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第一讲 图形的分割【知识引领】怎样把一个图形按要求分割成若干部分?怎样把一个图形分割成若干部分后再按要求拼接成另一个图形?同学们已经学过初步的几何知识，接触过旋转、平移等割补方法本讲将进一步讲解这方面的知识和技巧同学们经过分割图形的练习，可以提高观察图形特点的能力，熟悉图形的性质学会分割图形的技巧，增强空间观念面对问题】例题1 用四种不同方法将任意一个三角形分成四个面积相等的三角形思路点拨：我们已经学过三角形的面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2，由这个公式很容易得出两个非常重要的结论1)等底等高的三角形面积相等2)甲、乙两个三角形等底(或等高)，若甲的高(或底)是乙的高(或底)的几倍，则甲的面积就是乙的面积的几倍根据结论1，我们可进一步得出结论：任何一条边上的中线把三角形面积平均分成二份这道题要把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形，根据“等底等高的三角形面积相等”这一规律，我们可以将三角形中的任意一条边四等分，再将各分点与这边对应的顶点边起来即可还可把三角形先平均分成两份，再把其中的一份平均分成两份即可星星细语：可以灵活应用等底、等高三角形面积之间的关系进行分割尝试解答：用不同的方法把一个等边三角形分成面积相等的三部分。

例题2 将下图分割成五个大小相等，形状相同的图形思路点拨：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3(个)小正方形的面积3个小正方形组成的图形只有 和 两种形式(可以旋转)，于是可得到下面两种分割方法星星细语：先进行计算，再抓住图形的特征进行分割，是做这种题的基本方法尝试解答：如图，将它分成形状和大小都相同的四块例题3 下图是一个4×4的方格纸现在要求把这张正方形纸分割成大小相等、形状相同的四个部分但要保持每个方格的完整共有哪几种分法？思路点拨：4×4的方格纸共有16个小方格把它分成大小相等、形状相同的四个部分且要保持小方格的完整，说明每个部分有4个小方格把这四个小方格组合起来共有四种请同学们试一下以上述图形中的一块为基本图形，将4×4的小方格纸分成四部分，想一想，各有几种分法？尝试解答：如图是一张3×4的方格纸请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整例4 四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形思路点拨：上图所示的三角板 A是直角， B十 c=90因为要拼的图形有内外两个正方形，所以有将 A作为外正方形的角(左下图)和拼内正方形的角(下中图)两种情况。

若三角板可以重叠放置，还有右下图所示的拼法星星细语：本题突破点是抓住三角板特殊角(直角)的摆放，使问题得以解决尝试解答：将一个正方形分成4个小正方形怎样分?分成7个怎么办？10个呢?例5 如右图，长方形的长和宽各是9厘米和4厘米要把它剪成大小和形状都，相同的两块，并使它们能拼成一个正方形思路点拨：计算可知，长方形的面积是36平方厘米不妨把这个长方形平均分成36个小正方形，每一个正方形的面积都是1平方厘米而把它分成两块后再拼成一个正方形，图形的面积并没有改变，即拼得的正方形面积是36平方厘米，其边长是6厘米相比之下，长方形的宽还少2厘米，而长多出了3厘米我们可以把上面的长分成6厘米和3厘米两段，下面的长分成3厘米和6厘米两段而长方形的宽从中间分成两半，即向下向上剪两个格，如(1)图所示此时长方形已经分成了大小和形状相同的两块，只需要把左面的一块向上移动两个小格，再向右移动三个小格即可拼成正方形，如(2)图所示星星细语：图形的剪拼可以先从面积入手，然后根据具体的题目要求来确定每一部分的形状和位置在拼的时候，要注意平移和旋转的利用尝试解答：如下图，把边长为5的正方形中间挖去一个边长是1的小正方形(阴影部分)，再将这个图形分成两块，拼成一个长方形。

课内练习】1、将等边三角形纸片按图(a)所示的步骤折3次(图(a)中的虚线是三边中点的边线), 然后沿两边中点的边线剪去一角(图(b))将剩下的纸展开、铺平，得到的图形是( )2、将下图分成4个大小相等、形状相同的图形3、下图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部，)4、.将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形5、.把一个长5厘米、宽1厘米的长方形分割、拼接成一个正方形课外练习】1、怎样把一个平行四边形剪拼成一个长方形画出示意图）2、将下图分成四个大小相等、形状相同的图形3、你能把下面的图形分成面积和形状都相同的5块吗?在图上丬将分法画出来4、你能把一个等边三角形分成大小、形状都相同的3个、4个、6个三角形吗？5、两个大小相同的正方形怎样拼成一个大正方形拼一拼并画出示意图）数海拾趣：巧剪妙拼王大娘是个高明的裁剪师，她做的衣服用布最节省，连一些边角废料，在她的手里都能利用，右面形状的两块布头，被她各剪一刀，竟神奇的拼成了正方形小朋友，你知道王大娘是怎样剪拼的吗?家长留言： 签名：第二讲 包含与排除 【知识引领】集合是指具有某种属性的事物的全体，组成集合的每个事物称为这个集合的元素，它是数学中最基本的概念之一。

如某班全体学生可以看做一个集合每一个学生都是这个集合的元素两个集合也可以做加法运算把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合叫做集合C计算集合C的元素个数的思考方法主要是包含与排除先把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起;再“排除”A、B公共元素的个数，减去加了两次的元素，即C=A +B-AB，在解答包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系和逻辑关系面对问题】例题1 一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人?思路点拨：我们通常可以画一个图帮助思考：画两个相交的圆，其中一个圆表示体育代表队，另一个圆表示文艺代表队，那么两圆的内部共有42人，而体育代表队的圆中有30人，文艺代表队的圆中有25人，但30+25=55，大于42，这是因为两队都参加的人被计算了两次，因此55-42 =13，即是两队都参加的人数30+25-42 =13(人)，答：两队都参加的有13人星星细语：重叠一次容斥原理：两部分之和减去总数等于两部分的公共部分尝试解答：一个班有学生45人，参加数学兴趣小组的有30人，参加音乐兴趣小组的有22人，并且每人至少参加一个组，这个班两组都参加的有多少人?例题2 求100以内即是5的倍数又是7的倍数的数的个数？思路点拨：100以内5的倍数有100÷5=20个，7的倍数有100÷7=14……2即14个。

但100以内既是5的倍数又是7的倍数的数的个数并不是20+14=34个因为在100以内有些数既是5的倍数，又是7的倍数，如35，这些数在计算5和7的倍数时，重复统计了，因此要求100以内既是5的倍数又是7的倍数的数的个数时，还应减去100以内5与7的公倍数的个数100以内5的倍数有100÷5=20（个）100以内7的倍数有100÷7=14……2即14（个）100以内35的倍数有100÷35=2……30即2（个）20+14-2=32（个）答：100以内既是5的倍数又是7的倍数的数的个数是32个星星细语：可以先求出每个部分的数量，在减去他们的重叠部分尝试解答：1至100的自然数中，是2的倍数又是3的倍数的数有多少个?例题3 五年级一班62个同学在课堂小测验中，答对第一题的有52人，答对第二题的有49人，两题都答对的有43人问至少答对一题的有多少人?两题都没有答对的有几人?思路点拨：如图所示，已知答对第一题的有兑叭，答对第二题的有49人，根据题意先用52+49=101(人)求出答对第一题和第二题的总人数，但其中两题都答对的43人被算了两次，用101-43 =58(人)，就得到至少有一题答对的人数。

所以，两题都答得不对的有62-58=4（人）星星细语：你还能开动脑筋想出别的方法吗？尝试解答：某班39个同学在一项测试中，答对第一题的有28人，答对第二题的有26人，两题都答对的有18人问至少答对一题的有多少人?两题都没有答对的有几人?例题4 某班58人，参加数学竞赛的有29人，参加语文竞赛的有28人，如果两科都没参加的有25人，同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?思路点拨：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：58 -25=33（人），根据参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有29人，可以求出两科竞赛同时参加的人数：28+29-33 =24 (人)星星细语：你还能想出别的方法解答吗？尝试解答：一个旅行团有42人，其中会法语的有21人，会英语的有30人，两样都不会的有6人两样都会的有多少人?例题5 育才小学举办学生美术作品展览分学校的橱窗里展出了各个年级学生的作品，其中有22幅不是四年级的，有26幅不是五年级的四、五年级的参展作品共有12幅，其他年级参展的作品共有多少幅?思路点拨：由题意知，22幅作品是一、二、三、五、六年级的总数；26幅作品是一、二、三、四、六年级的总数。

22+26=48(幅)，这是一个四、五年级和两个一、二、三、六年级参展的作品总数，从中去掉四、五年级共参展的12幅即得到两个一、二、三、六年级参展作品的总数，再除以2，就求出了其他年级参展的作品22+26 -12)÷2=18(幅).. 答:其他年级参展的作品共有18幅星星细语：要根据具体题目，认真分析，再利用容斥原理进行解答尝试解答：新年到了，学校把同学们制作的新年贺卡进行展览学校的走廊里挂出了各年级同学的作品，其中有76张不是二年级的，有98张不是一年级一、二年级的参展作品共有24张其他年级参展的作品共有多少张?【课内练习】1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有23人，会弹电子琴的有15人，其中两种乐器都会演奏的有7人这个文艺组一共有多少人?2、五年级选出60个同学参加作文竞赛和数学竞赛，结果7人两项竞赛都获奖了，有26人两项竞赛都没有获奖，已知作文竞赛获奖的有15人，问数学竞赛获奖的有多少人？3、四年级一班参加舞蹈队的有16人，参加合唱队的有28人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人这两队都没有参加的有20人请算一算，这个班共有多少人?4、五(1)班同学排成4队做操，每队人数一样多。

小华的位置是从前面数第7个，从后面数第9个这个班共有多少个学生?5、儿童节那天学校举办各年级同学的书法作品展览。