3 第04讲_用数列极限定义证题.pdf

高等数学典型例题与解法（一）高等数学典型例题与解法（一） 第4 4讲 用数列极限定义证题 理学院李建平教授 内容提要 典型例题解析 主要内容 【注】用这个定义证题的关键是通过解不等式 ? 找出合适的 . ?→? ? 是指：当 无限增大时， ?无限接近于常数 . 其严格的形式化定义为： ?，当 时，恒有 ? . 数列极限的定义 例4.1 试用数列极限定义证明 【分析】 ?→? ? 这里加1是为了保证 是正整数， 对于任意给定的正数 ，要找到正整数 ， 使得当时， ?? 只要取定一个 满足不等式 取 可大不可小 因为如果， 如 例4.1 试用数列极限定义证明 【证】 所以， ?→? ? ? 当时，恒有 ???? ?→? ? 例4.2 试用数列极限定义证明 【分析】 ?→? 解不等式 如果取那么当时，，所以，为保证 为正整数， 可以取 例4.2 试用数列极限定义证明 【证1】 ?→? ? 当时， 恒有 所以， ?→? 【注】取亦可. 例4.2 试用数列极限定义证明 【证2】 ?→? ? ? 当时， 恒有 所以， ?→? 考虑?则且 ?? ? 【注】引入较小的 ?保证了 为正整数 ? 可小不可大 例4.2 试用数列极限定义证明 ?→? 【证3】 所以， ?→? 不妨设 ? ?, 【注】数列极限的语言中：“ 可小不可大， 可大不可小”. ? 当时， 恒有 例4.3 试用数列极限定义证明 ?→? ? ? 【分析】解不等式 ? ? ? 适当放大? 不易求解 容易求解 例4.3 试用数列极限定义证明 ?→? ? ? 【证】 ? 当时，恒有 所以， ? ? ? ?→? ? ? 那也必须要求 ?要多么小就多么小. 【注】“适当放大”包含两层意思： 第一，是放大. 要保持不等式的方向，就是将误差量 ? 放大到 一个合适的水平，即 ??，使得容易求解不等式 ? 得出一个简洁的 第二，是适当.要保持任意小的性质，即本意要求 ? 要多么 小就多么小， 例4.4 试用数列极限定义证明 【证1】 ? 当时，恒有 所以， ?→? ? 于是，取 要使 ? ，因为 ? ，只要 ? ， 即 ? ，亦即 ? ?→? ? 例4.4 试用数列极限定义证明 【证2】 ? 当时，恒有 所以， ?→? ? ? ?→? ? 则 记 ? ? 因为 ? ，则 ? ， 于是有 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 适当放大 例4.5 若?→? ? ， 【证】 并举例说明其反之不真．证明?→? ? ． 但 ?→? ?不存在 若 ?→? ? ， 则 ?，当 时，恒有 ? ， 从而当时， 由三角不等式，有 ?? 所以 ?→? ? 反之不真事实上，取 ? ? ，则 ?→? ? ， 例4.5 若?→? ? ，并举例说明其反之不真．证明?→? ? ． 如果学习了连续函数和极限的复合运算， 【思考】 如果，那么上述结论就成立了请证明： ?→? ? 的充要条件是 ?→? ? 然后，对照其证明过程，体会两者的差别 正确性作出解释 请重新对题中结论的 例4.6 设数列 ? 有界， 【证】 证明 ?→? ? (2) 如果学习了无穷小的性质，请思考这些结论如何解释？ 因数列 ? 有界，则存在正数，使得 ? ? 当时， 恒有 ?? 所以， ?→? ? 【思考】(1) 拓展：设数列 ? 有界， ?→? ? ，证明 ?→? ? ? 再 见！ 。