区间套定理的拓展及应用.docx

2012届本科毕业论文区间套定理的拓展及应用姓 名： 系 别：数学与信息科学学院专 业：信息与计算科学学 号: 指导教师： 2012年04月20日目录摘要 1关键词 1ABSTRACT 1KEY WORDS 10引言 21区间套定理在R1上的推广 22区间套定理在一般度量空间上的推广 43区间套定理在Rn上的推广 54区间套定理的应用举例 6参考文献 9致谢 9区间套定理的拓展及应用摘要通过运用类比法、分析法、演绎法将区间套定理进行了拓展，得到若干定理并分别给出 了证明，结合典型例题，分析讨论了区间套定理的实际应用.关键词区间套;拓展;应用The expansion and application of the nested interval theoremAbstractseveral theorems which are testified are got after the expanding of the nested interval theorem through the application of analogy,analysis,and deductive and the application of the nested interval theorem was discussed by the analysis of some typical examples.Key wordsnested interval;expansion;application0引言区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、 数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函 数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相 关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连 续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等•故区间套定理不仅有重要的理论 价值，而且具有很好的应用价值。

为了增大区间套定理的应用范围，本文从区间套定理的概 念出发，综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理.首先，将区间套定理在一维空间加以推广，形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间 套定理，增大了区间套定理的应用范围•紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对 称性、三角不等式和完备性，把区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量 空间上的闭区间套集定理，从而把一维空间上的情形推广到了更一般化的完备度量空间，使 得区间套定理的应用范围更为广泛，而且给出了常用度量空间Rn上的闭集套定理.最后结合 一些实例分析说明区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数有界、单调有界定理等, 通过构造满足题意的闭区间列，在应用区间套定理证明存在满足题意的点从实际例题中还 可以看出区间套定理反映了实数的稠密性，所以区间套定理在证明与实数相关命题时发挥着 重要的作用.1区间套定理在R 1上的推广区间套定理是一个基本的定理，在把该定理推广前先回顾一下闭区间套定理的内容定义1.1设£ ,b及n = 1,2,3,…）是R中的闭区间列，如果满足：n n（1） la , b ]u la ,b ] n = 1,2,3 …；n+1 n+1 n n（2） lim（b -a ）= 0 ；n nns则称£ ,b ]｝为R中的一个闭区间套，或简称区间套.n n定理1.1[1]（闭区间套定理）若监,b »是一个闭区间套，则存在惟一一点使得n neta ,b ]n = 1,2,3,…）,n n且lim a = lim b = g .n nns ns推论1.1若g eta , b ]n = 1,2,3,…）是区间套监,b »确定的点，则对任意正数g ,n n n n存在自然数N,当n >N时，总有\a ,b ]u U（g,£）.n n定义1.2 （严格开区间套定理）设忍,b）kn = 1,2,3,…）是R中的开区间列，如果满n n足:(1) a < a < …< a < …< b < b < …< b , n = 1,2,3,…；1 2 n n n-1 1(2) lim(b - a )= 0 ；n nns则称L ,b )｝为R中的一个严格开区间套.n n定理1.2[1](严格开区间套定理)若£ ,b )｝是R中的一个严格开区间套，则存在惟n n一点g，使得g w(a , b ) n = 1,2,3 …,n n且lim a = lim b = g .n nns n s证明 由定义1・2条件(1),匕｝是一个严格递增且有上界的数列.由单调有界定理,n匕｝有极限，不妨设nlim a = g ,nns且a g , n = 1,2,3,….n从而存在 g e (a , b ), n = 1,2,3 ….n n最后证明惟一性•假如另有G，使得G e(a ,b ),n = 1,2,3…，那么有n nE-gl< b 一a ,n = 1,2,3,….n n在上述不等式两边取极限，有G - g | < lim(b - a ) = 0.n nns即 G = g.故原命题成立.定义1.3设fan,bn)如=1,2,3,…)是R中的半闭半开区间列，如果满足：⑴ a < a < …< a < …< b < b < …< b , n = 1,2,3,…；1 2 n n n-1 1lim(bnns—a )= 0 ；n则称fa ,b )｝为R中的一个严格半闭半开区间套.n n定理1.3[1](严格半闭半开区间套定理)如果fa ,b )》n = h2,3,…)是R中的半闭半开 n n区间套，则存在惟一一点g，使得gw [ a , b ), n = 1,2,3,…,n n且 lim b = lim a = g .n nnTg ns仿定理1.2的证明即可.2区间套定理在一般度量空间上的推广完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性•具体到序列，指的是该序列 除了满足一般度量空间的要求，还应在度量空间上收敛•这样闭区间套定理就可以在一般度 量空间上进行推广.定义2.1设H是一个非空集合，在H上定义一个双变量的是指函数P (x, y)，对任意的x, y,zH，有:(1) (正定性)P(x, y) > 0，并且P(x, y) = 0当且仅当x = y成立；(2) (对称性)P(x, y) = p (y, x);(3) (三角不等式)P (x, y) < p (x, z) + p (z, x);则称H为一个度量空间.定义2.2设F是度量空间H中的一个子集，对于F中的任意点列(r ｝，若当nP (x — x ) T 0(n T x),n 0有x w F，则称F为闭集.0定义2.3设(X,P)是一度量空间，X中的一个序列 ,若对任意的实数£ > 0 ,存在整数N > 0，使得i, j > N时，有pC ,x )<£，则称｝为一个柯西序列.i j i iWZ+定义2.4如果对度量空间(X, p)中的X的每一个柯西序列都收敛，则称(X, p)是一个完备度量空间.定理2.1[2]设｛f ｝是完备度量空间H上的闭集列，如果满足:n⑴ F 二 F (n = 1,2,3,…)；n n+1⑵ lim d (F ) = 0(d (F )=n nnT8则在H中存在惟一一点g ,使得g e F , n 二 1,2,3,….n证明任意F中的点列｛x ｝，当m > n时，有F u F，所以n n m nx , x e F , p (x , x ) < d (F ) T 0(n T s).n m n n m n即对任意给定的实数£ > 0，存在整数N > 0，使得i, j > N时，有pC ,x )<8，所以lx ｝i j n是柯西序列.又因为F是闭集列，故h ｝收敛于一点g，且有n ng e F , n 二 1,2,3,…n现证惟一性•如果另有一点G，使得，ge F , n二1,2,3,…•则由定义3.1条件⑶有np(g,g)< p(g,x )+ p(x ,g)< 2d(F )t 0(n T 0),n n n从而g = c .故在H中存在惟一一点g ,，使得ge F , n二1,2,3,….n3区间套定理在Rn上的推广进一步还可以将区间套定理在常用度量空间-实数空间Rn上推广.为此，先给出一个有 用的概念.定义3.1对于任意的x =(x ,x ,…,x ), y =(y ,y，…,y )e Rn，令1 2 n 1 2 n则称p为Rn上的距离.F面验证对于如上定义的p , Rn能做成完备的度量空间.求证对于任意的 x = (x1，x 2,…，J y = (y1，y 2,…，ynL R"，且(x,y)= ：丫6 — y y，则P,Rn能做成完备的度量空间.i ii=1证明 对于任意x = (x , x，…,x ) y = (y , y，…,y ), z =1 2 n 1 2 nQ — x ) > 0 ,并且 Pi ii=1(x, y)= 0 当且仅当 x = y (i = 1,2,…)，即 x = y .i i(x, y)=Q (x — y y =Q (y — x A =p(y, x).i i i i' i=1 丫 i=1(3)另u = y - x和v = z - y由施瓦兹不等式得到i i i i i i工(u + v u2 + 2i i ii=1 i=1另 v 2 +Hv 2 .i ii=1 i=1 i=1V 2 ,ii=1贝y :工(u + v)2 < 工u2 +「工i i i 丫i=1 丫 i=1—xi ii=1送(z — x ) <正(yR + 2 (z— y y .『 『 I i ii=1所以P满足度量的定义，又Rn是完备的，故Rn是完备的度量空间.于是根据前面的论述，可以得到实数空间Rn的闭集套定理: 定理3.1设If ｝是Rn上的闭集列,如果：n⑴ F 二 F (n = 1,2,3,…):n n+1sup P (g, G ；g ,^eFnlim d (F ) = 0(d (F )=n nnT8则在Rn中存在惟 点g，使得g e F ,n = 1,2,3,….n4区间套定理的应用举例区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套,从而找到属于每个区间的公 共点•证明中区间套的构造方法主要有以下两点：(1) 已知特殊点的存在区间时，利用两分法构造区间套，进而套出所求的特殊点.(2) 首先依据不等式确定特殊点的存在区间，再利用区间的收缩，套出所求的特殊点. 下面举几个例子说明这一思路.例1证明：闭区间上连续函数必有界.证明假设f Cx)在la,b]上无界，则等分la,b],即la,bLa + ba + b 。