三角函数的周期性.ppt

1·4·2 正弦函数、余弦函数的周期性一、周期函数的概念一、周期函数的概念 思思考考1 1：：观观察察图图像像, , 正正弦弦曲曲线线每每相相隔隔 个个单单位位重重复出现复出现. ..2π2πy y-1x1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxy=sinx由诱导公式由诱导公式 反映出反映出: :通过观察图像，函数值具有成周期性变化的规律通过观察图像，函数值具有成周期性变化的规律当自变量当自变量x的值增加的值增加2π的整数倍时，函数值重复出的整数倍时，函数值重复出现【【周期函数的定义周期函数的定义】】 对对于于函函数数f(x)f(x)，，如如果果存存在在一一个个 ，，使使得得 时，都有时，都有f(x+T)=f(x) f(x+T)=f(x) 那那么么函函数数f(x)f(x)就就叫叫做做周周期期函函数数，，非非零零常常数数T T就就叫叫做做这个函数的周期这个函数的周期. . 一、周期函数的概念一、周期函数的概念 非零常数非零常数T当当x取定义域内的每一个值取定义域内的每一个值思考2：设设f(x)=sinxf(x)=sinx，，则则 可可以以怎样表示？怎样表示？ f(x+2kπ)=f(x) 我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期 ( (其中其中k∈zk∈z且且k≠0)k≠0).一、周期函数的概念一、周期函数的概念 xyooyx4ππ8ππxoy6ππ12ππ2ππ思思考考3 3：：正正弦弦函函数数y=sinxy=sinx的的周周期期有有哪哪些些？？周周期期函函数数的周期是否唯一？的周期是否唯一？一、周期函数的概念一、周期函数的概念 思思考考3 3：：正正弦弦函函数数y=sinxy=sinx的的周周期期有有哪哪些些？？周周期期函函数数的周期是否唯一？的周期是否唯一？答答：：±±2π2π，，±±4π4π，，±±6π6π，，……都都是是正正弦弦函函数数的的周周期期，，事事实实上上，，任任何何一一个个常常数数2kπ(k∈z2kπ(k∈z且且k≠0)k≠0)都都是是它的周期它的周期. .周期函数的周期不止一个周期函数的周期不止一个. . 一、周期函数的概念一、周期函数的概念 【【最小正周期最小正周期】】 如如果果在在周周期期函函数数f(x)f(x)的的所所有有周周期期中中存存在在一一个个 , , 则则这这个个最最小小正正数数叫叫做做f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期. .注意：今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是注意：今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是 指函数的最小正周期指函数的最小正周期. .二、最小正周期二、最小正周期 最小的正数最小的正数思考思考4 4：：常函数常函数 是周期函数吗？如果是它的是周期函数吗？如果是它的周期是多少？是否有最小正周期？周期是多少？是否有最小正周期？答：常函数是周期函数，周期常函数是周期函数，周期 。

此周期此周期函数没有最小正周期函数没有最小正周期 注注 意：意：不是所有的周期函数都有最小正周期不是所有的周期函数都有最小正周期 正正弦弦函函数数y=sinxy=sinx是是周周期期函函数数，，2kπ2kπ（（k∈Zk∈Z且且 k≠0k≠0））都都是是它它的的周期，最小正周期周期，最小正周期 T=T=2π2π．． 余余弦弦函函数数y=cosxy=cosx是是周周期期函函数数，，2kπ2kπ（（k∈Zk∈Z且且 k≠0k≠0））都都是是它它的的周期，最小正周期周期，最小正周期 T=T=2π2π．．思思考考5 5：：就就周周期期性性而而言言，，对对正正弦弦函函数数有有什什么么结结论论？？对余弦函数呢？对余弦函数呢？y y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxy=sinxxyO1-1y=cosxy=cosx例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期： ⑴ ⑴y=3cosx,x∈R;y=3cosx,x∈R; ⑵y=sin2x,x∈R; ⑵y=sin2x,x∈R; ⑶y=2sin( - ),x∈R; ⑶y=2sin( - ),x∈R; ∵3cos(x+2π)=3cosX∵3cos(x+2π)=3cosX ∴ f(x+T)=f(x)由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π解解（（1 1）） （（2 2）） （（3 3））∴f(x+T)=f(x)由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π∴f(x+T)=f(x)由周期函数的定义可知，原函数的周期为π 证明：由三角函数诱导公式可得证明：由三角函数诱导公式可得思思考考6 6：：如如何何推推导导出出 的的最最小小正周期？正周期？所以，得正弦函数周期公式为所以，得正弦函数周期公式为 。

 求下列函数的周期： （（1 1）） ,x∈R; ,x∈R; （（2 2）） ,x∈R;,x∈R; （（3 3）） ,x∈R; ,x∈R; （（4 4）） ，， x∈R x∈R 随堂练习 随堂练习 例2：（1）已知函数 的图像如图所示则 的 周期是 -4 -3 -2 -1yx0 1 2 3 4（2）求 的周期是 3）已知 的周期为 ，则 = xy12课堂小结 1 1··本节课我们学习周期函数的定义及其最小正本节课我们学习周期函数的定义及其最小正 周期的定义周期的定义2 2··学习了求函数周期的方法：图像法、定义法学习了求函数周期的方法：图像法、定义法 公式法。

公式法3 3··通过定义法，推导出求正弦、余弦函数最小通过定义法，推导出求正弦、余弦函数最小 正周期的公式正周期的公式。