解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案.pdf

名师总结优秀知识点解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在ABC 中，RCcBbAa2sinsinsin（R 为ABC 外接圆半径） 2、变形公式：（ 1）化边为角：2sin,2sin,2sin;aRA bRB cRC（ 2）化角为边：sin,sin,sin;222abcABCRRR（ 3）:sin:sin:sina b cABC（ 4）2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC. 3、三角形面积公式：21111sinsinsin2sin sin sin22224ABCabcSahabCacBbcARABCR4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）二、余弦定理1、余弦定理：Abccbacos2222bcacbA2cos222Bacacbcos2222cabacB2cos222Cabbaccos2222abcbaC2cos2222、余弦定理可以解决的问题：精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀知识点北东hil（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）. 图 1 图 2 图 3 图 4 2、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为（如图 2）. 3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）. 4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、 （2012 天津理） 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是, ,a b c,已知8 =5bc,=2CB,则cosC（）A725B725C725D2425【答案】 A 【解析】85 ,bc由正弦定理得8sin5sinBC，又2CB，8sin5sin 2BB，所以8sin10sincosBBB，易知247sin0,cos,coscos22cos1525BBCBB. 2、 （2009 广东文） 已知ABC中，CBA,的对边分别为, ,a b c若62ac且75Ao，则b北东南西B 目标lh 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀知识点( ) A2 B42 3C42 3D62【答案】A 【解析】000000026sinsin 75sin(3045 )sin30 cos45sin 45 cos304A由62ac可知,075C,所以030B,1sin2B由正弦定理得261sin2sin2264abBA,故选 A 3、 （2011 浙江） 在ABC中，角,A B C所对的边分, ,a b c.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB( )A-12B12C -1 D 1 【答案 】D 【解析 】BbAasincos，BAA2sincossin，1cossincoscossin222BBBAA. 4、 （2012 福建文） 在ABC中,已知60 ,45 ,3BACABCBC,则AC_. 【答案】2【解析】由正弦定理得32sin 45sin 60ACAC5、 （2011 北京） 在ABC中，若15,sin43bBA，则a. 【答案】325【解析】：由正弦定理得sinsinabAB又15,sin43bBA所以55 2,13sin34aa6、 （2012 重庆理） 设ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c,且35cos,cos,3,513ABb则c_ 【答案】145c精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀知识点【解析】由35412cos,cossin,sin513513ABAB, 由正弦定理sinsinabAB得43sin13512sin513bAaB, 由余弦定理2222142cos25905605acbbcAccc7、 （2011 全国） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c.己知sincsin2 sinsinaACaCbB. （I）求 B； （）若075 ,2,Abac求 ，. 【解析】（I）由正弦定理得2222acacb由余弦定理得2222cosbacacB. 故2cos2B，因此45B（II）sinsin(3045 )Asin30 cos45cos30 sin 45264故sin2613sin2AabBsinsin6026sinsin45CcbB. 8、 （2012 江西文） ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. （1）求 cosA; （2）若 a=3,ABC 的面积为2 2,求 b,c. 【解析】（1）3(coscossinsin)16coscos3coscos3sinsin13cos()11cos()3BCBCBCBCBCBCA则1cos3A. （2）由（ 1）得2 2sin3A,由面积可得bc=6,则根据余弦定理2222291cos2123bcabcAbc则2213bc, 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀知识点 两式联立可得32ba或32ab. 9、 （2011 安徽） 在ABC 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 所对的边长， a=3，b=2，12cos()0BC，求边 BC 上的高 . 【解析】：ABC180 ，所以 BCA，又12cos()0BC，12cos(180)0A，即12cos0A，1cos2A，又 0 A180 ，所以 A60 . 在ABC 中，由正弦定理sinsinabAB得sin2sin602sin23bABa，又ba，所以 BA，B45 ，C75 ，BC 边上的高 AD AC sinC2 sin 752 sin(4530 )2(sin 45 cos30cos45 sin30 )2321312()22222. 10、 （2012 辽宁理 ）在ABC中,角 A、B、C 的对边分别为a,b,c.角 A,B,C 成等差数列 . （I）求cosB的值; （）边 a,b,c 成等比数列 ,求sinsinAC的值 . 【解析】（I）由已知12,cos32BAC ABCBB（）解法一：2bac，由正弦定理得23sinsinsin4ACB，解法二：2222221,cos222acbacacbacBacac，由此得22abacac，得ac精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀知识点所以3,sinsin34ABCAC【课堂练习】1、 （2012 广东文） 在ABC中,若60A,45B,32BC,则AC（）A4 3B2 3C3D322、 （2011 四川） 在ABC 中，222sinsinsinsinsinABCBC ，则 A 的取值范围是（）A (0,6B,)6C (0,3D,)33、 （2012 陕西理） 在ABC中,角,A B C所对边长分别为, ,a b c,若2222abc,则cosC的最小值为（）A32B22C12D124、 （2012 陕西） 在ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a，b，c，若2222cba，则Ccos的最小值为（）A23B22C21D215、（2011 天津）如图，在ABC 中， D 是边 AC 上的点，且,23,2ABCDABBD BCBD则 sinC 的值为 () A33B36C63 D666、 （2011 辽宁） ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a2，则ab（）A2 3B2 2C3D27、 （ 2012 湖北 文 ） 设ABC的 内 角,A B C所 对的 边分 别 为, ,a b c,若 三 边的 长为 连续 的 三个 正 整数 ,且ABC,320 cosbaA,则sin:sin:sinABC为（）A432 B567 C543 D654 8、 （2011 上海） 在相距 2 千米的AB两点处测量目标C，若0075 ,60CABCBA，则A C两点之间的距精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀知识点离是千米。

9、（2012 重庆文 ）设 ABC的内角ABC、 、的对边分别为abc、 、,且1cos4abC=1， =2，,则sin B_ 10、 （2012 北京文 ）在 ABC 中,若3a,3b,3A,则C的大小为 _. 11、 （2012 陕西文） 在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若 a=2 ,B=6,c=23,则 b=_ 12、 （2012 北京理） 在ABC 中,若2a,7bc,1cos4B,则b_. 13、已知 ABC 得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_. 14、 如图所示， 货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140 的方向航行， 为了确定船位， 船在 B点观测灯塔A的方位角为110 ，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65 ，则货轮到达C 点时，与灯塔A的距离是多少？15、 （2009 安徽理） 在ABC 中，sin()1CA, sinB=13.（I）求 sinA 的值；（II）设 AC=6，求ABC 的面积 . 16、 （2012 安徽文） 设ABC的内角,A B C所对的边为, ,a b c,且有2sincossincoscossinBAACAC（）求角A的大小 ; （II） 若2b,1c,D为BC的中。