【最新教材】人教a版必修5学案：1.2应用举例2含答案.doc
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新教材适用·高中必修数学1.2 应用举例(二)自主学习 知识梳理1．在△ABC中，有以下常用结论：(1)a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b；(2)a>b⇔____________⇔____________；(3)A＋B＋C＝π，＝－；(4)sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，sin ＝____________，cos ＝____________.2．在锐角△ABC中，A＋B>⇔A>－B⇔sin A____cos B⇔cos A____sin B.3．三角形常用面积公式(1)S＝____________(ha表示a边上的高)；(2)S＝absin C＝____________＝____________；(3)S＝(可由正弦定理推得)；(4)S＝2R2sin A·sin B·sin C(R是三角形外接圆半径)；(5)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 自主探究在平面几何中，平行四边形的四边长的平方和等于两条对角线长的平方和．你能利用余弦定理加以证明吗？对点讲练知识点一 证明平面几何有关定理例1 一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与B之间，P是此直线外一点，设∠APC＝α，∠BPC＝β.求证：＝＋.总结 面积法是证明平面几何问题的常用方法之一．面积等式S△ABP＝S△APC＋S△BPC是证明本题的关键．变式训练1 在△ABC中，AC边上的角平分线BD交AC边于点D.求证：＝.知识点二 计算平面图形中线段的长度例2 如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．总结 在解三角形时，有些复杂的问题常常需要将正弦定理、余弦定理交替使用，尽管有时不是直接求出结果，但为了过渡，也是很有必要的，本例先求BD就起到了这样的作用．变式训练2 已知△ABC，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，求证：△ABC中，a边上的中线MA＝.知识点三 计算平面图形的面积例3 如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ角的值．总结 本题将四边形面积转化为三角形面积问题，将实际问题转化为数学问题，是转化与化归思想的应用．变式训练3 已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解有关三角形中的三角函数问题．2．利用正弦定理、余弦定理解决几何问题时，关键在于找出图形中的边角的关系式，即将有关几何关系转化为三角形中的边角关系，再利用正弦定理、余弦定理求出有关量. 课时作业一、选择题1．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为( )A. B. C. D．92．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )A. B. C. D.3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，如果2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )A. B．1＋ C. D．2＋4．平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是( )A．16 B．17 C．18 D．18.535．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为( )A. B.C. D．6题 号12345答 案二、填空题6．△ABC中，已知∠A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．7．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．8．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．三、解答题9.已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且∠D＝60°，试求四边形ABCD的面积．10．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acos B＝3，bsin A＝4.(1)求边长a；(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.§1.2 应用举例(二)知识梳理1．(2)A>B sin A>sin B (4)sin C －cos Ccos sin 2．> <3．(1)aha (2)acsin B bcsin A自主探究证明 在△BAD内：BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos ∠BAD在△ABC内：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC∵∠ABC＋∠BAD＝180°，∴cos∠ABC＋cos∠BAD＝0.∴BD2＋AC2＝2AB2＋AD2＋BC2，即：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.对点讲练例1 证明 ∵S△ABP＝S△APC＋S△BPC∴PA·PBsin(α＋β)＝PA·PCsin α＋PB·PCsin β两边同除以PA·PB·PC，得＝＋.∴＝＋.变式训练1 证明 如图所示，在△ABD中，利用正弦定理，＝.①在△CBD中，利用正弦定理， ＝.②∵BD是角B的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠ADB＋∠CDB＝180°，∴sin∠ADB＝sin∠CDB，所以①－②，得＝.即＝成立. 例2 解 设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有AB2＝BD2＋AD2－2AD·BD·cos∠ADB，即142＝x2＋102－20xcos 60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6舍去)，即BD＝16.在△BCD中，由正弦定理＝，∴BC＝＝8.变式训练2 证明 如图所示：BM＝MC＝.在△ABM中，由余弦定理得：c2＝MA2＋2－2MA·cos∠AMB.在△ACM中，由余弦定理得：b2＝MA2＋2－2MAcos∠AMC∵cos∠AMB＋cos∠AMC＝0，以上两式相加，得：b2＋c2＝2MA2＋.即MA2＝b2＋c2－a2，∴MA＝.例3 解 (1)△ABD的面积S1＝×1×1×sin θ＝sin θ，由于△BDC是正三角形，所以△BDC的面积S2＝BD2.而在△ABD中，由余弦定理可知：BD2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ.于是四边形ABCD的面积S＝sin θ＋(2－2cos θ)，∴S＝＋sin，0<θ<π.(2)由S＝＋sin及0<θ<π，得－<θ－<.当θ－＝时，即θ＝时，S取得最大值1＋.变式训练3 解 连接BD，则四边形面积S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·ADsin A＋BC·CDsin C.∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.∴S＝(AB·AD＋BC·CD)·sin A＝16sin A.由余弦定理：在ABD中，BD2＝22＋42－2·2·4cos A＝20－16cos A，在△CDB中，BD2＝52－48cos C，∴20－16cos A＝52－48cos C.又cos C＝－cos A，∴cos A＝－.∴A＝120°.∴S＝16sin A＝8.课时作业1．B 2.B 3.B 4.A 5.A6．20解析 设AB＝8k，AC＝5k，k>0，则S＝AB·AC·sin A＝10k2＝10.∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝82＋52－2×8×5×＝49.∴BC＝7，∴周长为AB＋BC＋CA＝20.7.≤a<3解析 由，解得≤a<3.8.解析 不妨设a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：cos A＝＝＝，∴sin A＝ ＝.由(a＋b＋c)·r＝bcsin A得r＝.∴S内切圆＝πr2＝π.9．解 连结AC，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，∠D＝60°，可得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠D＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28，在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，可得cos∠B＝＝＝－.又0°
