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全国第七届初等数学研究学术交流会大会报告论文-国内学者对凸函数理论-.doc

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    • 全国第七届初等数学研究学术交流会大会报告论文国内学者对凸函数理论的若干研究成果介绍张小明 1 石焕南 21.浙江广播电视大学海宁学院 浙江海宁 3144002.北京联合大学师范学院电气信息系, 北京, 100011 一、国内学者对凸函数的一些研究一百多年来,凸函数及其推广是分析不等式研究中的一个热点,参考文献也难于统计.近十年来,国内对实的凸函数的研究也是很多的(不过其中的一部分是重复研究) ,主要学者有胡克、石焕南、王挽澜、祁锋、文家金、张小明、杨镇杭、王良成、吴善和、刘证、于永新、李世杰和于小平等.本文把其中的一部分列为参考文献,读者可从其中了解我国学者在此方面一些研究.下面我们仅介绍让初学者容易理解的一些结果.1、凸函数和 S-凸函数的定义及微分判别定理我国现行分析教材中,凸(凹)函数的定义是比较混乱.但国际通用的为如下定义 1.定义 1 设 是 上的凸集, ,若任取 ,D1,n¡¥:fD¡,xyD,有 成立,则称 为 上的凸函数.0fxyfxyf当 为凸函数时,称 为凹函数.ff定义 2 设 是 上的凸集, ,若任取 ,有,n¡ :f¡,xy成立,则称 为 上的中点凸函数.当 为中点凸函数,1xyffxfy f f称 为中点凹函数.从定义中可以看出,凸函数一定是中点凸函数,反之则不然,其实开区间内的可测的或有界的中点凸函数为凸函数.其实 Jensen 在 1905 年也是把定义 2 作为凸函数的定义.定义 3([4][5]) 设 满足,nxyR(ⅰ) , (ⅱ) [][]11 , 2.1kkiiiniiyx1则称 被 所控制, 记作 . 其中 是 的分量的递减重排.xp2nxL例 1 设 , ,则 的重排分别为4,x3,y,和 ,且有2,43,12,13,3142成立,所以 .yxf定义 4([4][5]) 设 . 若在 上 , 则称,:nRxyyp为 上的 Schur 凸函数,简称 S-凸函数; 若 是 Ω 上 Schur 凸函数, 则称 为 上Schur 凹函数,简称 S-凹函数.定理 A 设函数 在开区间 上一次可微,则 在 上为凸函数当且仅当 在I¡I't区间 为单调增加.I定理 B 设函数 在开区间 上二次可微,则 在 上为凸函数当且仅当¡对 恒成立.'0tIt定理 C 设 为开凸集, 在 上二次可微,则 在 上为凸函数当且仅当nH¡HH在 上半正定.121212nnLxL定理 D 设集合 是有内点的对称凸集, 连续,且在 中的内点都n¡ :¡可微,则 为 S-凸函数的充分必要条件是 在 上对称且对 的任意内点 ,都有Hx.12120xx2、关于凸函数的一些研究结果定理 1([6]) 设 为凸函数,数列 ,又:,fxabf1,kxab为任一非负数列,定义 .则1kp 111nnnkkkpFpxf为单调增加数列.nF定理 1 推广了凸函数的 Jensen 不等式: .关于此类11nnkkfxpxfp不等式的推广的研究在国外研究也很多,比如对于非凸函数但可微的函数 ,如何用f或 来表示 的上下界;如何继,max|'|bf,ax|'|bf11nnkkfxxf续加细 等等.这些研究较多地集中澳大利亚不等式研究小11nnkkpfpxf组的网站 http://www.staff.vu.edu.au/RGMIA/issues.asp 上.定理 2([32]) 设 是定义在 上的一次齐次函数且两阶可微,则 是,fyD,fxy严格凸的充要条件是: .20x定理 3([32]) 设 , 是定义在 上的正 次齐次函数且两阶可2fyn微,则 严格凸的充要条件是 .,ln,uvgvfe2l,0fxy定理 4([32]) 设 , 是 上的 0 次齐次函数且二阶可微,则20DfxyD为严格凸的充要条件是 .,uvfe凸函数的 Hadamard 不等式(又称 Hermite-Hadamard 不等式)指的是,122bafafbaffxd其中 为区间, 为凸函数, .若对于 ,I¡:fI¡,abI:,0,fab.记 ,,0,rsxy1, ,;lnexp,.rsbrasrsbrasfxsMfffrsx.1111, 0;,0,;ln,; ,,;0, .rrsrsrrxyyysyxrxErsxysyerxx 1990 年,杨镇杭把凸函数的 Hadamard 不等式推广到幂平均的情形.定理 5([26]) 设 是 上正的连续函数, 且在 内二次可微, 若f[]abab, , 则对任意的 , 有0fxab.1,;,fxEf若对于 ,有 , 则以上不等式反向.,xab0f这一结果后被孙明保推广到双参数情形.定理 6([25]) 设 是 上正的连续函数,, 且在 内导数 连续递增 , ab,abfx则对任意 有,rs, (2), ,;,rsMfErsf仅当 为正的线性函数时等号成立.若在 内导数 连续递减, 则(2)的不等号反f x向.2003 年, 杨镇杭进一步将凸函数的幂平均不等式和双参数平均不等式推广到非对称拟算术平均不等式, 得到了下列结果定 理 7([24]) 设( 1) 在 上 严 格 单 调 ;f,m( 2) 在 上 严 格 凸 , 且 有 一 阶 导 数 , ;ba'xmxM( 3) 在 上 恒 正 并 可 积 .)(xpM,则有, (3)1 1bb aa pxfdpxfdxf f 当 时 , 不 等 式 ( 3) 右 边 被 定 义 为 . a1f作 为 其 特 例 , 还 得 到 了 对 数 凸 函 数 ( 即 为 凸 函 数 ) 的 Hadamardln:lxf不 等 式 .推 论 1([24]) 设 为 上 的 对 数 性 凸 函 数 , ,有Fba, ,rs¡.1(),;,rsrbsaxdEFab3、关于 S-凸函数的一些研究结果文[7]考虑了函数平均关于积分上下限的 Schur 凹凸性(定义见文献[4][5]) ,借助于Hadamard 不等式,建立了如下重要的结果.定理 E([7])设 为一区间, 是 上的连续函数, ,IfI21,xI21 21,.xftdx则 是 上的 Schur 凸(凹)函数当且仅当 是 I上的凸(凹)函数.2I f我们在[3][8]中把此结果加强为定理 8 设 为一区间, 是 上的连续函数, ,fI21,xI2112,.xftdx则 是 上的凸(凹)函数当且仅当 是 I上的凸(凹)函数.2I f显然 关于 是连续的,文[10]证明了 关,;Ersy,,0rsy¡ ,;Ersxy于 为单调增加的 ,[11]解决了 对于 关于 的S-,x;Ersx2,0,y¡凸性问题.[12]试图研究 对于确定的 关于 的S-凸性,;x,¡x问题,得到一个结果.[13]指出定理B错误的同时,给出若干充分条件.即下定理3.定理9([13]) (1)若 或 ,则则 关于 在2rs2r,;rs,xy是S-凸函数.20,(2)若 ,,01,011rs sr,则 关于 在 是1rs;Ersxy,20,S-凹函数.在文[14]中,作者得到 式对于 关于 为S-凸或S-凹,;Exy,¡,,的充要条件,即下定理4.定理 10([14]) (1) 关于 为 S-凸函数,当且仅当 ,,rs,0,1s和 .1r3sr(2) 关于 为 S-凹函数,当且仅当 , 或 .,;Ersxy,0,3sr1s推论 2([14])(1)当 , 和 时, ;当 , 或13sr,;2xyErs时, .s;2xyrs(2) 被称为广义对数平均,则有当 时,其关于 为 S-,Er,0,xy凸函数;当 时,其关于 为 S-凹函数([12]).,0,(3) 被称为广义指数平均,则有当 时,其关于 为 S-,;rxy32,,凸函数;当 时,其关于 为 S-凹函数.1,,(4) 被称为幂平均,则当 时,其关于 为S-凸函数;,2;1r,0,xy当 时,其关于 为S-凹函数.r0,xy(5) 被称为单参数平均,则当 时,其关于 为S-,;r ,,凸函数;当 时,其关于 为S-凹函数.1,,关于此类研究还可见[13][14][15]二、几何凸函数的研究介绍在几何凸函数没有正式定义之前,已有文[33][34]利用一种变换,来研究它的一些性质,而正式定义应该由文[35]最先给出的.在不知情的情况下,国内的文[36]中也出现这个概念.文[37][38][39]首次各自给出了一维几何凸函数的微分判据.定义 5 设 连续,如果存在自然数 ,对于任一 和:fI¡¡ 2nixI, .当 时,0i1,2nL1ni,2,fxfx 11nni iifxf1()i ini之一成立,则称 在 上是几何凸函数;若不等式之一反向,称 在 上是几何凹函数.fI fI大量的事实表明,几何凸函数具有凸函数同样的优点,即能够把许多已知的用不同方法得到的不等式,用一种统一的模式推导出来,是证明和推广已知不等式、发现新的不等式的一个强有力的工具;另一方面,几何凸函数与凸函数作为两个证明和发现不等式的工具来说,各有所长,不能互相替代.这两个工具具有同样的重要性,不可偏废、不能厚此薄彼.定理 11([37][40]) (ⅰ)若 是连续的凸函数,则 是:,gcd¡ (ln)gxfe上的几何凸函数.,cde(ⅱ)反之,若 , 为几何凸函数,则 是0a:,fb¡ lxgf上的凸函数.lnab定理 12([37][38][39]) 设区间 ,函数 为二阶可导.则 为几何I¡:fI¡f凸(凹)函数,当且仅当.2"' '0xfxffx对于任 恒成立.I著名的 Gamma 函数在数学中占据着重要的地位,我们可以通过讨论与 有关的函数的几何凸性,来得到一个较强结果.如:当 时,有 Minc-Sather 不等式:n¥,成立.后 H. Alzer 把其改进为([41])11!!nn.1!22n文献[3]把它们改进为下定理 10.定理 13([3]) , 时,有1nN.10.74 43!22nn下面这个定理出自于[34],文[37]称其为“惊奇”的结果,其中的证法二是我们给出的.定理 14([34][37]) 设 为常数, 为连续,在 上为b¡:0,,fb0,b几何凸的,那么 0:,xFxftd为几何凸函数.相对于定理 11,以下结果更优美.定理 15([3][43]) 设 , 为几何凹,对于 ,设ba:,fb¡ xab,。

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