竞赛基本对称式二.doc

基本对称式一、内容提要1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质.　形如x+y和xy是两个变量x,　y的基本对称式.2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.例如x2+y2,　 x3+y3, 　(2x－5)(2y－5), 　－，　……都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示：x2+y2＝（x+y）2－2xy，　 　　　　x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，(2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25,　　　－=－, ==.3. 设x+y=m, xy=n.则x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n；x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn；x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2；x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2； ………一般地，xn+yn　(n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)－xy(xk－1+yk－1)　(k 为正整数).4. 含x,　y的对称式，x+y, xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.二、例题例1. 已知x=(+1), y= 求下列代数式的值：　①x3+x2y+xy2+y3 ； ②x2 (2y+3)+y2(2x+3).解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.　　∴先求出　x+y=, 　xy=.①　x3+x2y+xy2+y3 ＝（x+y）3－2xy(x+y)=()3－2×=2；　　　　　　　②　x2 (2y+3)+y2(2x+3)＝2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3［（x+y）2－2xy］+2xy(x+y)=3［（）2×＝－6.例2. 解方程组分析：可由　x3+y3, x+y 求出xy，再由基本对称式，求两个变量x和y.解：∵x3+y3,＝（x+y）3－3xy(x+y) ③把①和②代入③，得35＝53－15xy.∴xy=6.解方程组　　得　　或.例3. 化简　＋.解：设＝x, 　　=y.　　　　那么　x3+y3=40, 　xy==2. 　　　　　　∵x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，　　　　　　∴　40＝（x+y）3－6（x＋y）.设x+y=u, 得　u3－6u－40=0 . (u－4)(u2+4u+10)=0. 　　　　　∵u2+4u+10=0 没有实数根，　　　　　　∴u－4＝0,　 u＝4 . 　∴x+y=4. 即　＋＝4.例4. a取什么值时，方程x2－ax+a－2=0　的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为x1,　x2 .　 根据韦达定理，　得　 ∵＝＝＝，∴当a=2时，　有最小值是2.三、练习1.　已知 x－y=a, 　xy=b.　则x2+y2=______ ； 　x3－y3=______.2.　若x+y=1, x2+y2=2.　　则　x3+y3=_______；　　x5+y5=______.3.　如果　x+y=－2k, xy=4, . 　则　k=_____.4. 已知x+=4, 　 那么x－=____　， 　　=＿＿＿.5. 若.＝a,　那么x+=______ ,　　 =＿＿＿.6. 已知：a=, 　b=.求：　①7a2+11ab+7b2 ； 　②a3+b3－a2－b2－3ab+1.7. 已知＝8，则＝＿＿＿＿8. 已知　a2+a－1=0 则a3－=＿＿＿＿＿9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：化简：　①；　　　②.练习题参考答案1.　 a2+2b, a3+3ab 　　 　2. 2.5, 4.75 　　　3. 　±4.　2或－2，　14，　52　　 　　　　　　　5.　a2－2, a4－4a2+26. 　109,36 　　　　　　　 7. 62 　　　　　　 8. –49. x2 ±3x＋2＝0　　10.　①1，　②2。