则是凹函数，又，画的图形结合图形分析，就可以明显得出结论：.方法2：用两次拉格朗日中值定理(前两项用拉氏定理) (再用一次拉氏定理), 其中由于，从而. 又由于，故选方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：，其中. 此时取1代入，可得又由，选 .(8) 【答案】【详解】题目考察该抽象函数在0点处的函数值，及0点处的左右导数，计算如下：换元令，由题设可得 .于是 因为函数在点处连续，故，进而有 .这表明且存在. 故应选 .(9) 【答案】【详解】方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为收敛，所以也收敛，所以收敛，从而也收敛.选D.方法2：记 ，则收敛. 但，(级数，级数发散)；(级数，级数发散)均发散。

由排除法可知，应选D.(10) 【答案】【详解】线性方程解的性质与结构：1. 由非齐次线性微分方程的两个特解，求该方程的通解；2. 线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解.因为，所以是齐次微分方程的一个非零解，是任意常数，所以是对应的齐次微分方程的通解. 再加上原非齐次方程的一个特解，便得原非齐次方程的通解，[].(11) 【答案】【详解】方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题已知，由，在邻域，可确定隐函数，满足，是在条件下的一个极值点是 的极值点它的必要条件是若，则，或，因此不选，.若，则(否则). 因此选方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函数，有因为，所以，代入(1)得若，则，选(12)【答案】A【详解】方法1：若线性相关, 则由线性相关定义存在不全为的数使得 为了得到的形式，用左乘等式两边, 得 ①于是存在不全为的数使得①成立，所以线性相关.方法：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:1. 线性相关Û；2. . 矩阵, 设， 则由得. 所以答案应该为().(13) 【答案】【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出将的第2行加到第1行得，即 将的第1列的-1倍加到第2列得，即因为，故. 从而 ,故选().(14) 【答案】A.【详解】由于与的分布不同，不能直接判断和的大小与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。

随机变量标准化，有，且其概率密度函数是偶函数. 所以.同理有，因为是单调递增函数，当时， ，即，所以，故选(A).三、解答题(15)【详解】题目考察二元函数的极限，求时，可以将视为常数(I) ,由于，所以 所以.(II) (16)【详解】题目考察二重积分的计算，画出积分区域，化为累次积分即可以很容易求出计算步骤如下：积分区域如下图所示. ， 故 .(17)【详解】令，只需证明单调增加(严格) 单调减少(严格)，又，故时，则单调增加(严格) 得证(18)【详解】(I) 设所求的曲线方程为，按题意，在其上任意一点处的切线斜率与的斜率的差等于，即有, 并且有初始条件. 解之，按一阶线性微分方程解的公式，有(以上不写成而可以写成的原因是，题中有初始条件，取在处而微分方程的解应是连续的，题设，故其解只能取在包含而不跨过区间，故,因此可以写成).再由定出，于是所求的曲线方程为 .(II) 直线与曲线的交点与. 所以直线与曲线所围平面图形的面积为按题意，，故.(19)【详解】记 ， 有 所以，当即时，原级数绝对收敛；当，即时，原级数通项不趋于0，级数发散，所以，收敛半径. 在处，级数绝对收敛，故收敛域为.求和函数，应在收敛区间内进行，即，由 令有 .再倒回去，有 .于是 .又因在处级数收敛，右边和函数的表达式在处连续，因此，在处上式仍成立，即有(20)【详解】方法1：记，则把所有列都加到第一列把第一列公因式提到行列式前面 线性相关的定义：存在一组不等于零的数使得成立，则线性相关. 于是当时方程组有非零解，此时满足线性相关的定义. 即：，解得当或时，线性相关.当时，为的一个极大线性无关组，且.当时, 对作初等行变换. 可以看出由于为的一个极大线性无关组，且，故为的一个极大线性无关组，且.方法2：记，对施以初等行变换，有当时，，得，因而线性相关,此时为的一个极大线性无关组，且.时，再对施以初等行变换，有如果，的秩为4，故线性无关；如果时，的秩为3，故线性相关. 由于是的一个极大线性无关组，且，于是是的一个极大线性无关组，.(21)【详解】(I) 由题设条件，，故是的对应于的特征向量，又因为线性无关，故至少是的二重特征值. 又因为的每行元素之和为，所以有，由特征值、特征向量的定义，是的特征向量, 特征值为，只能是单根，是全体特征向量，从而知是二重特征值.于是的特征值为；属于的特征向量: ；属于的特征向量: ，不都为.(Ⅱ) 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化 .先将单位化, 得.对作施密特正交化, 得, .作, 则是正交矩阵,并且 (III)由，其中.(22)【详解】, 由于是分段函数，所以在计算时，要相应分段讨论. 求只是与有关，不必先求出的函数.(I) 因为，当时，当时，；当时，；当时，综上所述，有由概率密度是分布函数在对应区间上的的微分，所以，这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，属于基本题型.(Ⅱ) 由协。