快乐课堂学数学-多余老师趣讲“平面向量”-高中数学必修4.doc

446f3e8edae45c3876e588c754077d7e.pdfPage 1 of 5446f3e8edae45c3876e588c754077d7e.pdf 第 1 页 共 5 页快乐课堂学数学-多余老师趣讲 “平面向量”- 高中数学必修 4 一、本单元概述向量，最初被应用于物理学很多物理量如力、速度、位移以及将要学习到的电场强度、磁感应强度等都是向量大约公元前 350 年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到 19 世纪末20 世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数 a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。

人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数” 以及相应的运算体系向量的方法经过逐步完善，成为了一套优良的数学工具向量，是一个非常好的数学工具，使用向量解决问题的方法称为“向量法” 向量法的数学思想，仍然是“数形结合思想” 要使用好这个工具，就要：1、知道工具的构造原理2、工具的操作规则3、工具的使用范围二、向量的有关概念在数学与物理中，既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量（亦称矢量） ，在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量向量有方向与大小，分为自由向量（可平移）与固定向量（不可平移） 数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量，物理中常称为标量例如距离、质量、密度、温度等向量的表示：1．代数表示：一般印刷用黑体小写字母 α、β、γ…或 a、b、c … 等来表示，手写用在 a、b、c…等字母上加一箭头表示2．几何表示：向量可以用有向线段来表示具有方向的线段叫做有向线段，以 A 为起点，B 为终点的有向线段记作 AB。

（AB 是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）有向线段包含 3 个因素：起点、方向、长度有向线段 AB 的长度叫做向量的模，记作|AB|向量的大小也就是向量的长度长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量箭头所指的方向表示向量的方向3．坐标表示（数形结合）：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为一组基底a 为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点 O 为起点作向量 OP=a有且只有一对实数（x，y） ，使得 a=向量 OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量 a 的坐标，记446f3e8edae45c3876e588c754077d7e.pdfPage 2 of 5446f3e8edae45c3876e588c754077d7e.pdf 第 2 页 共 5 页作 a=（x，y） 这就是向量 a 的坐标表示其中（x，y）就是点 P 的坐标向量 OP 称为点 P 的位置向量在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的而点的坐标是绝对的。

若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示即，该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的模和数量向量的大小，也就是向量的长度(或称模) 向量 a 的模记作|a| 注意：1．向量的模是非负实数，是可以比较大小的向量 a=(x,y)， |a|=根号下（x^2+y^2） 2．因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的例如， “向量 AB>向量 CD”是没有意义的各种向量零向量：长度等于 0 的向量叫做零向量，记作 0 （注意粗体格式，实数“0”和向量“0” 是有区别的）零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行且垂直单位向量：长度为一个单位（即模为 1）的向量，叫做单位向量某方向上的单位向量：与向量 a 同向或反向，且长度为单位 1 的向量，叫做 a 方向上的单位向量，记作 a0，a0=a/|a|负向量：如果向量 AB 与向量 CD 的模相等且方向相反，那么我们把向量 AB 叫做向量 CD 的负向量零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量 a 与 b 相等，记作 a=b特别规定：所有的零向量都相等当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关同向且等长的有向线段都表示同一向量自由向量：始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量数学中只研究自由向量滑动向量：沿着直线作用的向量称为滑动向量固定向量：作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量） 位置向量：对于坐标平面内的任意一点 P，我们把向量 OP 叫做点 P 的位置向量，记作：向量 P方向向量：直线 l 上的向量 a 以及与向量 a 共线的向量叫做直线 l 上的方向向量相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量叫做 a 的相反向量，记作-a 有 -（-a）=a，零向量的相反向量仍是零向量平行（或共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量向量 a、b 平行（共线），记作 a∥b零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定：零向量与任一向量平行，即 0//a。

平行于同一直线的一组向量是共线向量若 a=(x,y)b=(m，n) a//b=>a·b=xn-ym=0 在向量中共线向量就是平行向量， （这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量） 共面向量：平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量空间中的向量有且只有以下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面注意：只有三个或三个以上向量才谈共面不共面法向量：直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量三、向量运算446f3e8edae45c3876e588c754077d7e.pdfPage 3 of 5446f3e8edae45c3876e588c754077d7e.pdf 第 3 页 共 5 页1、向量的加法向量加法的定义已知向量 a、b，在平面上任意取一点 A，作 AB=a，BC=b，再作向量 AC，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记做 a+b，即 a+b=AB+BC=AC向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则 （首尾相连，连接首尾，指向终点） 同样，作 AB=a,且 AD=BC,再作平行 AD 的 BC=b，连接 DC，因为 AD∥BC，且 AD=BC，所以四边形 ABCD 为平行四边形，AC 叫做 a 与 b 的和，表示为：AC=a+b.这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。

（共起点，对角连） 对于零向量和任意向量 a，有：0+a=a+0=aa|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| （即：三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当共线时，取等号）向量的加法满足所有的加法运算定律 （加法交换律、加法结合律）2、向量的减法AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则 （共起点，连终点，指向被减） c=a-b 以 b 的结束为起点，a 的结束为终点如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0 ，－ (－a)=a，a+( －a)=(－a)+a=0， a－b=a+(－b)0 的反向量为 03、向量的数乘实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量，记作 λa，且∣λa∣= ∣λ∣·∣a∣当 λ>0 时，λa 与 a 同方向；当 λ1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ0）或××反方向（λa⊥ba=kba//be1·e2=|e1||e2|cosθ| a·b|≤|a|·|b| （该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为 0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1》 ．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2 。

2》 ．向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c3》 ．|a·b|与|a|·|b|不等价4》 ．由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b说明：向量的数量积，是专为物理的矢量积定义的，物理中，两个矢量的积，是标量（即数量） 所以，向量的数量积与向量的其它运算，不完全不同类型的运算，在做有关数量积的判断时，要用物理的角度来进行相关练习1．若 a =0，则对任一向量 b ，有 a · b=0. 2．若 a ≠0，则对任一非零向量 b ,有 a · b≠0． 错（当 a⊥b 时，a · b=0）3．若 a ≠0，a · b =0，则 b=0 错（当 a 和 b 都不为零，且 a⊥b 时，a · b=0）4．若 a · b=0，则 a · b 中至少有一个为 0. 错（可以都不为 0，当 a⊥b 时，a · b=0 成立）5．若 a≠0，a · b= b · c，则 a=c 错（当 b=0 时）6．若 a · b = a · c ,则 b≠c,当且仅当 a= 0 时成立． 错（a≠0 且同时垂直于 b，c 时也成立）注：向量没有除法， “向量 AB/向量 CD”是没有意义的。

四、向量的应用三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣① 当且仅当 a、b 反向时，左边取等号② 当且仅当 a、b 同向时，右边取等号2．∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b ∣≤∣a∣+∣b∣① 当且仅当 a、b 同向时，左边取等号② 当且仅当 a、b 反向时，右边取等号定比分点定比分点公式（向量 P1P=λ·向量 PP2）446f3e8edae45c3876e588c754077d7e.pdfPage 5 of 5446f3e8edae45c3876e588c754077d7e.pdf 第 5 页 共 5 页设 P1、P2 是直线上的两点，P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点则存在一个任意实数 λ 且 λ 不等于-1，使 向量 P1P=λ·向量 PP2，λ 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比若 P1（x1,y1） ，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ) （定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2 的定比分点公式三点共线定理：已知 0 是 AB 所在直线外一点,若 OC=λOA +μOB ,且 λ+μ=1 ,则 A、B、C 三点共线三角形重心判断式：在△ABC 中，若 GA +GB +GC=O,则 G 为△ABC 的重心向量共线的条件若 b≠0，则 a//b 的重要条件是存在唯一实数 λ，使 a=λb。