黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别.pdf

浅谈 R积分和 L 积分的联系与区别数学学院数学与应用数学（师范）专业2009 级 某某指导老师某某摘要：积分在整个分析数学中有着重要的地位，现有的积分有两种形式：一种是作为研究数学分析中心内容的黎曼积分（简称R积分），一种是作为研究实变函数核心内容的勒贝格积分（简称L 积分），这两类积分既有密切的联系，又有本质的区别本文主要是从黎曼积分和勒贝格积分的定义出发，进行分析和比较，利用实例来归纳总结出它们的联系与区别关键词：黎曼积分；勒贝格积分；联系；区别Abstract:Integral plays a critical role in the whole of Analytic Mathematics.And the current integration has two forms:one is the Riemann integral(R integral)which is regarded as the central content of the study of the mathematical analysis.The other one is the Lebesgue integral(L integral)which is regarded as the core content of the study of the real variable function.The two kinds of integral not only have the close relations but also have the essential differences.According to the definition of the Riemann integral and the Lebesgue integral,this paper analyses and makes a comparison with the definitions,which uses some examples to summarize their relations and differences.Key words:Riemann integral;Lebesgue integral;relation;difference 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -第 2 页(共 2 页)1 引言积分学的历史很早，它起源于求积问题。

1在公元前三世纪的时候，古希腊阿基米德在解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的研究中就隐含着近代积分学的思想这也是真正积分学萌芽的开始公元五世纪，中国数学家祖冲之及父亲祖日恒的“缘幂势既同，则积不容异”的提出也就奠基了积分概念的雏形十七世纪以后，牛顿的流数简论标志着微积分的诞生，牛顿和莱布尼茨创立了微分学，积分这才得到真正的发展十八世纪，数学的发展进入了数学分析时代，但是积分的概念一直没有被真正的提出，直到柯西从分析的角度给出积分的构造性定义十九世纪，数学家们试图给积分计算提供一个稳固的定义而波恩哈德黎曼将柯西只对连续函数定义的积分概念扩张成现在我们所知的黎曼积分，从而扩大了积分的应用范围但是黎曼积分还主要存在着两方面的缺陷，一是黎曼积分与极限可交换的条件太严；二是积分运算不完全是微分的逆运算2鉴于黎曼积分的缺陷，人们长期以来致力于对此进行改进直到十九世纪末集合论的建立为微积分的变革奠定了理论基础，科学家们开始着手改进并推广黎曼积分1902 年法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功地引入了一种新积分，这就是勒贝格积分当然单纯的从积分学的发展史看来勒贝格积分是黎曼积分的推广衍生，但是勒贝格积分在很大程度上摆脱了黎曼积分的不足，且大大地扩充了可积函数的范围，成为我们现今分析数学中不可缺少的工具。

本文就黎曼积分与勒贝格积分的定义出发，进行分析比较得到它们的联系与区别2 黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别2.1 黎曼积分的定义3名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -第 3 页(共 3 页)设xf是定义在,a b 上的有界函数，任取一分点组T012naxxxxb将区间,a b 分成 n 部分，在每个小区间1,iixx上任取一点i,i1,2,3,.做和11()()niiiiSfxx令11max()iiinrxx，如果对任意的划分与i的任意取法，当0r时，S趋于有限的极限，则称它为()f x在,a b 上的黎曼积分，记为()baIRf x dx黎曼积分还有另一种定义4：设xf在ba,上有界,对ba,做分割,bxxxaTn10,其中令iixxxfM,sup,iixxxfm,inf,iiixxx1,11iiniixxms11iiniixxMS,若有sdxSbaba则称xf在ba,上黎曼可积2.2 勒贝格积分的定义关于黎曼积分所用的思想是“分割，近似和求，取极限”我们已经知道长度进行推广就是测度，那么我们若将黎曼积分进行推广就可以想到将区间的分割推广到测度空间中有限可测集的划分。

对于被积函数若按照黎曼积分的思想，必须使得()f x在分割区间后，函数在尽可能多的区间上振幅足够小，这把具有较多激烈震荡的函数被排除在可测函数类外勒贝格大胆的采用逆向思维的方法，从值域入手，提出勒贝格积分即0，做Myyymni0(ni,2,1,0)，有1iiyy，M，m分别为xf在E上的上界和下界，iiiyxfyxE1,，若iniimEy110lim存在,则xf勒贝格可积2.2.1 一般的可测函数的积分定义2设qRE为可 测集，xf为 E 上 的可测 函数令0,maxxfxf，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -第 4 页(共 4 页)0,minxfxf则 f和 f都是 E上的非负可测函数，当Ex时，有xfxfxf，xfxfxf若dxxfE和dxxfE中至少一个有限，则称xf在E上的积分确定，称dxxfdxxfEE为 f 在 E 上的勒贝格积分，记作dxxfE若dxxfE和dxxfE都有极限，则称f 在 E 上勒贝格可积2.2.2 非负简单函数的勒贝格积分定义2设qRE为可测集，x 为 E 上的一个非负简单函数，即E表示有限个互不相交的可测集kEEE,21之并，而在每个iE 上x 取非负常数值ic，也就是说kiEixcxxi1。

这里的xxiE是iE 的特征函数x 在 E上的勒贝格积分，定义为kiiiEmEcdxx1设EA为可测子集，x 在 A上的勒贝格积分定义为在 A上的限制A在A上的勒贝格积分，于是kiiiAEAmcdxx12.2.3 非负可测函数的勒贝格积分定义2设qRE为可测集，xf是E上的非负可测函数，xf在E上勒贝格可积其积分为xdxxdxxfEE:sup是 E 上的简单函数且Ex时，xfx0显然dxxfE0，若dxxfE，则称xf在 E 上勒贝格可积设EA为可测子集，则xf在 A上的勒贝格积分定义为f在 A上的限制Af在 A上的勒贝格积分，我们有dxxfdxxfEAAx2.3 积分定义的比较名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -第 5 页(共 5 页)由定义可见L积分的可积范围比R积分的可积范围更广泛，例如5：定义在,a b 上的连续函数()f x一定R可积，也L可积，此外，还有函数不一定R可积，但L可积的例子在,a b 上的狄利克雷函数xD是R不可积，但是L可积也就是说勒贝格积分包含了黎曼积分有这样的结论：凡是黎曼可积的函数一定勒贝格可积，且积分值相同，但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积。

事实上，仅从函数定义域的分割角度来说，黎曼积分和勒贝格积分大体上是相似的，其区别在于黎曼积分所考虑的划分，只是把函数的定义区间分解成有限多个小区间，而勒贝格积分的划分则允许把,a b 分解为有限多个互不相交的可测子集，显然，前者的划分必是后者的划分，所以黎曼意义下的大小和必是勒贝格意义下的大小和，易得其积分值相同我们可以从这两种积分的定义看出，它们的主要区别是6：黎曼积分是将被积函数的定义域分割成有限多个小区间而产生的，而勒贝格积分则是将函数的值域划分而产生的前者的优点是1,iiixx的度量容易给出,但当分割的细度充分细时，函数()f x在i上的振幅sup()inf()iiixxf xx仍可能较大；后者的优点是函数()f x在kE上的振幅sup()inf()()kkkxEx Ef xxD 较小，但kE一般不再是区间，而是可测集其度量()km E的值一般不易给出对定义域和对值域的分割是R积分与L 积分的本质区别下面我们用直观的例子来说明黎曼积分与勒贝格积分在定义方面的差异用硬币兑换纸币假设有5000 枚硬币需要兑换成纸币，每一枚硬币的面值分别为 0.01 元、0.02元、0.05元、0.1 元、0.2 元、0.5 元、1 元中的一个，要兑换需计算总币值。

计算总币值有两种方法，第一种是一个个硬币的币值逐个相加；第二种是把所有的硬币按币值分为7 类，计算每一类币值再相加明显的方法一中体现的是黎曼积分的思想，方法二则体现的是勒贝格积分的思想另外，L积分理论是在勒贝格测度理论的基础上建立的,测度是平面上度量的推广，这一理论把有界和无界的情形都考虑了，而且被积函数可以定义在更一般名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -第 6 页(共 6 页)的点集上，而不仅仅限于,a b 区间上然而就是这一点点的差别，使这两种积分产生了本质的区别，使勒贝格积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质2.4 两种积分的可积条件的比较2.4.1 黎曼可积的条件（一）黎曼可积的必要条件定义在ba,上的函数xf黎曼可积的必要条件是xf在ba,上是有界函数注函数黎曼可积则函数必有界，但是有界函数不一定黎曼可积二）黎曼可积的充要条件61.设xf是定义在ba,上的有界函数，则xf黎曼可积的充要条件为xf在ba,上的黎曼上积分与黎曼下积分相等即设xf在ba,上有界，对任取一分点组bxxxaTn10，其中令iixxxfM,sup，iixxxfm,inf，iiixxx1，11iiniixxms，11iiniixxMS，ni,2,1有dxsdxSbaba。

2.设xf是定义在ba,上的有界函数，则xf黎曼可积的充要条件为0，总存在某一分割T，使得iiiiniimMwxw13.设xf是定义在上ba,的有界函数，则xf黎曼可积的充要条件为对于任给正数，总存在某一分割T，使得属于T的所有振幅iw的小区间的长度总长小于等于4.设xf是定义在ba,上的有界函数，则xf黎曼可积的充要条件为0，总存在某一分割T，使得TsTS5.定义在ba,上的函数xf黎曼可积的充要条件为xf在ba,上的一切间断点构成一个零测度集名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -第 7 页(共 7 页)2.4.2 勒贝格可积的条件61.设xf是定义在可测集E上的有界函数，则xf在E上L可积的充要条件为0，总存在E的某一分割D，使得iiimEw2.设xf是定义在可测集E上的有界函数，则xf在E上L可积的充要条件为xf在E上勒贝格可测3.设xf在ba,上的黎曼反常积分存在，则xf在ba,上L可积的充要条件为xf在ba,上的黎曼反常积分存在，且有dxxfdxxfbaba,4.设xfn为E上的可测函数列，xfn在E上的极限函数几乎处处存在，且MdxxfEn，则xf在E上L可积。

5.设xf是定义在可测集E上的连续函数，则xf在E上L可积的充要条件为xf在E上勒贝格可测我们从函数的黎曼可积和勒贝格可积的充要条件可以很明显的看出，它们之间的不同，而且黎曼积分相对勒贝格积分有明显的局限性，从而勒贝格积分比黎曼积分的应用范围更为广泛，使用起来也更为方便从它们的充要条件可以得到结论如下：勒贝格积分是黎曼正常积分。