( 线性代数)n阶行列式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,n,阶行列式,一、排列和逆序,1.,全排列,定义,把,n,个不同的元素排成一列，叫做这,n,个元素 的,全排列,.,n,个不同元素的所有排列的种数，通常用,P,n,表示,.,即,n,个不同的元素一共有,n,!,种不同的排法,.,所有,6,种不同的排法中，只有排列,123,中的数字是严格按,从小到大的自然顺序,排列的；,其他排列中都有大的数排在小的数之前,.,123,，,132,，,213,，,231,，,312,，,321,2.,逆序,3 2 5 1 4,逆序,逆序,逆序,定义,：,在一个排列中，当某两个元素的先后次序与,标准次序,不同时，就,称这两个元素组成一个,逆序,.,3.,逆序数,3 2 5 1 4,逆序,逆序,逆序,思考题：,还能找到其它逆序吗？,答：,2,和,1,，,3,和,1,也构成逆序,.,定义,排列中所有逆序的总数称为此排列的,逆序数,.,排列 的逆序数通常记为,.,奇排列：,逆序数为奇数的排列,.,偶排列：,逆序数为偶数的排列,.,求排列,32514,的逆序数,.,解：,练习,：,求排列,4,5,31,6,2,的逆序数,.,解,：,（奇排列）,计算排列的逆序数的方法,则此排列的逆序数为,设 是,1,2,n,这,n,个自然数的任一排列，并规定由小到大为,标准次序,.,先看有多少个比,大的,数排在 前面，记为 ；,再看有多少个比,大的,数排在 前面，记为,;,最后看有多少个比 大的数排在 前面，记为,;,4.,对换的定义,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做,对换,练习,1,：,求排列,4,5,31,6,2,的逆序数,.,解,：,求排列,4,6,31,5,2,的逆序数,.,练习,2,：,（奇排列）,（偶排列）,猜想：对换一次改变排列的奇偶性？,【,性质,】,对换与排列奇偶性的关系,定理,1,一次,对换改变排列的奇偶性,.,推论,1,一个排列，经过奇数次对换后，排列的奇偶性,发生变化；,一个排列，经过偶数次对换后，排列的奇偶性,不变。

推论,2,一个排列，经过多次对换后奇偶性不变，则一,定是做了偶数次对换；,一个排列，经过多次对换后奇偶性变化，则一,定是做了奇数次对换二、,n,阶行列式,规律：,三阶行列式共有,6,项，即,3!,项,每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,每一项可以写成 （正负号除外），其中,是,1,、,2,、,3,的某个排列,.,当 是,偶排列,时，对应的项取,正号,；,当 是,奇排列,时，对应的项取,负号,.,所以，三阶行列式可以写成,其中 表示对,1,、,2,、,3,的所有排列求和,.,二阶行列式有类似规律,.,下面将行列式推广到一般的情形,.,n,阶行列式的定义,n,阶行列式共有,n,!,项,每一项都是位于不同行不同列的,n,个元素的乘积,每一项可以写成 （正负号除外）,其中,是,1,2,n,的某个排列,.,当 是,偶排列,时，对应的项取,正号,；,当 是,奇排列,时，对应的项取,负号,.,简记作 ，,其中 为行列式,D,的,(,i,j,),元,(Determinant),思考题：,成立,吗？,答：,符号 可以有两种理解：,若理解成绝对值，则 ；,若理解成一阶行列式，则,.,注意：,当,n,=1,时，一阶行列式,|,a,|=,a,，注意不要与绝对值的记号相混淆,.,例如：一阶行列式,.,a,11,a,22,a,33,a,44,行标排列为,1234,元素取自不同的行,列标排列为,1234,元素取自不同的列,且逆序数,N,(1234),0,即元素乘积,a,11,a,22,a,33,a,44,前面应冠以正号,所以,a,11,a,22,a,33,a,44,为,D,的一项,a,14,a,23,a,31,a,42,行标排列为,1234,元素取自不同的行,列标排列为,4312,元素取自不同的列,且,N,(4312),5,即,4312,为奇排列,所以元素乘积,a,14,a,23,a,31,a,42,前面应冠以负号,即,a,14,a,23,a,31,a,42,为,D,的一项,a,11,a,24,a,33,a,44,行标排列为,1234,元素取自不同的行,列标排列为,1434,有两个元素取自第四列,所以它不是,D,的一项,结论,结论,定理,例,3,若,(,1),N,(,i,432,k,),N,(52,j,14),a,i,5,a,42,a,3,j,a,21,a,k,4,是五阶行列式,|,a,ij,|,的一项,则,i,j,k,应为何值,?,此时该项的符号是什么,?,作业,1.2,：,。