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灰色关联分析 经济与管理学院 郭敏 课程结构 n1 灰色系统概述 n2 灰序列与灰色建模 n3 灰预测 n4 灰决策 n5 灰关联分析 第一节 灰色系统理论概述 一、灰色系统 定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的 任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体 •信息－－对系统的认知 系统 y=f(x) 输入x输出y 一、灰色系统 系统 （根据信息明确程度） 黑色系统 （信息毫无所知 或知之甚少） 不确定系统 （既含有已知信息 又有未知信息） 白色系统 （信息完全明确） 1 、 区间数学/概率论 2、模糊理论 3、灰色系统理论 4、其他：证据理论、粗糙集理论、粒计算、 可拓理论、直觉集 几种不确定系统(理论)的比较 概率论 n概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察 具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象 中每一种结果发生的可能性大小 n要求大样本，并服从某种典型分布 n区间 ¨下月土豆价格在[1.5, 5.0]元/kg之间 n空间 n概率空间 概率论 n明天天气: 80%可能性为晴天,20%可能性下雨 n有些随机事件无规律可循，但不少是有规律的， 这些“有规律的随机事件”在大量重复出现的条件下 ，往往呈现几乎必然的统计特性 n大数定律：样本数量很大的时候，样本均值和真 实均值充分接近。

n中心极限定理: 很多个因素独立同分布并且可以叠 加，那么叠加结果就会接近正态分布 模糊理论 nL.A.Zadeh（扎德）于1965年首创模糊理 论，第一次用精确的数学方式来分析和研究 模糊量，取得了新的突破 n模糊数学着重研究“概念不确定”问题，其研 究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点 模糊理论 n“年轻人”概念 年轻人 0 10 40 年龄 隶属度 n系统对x输入的响应: y=f(x) nx为模糊数,它属于一个模糊集合 ny必然也是一个模糊数,属于某个模糊集合… 灰色系统理论 n灰色系统理论是我国学 者邓聚龙教授于19世纪80 年代初创立并发展的理论 ，它把一般系统论，信息 论和控制论的观点和方法 延伸到社会，经济，生态 等抽象系统，结合运用数 学方法发展的一套解决灰 色系统的理论和方法 n何毓琦，哈佛大学终身教授、 美国工程院院士、中国科学院及 中国工程院外籍院士，长期从事 系统控制科学及工程应用研究， 在最优控制、微分对策、团队论 、离散事件动态系统和智能系统 等方面做出了重大贡献是动态 系统现代控制理论的创导者之一 。

n灰色系统理论发展概况 ¨华中科技大学邓聚龙教授于20世纪70年代 末、80年代初提出 ¨ 诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文 “ The Control Problems of Grey Systems”， 发表于北荷兰出版公司期刊System & Control Letter, 1982, No.5 n 提出意义 ¨ 系统思维和系统思想在方法论上的具体体 现 ¨ 科学方法论上的重大进展, 具有原创性的 科学意义和深远的学术影响 ，是对系统科学 的新贡献 n灰色系统理论的研究对象 ¨ “部分信息已知, 部分信息未知”的“小样 本、贫信息”不确定性系统 n 灰色系统理论的研究内容 ¨ 灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰 建模、灰预测、灰决策、灰控制、灰评估、灰 数学等 n 灰色系统理论的应用领域 ¨ 农业科学、经济管理、环境科学、医药 卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像 信息、生命科学、控制科学等 定义1.1 系统是客观世界普遍存在的一种物质 运动形式,它和运动性一样,是物质存在的一种 根本属性. 定义1.2 灰色系统是指“部分信息已知,部分 信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确 定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成 、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运 行行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分 布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的 新理论，具有十分宽广的应用领域。

（一）灰色系统公理： 1.信息不完全、不确定的解是非唯一的；（解的 非唯一性原理） 2.信息是认识的根据；（认识根据原理） 3.灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“ 最小信息”；（最小信息原理） 4.新信息对认识的作用大于老信息；（新信息优 先原理） （二）灰色系统的描述 1、灰数/灰色参数----灰色系统的基本单 元 2、灰色方程 3、灰色矩阵与灰色度 n灰数（grey number） n灰数是那些只知道大概范围而不知其确切 值的数（只知道部分数学特征，而不知道 具体数值的参数） ¨没有明确数值或确定的分布，仅知大概范围（ 上限、下限） ¨当灰数的上限和下限相等时，就成为了确定数 1.灰色参数（灰数） •“某人的身高约为170cm、体重大致为 60kg” •这里的“（约为）170（cm）”、“60”都是 灰数，分别记为 、 •“那女孩身高在157－160cm之间” •关于身高的灰数 n白化（whitening） ¨由于灰数是一个范围而非确定的数如果需要 解决的问题本身要求是一个明确的数，此时就 需要将灰数转化为一个确定的数，称为白化。

¨α称为白化系数 ¨ 记为灰数 h的白化默认数(白化数) 在灰色系统理论中，把随机变量看成灰数， 即是在指定范围内变化的所有白色数的全体 • 如代购一件价格为100元左右的衣服，100可 作为预购衣服价格的白化值 灰数有离散灰数（属于离散集）和连续灰数（ 属于某一区间） 区间灰数的运算 设灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c,d] (a0, 则 1/ 2= 1·2-1 ∈[min{a/c,a/d,b/c,b/d},max{a/c,a/d,b/c,b/a}] ⑦若k为正实数 则： k1 ∈[ka, kb] 定义：形如 的白化称为等权白 化 定义：在等权白化中 而得到的白化值称 为等权均值白化 定义：设区间灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c,d] (ab,cd) 当 时称 1与2取数一致；当 时，称 为取数不一致 定理1：区间灰数不能相消、相约 即：灰数自差一般不能等于0，仅当减数与被减数的取 数一致时，灰数的自差才等于0 如：  ∈[2，5]， -  =0 取数一致 ∈[-3，3] 取数不一致 定义：起点，终点确定的左升、右降连续函数称为典型 的白化权函数。

=1 取数一致 ∈[2/5，5/2] 取数不一致 再如：  /  f(x) 1 0x1x2x3x4 L(x) R(x) x 2.灰色代数方程—含有灰色系数的代数方程 如： 灰色微分方程为含有灰色导数或灰色微分的方 程，如 3.灰色矩阵—行列数确知而含有灰元的矩阵 n灰色矩阵A n 若在A的m*n个元素中，有N个灰色元素， 则可以用d表示这一矩阵的灰色度 灰色系统理论研究的内容灰色系统理论研究的内容 灰色系统理论经过20年的发展，已基本建 立起一门新兴的结构体系，其研究内容主要 包括：灰色系统建模理论、灰色系统控制理 论、灰色关联分析方法、灰色预测方法、灰 色规划方法、灰色决策方法等 灰色数列预测是指利用动态GM模型，对系 统的时间序列进行数量大小的预测，即对系 统的主行为特征量或某项指标，发展变化到 未来特定时刻出现的数值进行预测。