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高等数学基础第一节 函数极限的定义及分析方法一．函数极限的定义 定义1：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数A，就说当趋向时，函数的极限是A，记作特别地，； 例题1：判断下列函数的极限： （1）　　（2） （3） 定义2：当自变量取正值且无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时， 当自变量取负值而无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时， 当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时， 特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即例题2：判断下列函数的极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）二．无穷小与无穷大 定义1：如果函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为零，那么称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小。

当时，等都是无穷小当时， 等都是无穷小 定义2：如果当x→x0(或x→∞)时，对应的函数值的绝对值f(x)无限增大，就称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大 当时， 等都是正无穷大；当时， 是正无穷大等. 定理1：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则1f(x)为无穷大三．极限运算法则 定理1：有限个无穷小的和也是无穷小 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理3：对于函数极限有如下的运算法则：如果，那么 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）当C是常数，n是正整数时： 这些法则对于的情况仍然适用. 例题3：分析下列函数的极限： 例1．求 例2．求 例3．求 分析：当时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则，注意函数在定义域内，可以将分子、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限 例4． 求 分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则。

如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算 例5．求 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以，就可以运用法则计算了例6．； 例7．例8．； 例9．例10． 例11．例12． 第二节 函数的导数一．引论——两个典型背景示例 例一：运动物体的瞬时速度 设质点沿轴作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为，求在时刻的瞬时速度 解：(1) 求时段到＋的平均速度： (2) 平均速度的极限是瞬时速度. 即：因此，如果极限： 存在，这个极限值就是质点在时刻的瞬时速度 例二：曲线的切线斜率： 设曲线由方程确定. 要求在点的切线斜率 （1）求区间到的弦的斜率: =;（2）弦斜率的极限是切线的斜率: ==； （3）曲线：在点的切线： 斜率等于，切线的方程称为： 二．导数的定义 定义1：假设函数在点某邻域有定义，如果极限=存在，则称其值为函数在点的导数, 并说在可导。

在点的导数记作或或或函数在点的导数，就是在点函数关于自变量的变化率运动质点在时刻的瞬时速度是距离对时间的导数曲线在点切线斜率是函数f对x的导数三．课堂练习： 例1．常数函数的导数 解：由导数定义(注意到)得到所以 .例2．和的导数：解：== 同样的方法可以得到 . (注意几何意义)三．函数的求导法则: 定理1：若函数、在点都可导，则： 1．对于任意常数，函数在点可导，并且. 2．函数在点可导，并且 3．函数在点可导，并且.4． 如果，则在点可导，并且.示例1：f(x)=2x3-5x2+3x-7，求f`(x)及f`(3)解：f`(x)= 6x2-10x+3 f`(3)=47 示例2：求、、、的导数 解：同样可以得到：..定理2：复合函数的导数：如果在点x可导，而在点可导，则复合函数在点x可导，则其导数为：dydx=f `u∙g`x 或 dydx=dydu∙dudx示例4：y=sin2x1+x2，求dydx解：dydx=2（1-x2）（1+x2）2∙cos2x1+x2四．基本导数公式1．(为常数)2．3．；4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．(sinωt)`= ωcosωt16．cosωt`=- ωsinωt五．课堂练习： 例1． 设，计算． 解： 例2． 设,计算． 解：=．若, 怎么办？五．高阶导数 对变速直线运动而言，其速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：v=dsdt 或 v=s` 同时，加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：a=dvdt=ddtdsdt 或 a=s`` 这种导数的导数ddtdsdt或s``叫做s对t的二阶导数，记作：d2sdt2 或 s``(t)一般的，函数y=f(x)的导数y`=f`(x)仍然是x的函数，我们把y`=f`(x)的导数叫做y=f(x)的二阶导数，记作y``或d2ydx2。

相应的，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，n-1阶导数的导数叫做n阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数示例：例4．y=ax+b，求y``解：y`=a，y``=0例5．s=sinωt，求s``解：s`=ωcosωt，s``=-ω2sinωt例6．y=2x-x2，求y``解：y`=122-2x2x-x2=1-x2x-x2y``=-2x-x212-1-x2x-x2-322x-x2y``=-2x-x212-1-x2-2x22x-x212（2x-x2）y``=-2x+x2-1-x2（2x-x2）2x-x212=1（2x-x2）32第三节 函数的微分一．引论 设质点作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为，求在到()时间内质点的位移 s=s(x)tt0sΔsΔt=lim∆t→0st0-s(t0+∆t)∆t=η∆s=η∆t 上述情况下，称函数在点t0可微，并称ηdt为函数在点t0处的微分导数是从函数对自变量变化的快慢来研究； 而微分则是直接研究函数的增量二．函数微分的定义 定义1：设在点的增量可表示成：=则称函数在点可微线性函数称为函数在点的微分。

记作：dy通常把自变量x的增量∆x称为自变量的微分，记作dx即：=，或者=dy=f`xdx三． 基本初等函数微分公式 1．基本初等函数微分公式1.(为常数)2.3.;4.5.6. 7. 8. 9.10.11. 12. 13. 14. 2．函数和、差、积、商的微分法则四．微分在近似计算中的应用1．分析：如果y=f（x）在点x0处的导数f`(x)≠0，且∆x很小时，我们有：∆y≈dy=f`(x0)∆x上式可改为：∆y=fx0+∆x-fx0≈f`(x0)∆x或：fx0+∆x≈fx0+f`(x0)∆x上式中，令x=x0+∆x，即：∆x=x-x0，则上式可改写为：fx≈fx0+f`x0x-x0 取x0=0，则得：fx≈f0+f`0x2．常用的近似公式（x取极小值时）：(1)n1+x≈1+1nx(2)sinx≈x(x用弧度作单位表达)(3)tanx≈x(x用弧度作单位表达)(4)cosx≈x(x用弧度作单位表达)(5)ex≈1+x(6)ln(1+x)≈x示例：例1．计算sin30°30`解：sin30°30`=sin⁡(π6+π360)≈0.5076例2．计算1.05解：1.05≈1+120.05=1.025第四节 不定积分一．不定积分的概念和性质 1．原函数 （一） 原函数概念 定义1:如果在某区间上恒有，则称是在区间上的一个原函数。

例如： 在区间，是的一个原函数； 在区间，是的一个原函数； 在区间，，是的一个原函数；也是的一个原函数等等； （二） 原函数的性质都是在区间上的原函数，则存在常数，使得或者说，同一函数的两个原函之间只差一个常数 重要结论： 若在区间上存在原函数，则在区间上的所有原函数都可以写成的形式2． 不定积分：（一）不定积分的定义：定义2：在区间I上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分记作：其中，记号∫称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量由定义可知，如果F(x) 是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即：示例: 例1．求解：由于x33`=x2，所以x33是x2的一个原函数，因此： 求不定积分是求微分的逆运算，因此任何一个微分公式，反过来就是一个求不定积分的公式二）基本积分表： 以下是基本初等函数微分公式变来的，称为基本积分表.(1) (2) (3) ()(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ()(13) (14) (15) （16）（17）（18）（19） ( );（20） ( );（21） ( );（22） （23）（24）（三）不定积分的性质：性质一: 求不定积分是求导数微分的逆运算：即（1） 若有原函数则：，. （2）若 ，可导，且导函数连续，则：, 性质二：(不定积分运算的线性性) 若有原函数，则： （1）（2）若，则 示例： 例2： 求不定积分 解：= 例3：求不定积分 解：利用三角恒等式得到. 例4： 求不定积。