波的干涉.pdf

声学基础讲义中国特种设备检测研究中心 李光海 1第五讲平面声波在流体介质中的传播第三章第三章第三章第三章声的传播声的传播声的传播声的传播上一章的回顾 牛顿第二定律?运动方程质量守恒定律?连续性方程?222 0221 tp cxp ∂∂=∂∂状态参数关系?物态方程我们在上一章中讨论的是平面声波在无限空间中自由传播的规律，然而，声波在传播 的路径上会遇到各种各样的障碍物，例如，声波从一种介质进入另一种介质中时，后者对于 声波来说就是一种障碍 所以，在这一章中讨论声波在各种情况下的传播规律§§§§1. 声波的反射声波的反射声波的反射声波的反射、、、、折射和透射折射和透射折射和透射折射和透射平面波入射到两种介质的分界面上时，部分声能反射，形成反射波；部分声能穿透界 面进入另一介质，形成折射波例如，研究声波在海洋中传播，将会碰到海底反射和海面反 射等问题；在换能器和基阵的结构设计中，也常碰到声反射问题 平面波在无限、均匀介质分界面上的反射，是声反射最简单的情形，但可以反映声反 射的某些基本特性 首先来看介质的边界条件1声学边界条件两边是不同的理想流体，特性阻抗不同，分别是11cρ和22cρ设在分界面上取一个面积为 S、足够薄的质量 元，质量为ΔM，那么它的左右两个界面分别位于两 种介质里 分界面附近两种介质中的压强分别为 P(1)和 P(2)，存在压强差，就会引起我们这个质量元的运动 根据牛顿第二定律，运动方程为dtdvMSPP∆=−)]2() 1 ([我们认为质量元无限薄，质量ΔM?0，而质量元 的加速度是有限的，所以由上式可得声学基础讲义中国特种设备检测研究中心 李光海 20)2() 1 (=− PP⇒)2() 1 (PP=这个等式对于声波有无都是成立的假设无声波存在时，两边的压强，设为0P那么，有声波存在时，两边的压强分别为202101pPPpPP+==+=，所以21pp =------介质分界面处的声压连续同样我们还有，介质分界面处的法向速度连续21vv =------介质分界面处的法向速度连续法向速度法向速度法向速度法向速度指垂直于分界面的指垂直于分界面的指垂直于分界面的指垂直于分界面的速度分量速度分量速度分量速度分量这两个就是介质分界面处的声学边界条件2平面声波垂直入射时的反射和透射设介质 1 和 2 的特性阻抗分别是11cρ和22cρ，设入射声压为)(kxtj iaiepp−=ω，在分界面上有反射12和透射，对于反射波，有11cρ22cρ)(kxtj rarepp+=ω透射波pipt)(kxtj tatepp−=ω那么，在介质 1 中的总声压为pr)()( 1kxtj rakxtj iariepepppp+−+=+=ωω在介质中的声压为)( 2kxtj tateppp−==ω0x根据声压与质点振速的关系，∫∂∂−=dtxpv01 ρ，求出介质 1 和 2 中的速度分别为)()( 1kxtj rakxtj iaevevv+−+=ωω，)( 2kxtj taevv−=ω其中111 cpva iaρ=，11cpvra raρ−=，22cpvta taρ=声学基础讲义中国特种设备检测研究中心 李光海 3根据声学边界条件声压连续，法向速度连续，有02010201 )()()()(==== ==xxxx vvpp由第一式taraiatj taxtj ratj iaxpppeppepepp=+⇒==+===ωωω 0201)()(，同理，可得taraiavvv=+，221111cp cp cptaraia ρρρ=−⇒根据上式可求出反射声压与入射声压之比pr，透射声压与入射声压之比ptpr221111cp cp cptaraia ρρρ=−raiataraiappppccpcc+==−⇒11221122 ρρ ρρ) 1()1 (11221122−=+ccpccpiaraρρ ρρ112211221122112211ccccccccppriara pρρρρρρρρ+−= +− ==令111cRρ=，222cRρ=，12 112212Rcc RR==ρρ，21 221121Rcc RR==ρρ，1112121212 +−=+−=RR RRRRrppt221111cp cp cptaraia ρρρ=−tataraiapRRpccpp212211==−⇒ρρ又taraiappp=+，两式相加，有taiapRRp)1 (221+=，21221212 1212 RRR R RRpptiata p+=+= +==同样，可以得到反射波速度与入射波速度之比vr，透射波速度与入射波速度之比vt声学基础讲义中国特种设备检测研究中心 李光海 4121221212121 11 11 RR RR RRRR vvriara v+−=+−=+−==12 122212112211 +=+=+==RR RRRR vvtiata v从这几个式子，可以看出，声波在分界面上的反射与透射决定于介质的特性阻抗，也 就是说介质的特性阻抗对声在界面上的行为有重要的影响，我们分几种情况讨论A. 21RR =，匹配，vprr== 0，vptt==1表明没有反射，全透射，这说明尽管两种介质不一样，但是只要特性阻抗相同，对 于声传播来讲，这种分界面就象不存在一样B. 12RR >， （硬边界） ， “软”介质?“硬”介质的入射特性阻抗大的介质相对于特性阻抗小的介质较“硬” ，反之，较“软” ，这是相对概念， 例如水相对于空气，是“硬” ；水相对于钢，是“软”0>pr，0pt，0>vt反射波与入射波的速度反相相位相差 1800） ，但是反射波与入射波的声压同相在物 理上，接近于弹性碰撞C. 12RR vr0>pt，0>vt反射波与入射波的速度同相，但是反射波与入射波的声压反相在物理上，接近于非弹 性碰撞声学基础讲义中国特种设备检测研究中心 李光海 5D. 12RR >>， （硬反射，边界十分坚硬1≈pr，1≈vr2≈pt，0≈vt介质 2 对于 1 十分“坚硬” ，入射波质点速度接近于完全弹回介质 1 的情况，入射波质 点速度与反射波质点速度大小相等，相位相反，合成为 0 入射波声压与反射波声压大小相同，相位相同，合成声压是两倍，这实际上是全反射全反射全反射全反射 介质 1 中入射波与反射波形成驻波，分界面处是声压的波腹、速度的波节在介质 2 中没有声波的传播，所以0≈vt，它的声压是分界面处的声压，为静态声压声波从空气?水的传播属于这种边界“十分坚硬”的问题E. 12RR n>1，?1122ccρρ>且21cc >m时，itθθ>，入射角从 0 度逐渐增大，折射角也随着增大，当入射角大到某一个角度icθ时，折射角090=tθ，这时折射波沿着分界面传播入射角继续增大，iciθθ>时，1sin>tθ，不存在实数的角tθ，介质 2 中没有通常意义的折射波这时，入射角仍然等于反射角，即riθθ=，反射系数变成复数根据 Snell 定律，21 sinsin ccti=θθ，21arcsinccic=θ，为全内反射临界角全内反射临界角全内反射临界角全内反射临界角例如空气入射到水，'231323. 0021≈⇒≈=icccnθ3掠入射掠入射时，入射角为090=iθ，0cos, 1sin==iiθθ，所以1 sincossincos2222 −=−= −+−−=nnnmnmriiii pθθθθ也就是说，掠入射时，无论介质 1 和 2 的特性阻抗如何，都有1=pr，都会发生全反射我们上面讨论说，只有在iciccθθ>>且12时才能出现全反射，而这里，我们发现在12cc>− RR时， , 1sin, 0cos22==DkDk⇒04 )(4221122 2112≈   +=+=RR RRRRtI中间层厚度是 1/4 波长的奇数倍且两种介质的特性阻抗相差很大时， 声波完全不能透过 去，中间层完全隔声4一般情况 固定厚度的中间层，且特性阻抗与介质 1 不同，中间层的透声随频率周期变化，声学基础讲义中国特种设备检测研究中心 李光海 14tID/λ201/2 几种情况 1透射系数等是基于连续波得到的结果，而实际上，由于前后两个分界面的反射，连续波 在中间层里形成了驻波；在我们常用的检测技术中，采用的不是连续波，一般是正弦调制脉 冲，这时，中间层内没有驻波，但是声压透射系数成为2 2121 )(4 RRRR pptiata p+==2我们讨论的时候，介质 1 和 3 是相同的，如果介质 1 和 3 不同，这时候的声强透射系数DkRRRRDkRRRRtI222231 2222 3131sincos)(4   +++=从上式发现， 当2) 12(222π λπ−==nDDk即4) 12(2λ−=nD中间层厚度是 1/4 波长的奇数倍） ，且312RRR =时，1=It也就是说虽然声阻抗不匹配，但是适当选择中间层的厚度和特性阻抗，仍然有可能实现声能量的全透射3斜入射时的声波通过中间层的透射系数为Dkzz zzDktDkzz zzDktIp'sin'cos44'sin'cos422222112 222/12222112 22   ++=      ++=式中，tkk222cos'θ=，iczθρ cos11 1=，tcz222 2cosθρ=，t2θ是中间层中的折射角声学基础讲义中国特种设备检测研究中心 李光海 152隔声描述隔声，通常采用隔声量传声损失） ，符号 TL，单位是分贝，定义)(1lg10dBtTLI=见教材 P220~225 声学基础讲义中国特种设备检测研究中心 李光海 16§§§§3. 声波的干涉声波的干涉声波的干涉声波的干涉假设各声源同时存在时各自辐射的声波，分别为nppp,,,21L，我们现在讨论这些波同时存在的声场的性质1叠加原理小振幅声波的波动方程222 0221 tp cxp ∂∂=∂∂和222 021 tp cp∂∂=∇，在数学上均为线性方程，因此小振幅声波满足叠加原理 我们之前讨论的时候， 认为介质 1 中的声场是入射波和反射 波声场的叠加，已经利用了叠加原理这在数学上是可以证明的我们这里以两列波的叠加为例，有21ppp+=，也就是说两列声波的合成声场的声压两列声波的合成声场的声压两列声波的合成声场的声压两列声波的合成声场的声压等于每列声波的声压之和等于每列声波的声压之和等于每列声波的声压之和等于每列声波的声压之和，这就是声波的叠加原理声波的叠加原理声波的叠加原理声波的叠加原理，可以推广到多列声波的情况2驻波假设有两列相同频率，但是行进方向相反的平面波，分别表示为)()(kxtj rarkxtj iai eppepp+−==ωω根据叠加原理，合成声场表示为)()(kxtj rakxtj iariepepppp+−+=+=ωω)()()()(kxtj rakxtj rakxtj rakxtj iaepepepep+−−−++−=ωωωωtjjkxjkx rakxtj raiaeeepeppωω][)()(++−=−−tj rakxtj raiakxepeppωωcos2)()(+−=−我们发现，合成声场的第一项为沿正方向行进的波，第二项是驻波场，质点做同相位 振动，振幅与位置有关声压波腹21cosλπnxnkxkx=⇒=⇒=n=1，2，3，…时，声压振幅最大；声压波节4) 12(2) 12(0cosλπ−=⇒−=⇒=nxnkxkxn=1，2，3，…时，声压振幅为 0声学基础讲义中国特种设备检测研究中心 李光海 17如果反射波越强， 即rap越大， 驻波场对整个声场起作用越大， 当全反射时，iarapp=，合成声场表现为驻波场的形式，称为定波定波定波定波3声波的相干性这里讨论的是具有相同频率、固定相位差的声波的叠加，这时声波发生干涉 设到达空间某点的两列声波为)cos()cos(222111 ϕωϕω−=−=tpptppaa固定相位差指的是相位差21ϕϕ−=Ψ对时间是常数，不随时间变化，但Ψ可以是位置的。