高一数学竞赛讲座函数方程与函数迭代.docx

精品名师归纳总结函数方程与函数迭代函数方程问题始终是各国重大竞赛中的热点问题，以 IMO为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中， 有 30 多道是函数方程的试题，几乎是每届一题 . 在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的 . 究其缘由，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论〔一般是要直接求出表达式〕 .【基础学问】可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结表示某一类〔或某一个〕函数所具有的肯定性质的关系式叫做 函数方程 〔其中f 〔 x〕为未知函数〕 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结假如一个函数对其定义域内变量的一切值均满意所给的方程，就称程的解或证明函数方程无解的过程，就是 解函数方程 .我们粗略的归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类：1. 换元法：2. 解方程〔组〕法f 〔 x〕 为这个 函数方程的解 .寻求函数方可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结当所给的函数方程中变量不止一个时，和一般方程一样，求解时第一要设法削减变量个数，代值减元就是一种削减变量的方法，它通过适当的对自变量赋于特别值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题 .先求出对于自变量取全部正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值， 有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解 .这里我们给出一个定理：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结柯西函数方程的解定理 ：假设f 〔x〕是单调〔或连续〕函数，且满意f 〔x y〕f 〔x〕f 〔y〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〔x, y R〕, 就f 〔x〕xf 〔1〕.〔我们将此定理的证明放于例题中进行讲解 .〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结f 〔n〕 是定义在 R 上的函数，假如存在递推关系 S 和初始条件f 〔1〕a1, 当知道f 〔1〕,f 〔2〕, , f 〔n〕 的值可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结后，由 S可以惟一确定f 〔 n1〕 的值，我们称f 〔n〕 为递归函数 .递推法主要解决递归函数问题 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结一般的，设函数f 〔x〕 的定义域为 D，假设存在 x0D ，使f 〔x0〕x0成立，就称x0 为f 〔x〕的不动点 ，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结或称 〔 x0 , x0〕 为函数 y f 〔x〕 图象的 不动点 .对于一些简洁的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最终利用数学归纳法证明，往往会使算法简洁些 .【典例精析】x 1 1 x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结【例 1】已知f 〔 x〕x 1f 〔 〕 , 求x x1f 〔x〕.1 y 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〖 分 析 〗令xt, 就 x, 再 令1 t 1 ty, 就 t, 因 此 可 以 将所 得 三个 等 式看 成 是 关于y可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x 1 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结f 〔x〕,f 〔 〕, f 〔 〕 的三个方程，便可解得f 〔 x〕.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x 1 x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 t○1x 1 , 就 x x1 , 代入原式，得1 tf 〔 1 〕1 tf 〔t 〕1 , 即1 tf 〔 1 〕1 xf 〔x〕 1 1 ,1 x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1 1 t 1 t 1 1 x 1 2x 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结设 t , 就代入原式，得1 xf 〔 〕 f 〔 〕 1 .即f 〔 〕 f 〔 〕 , ○2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1 t t t3 21 x x x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结将○1 ○2 与原方程联立，解得f 〔x〕x x 1 . 2 x〔1 x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x 1 1 x 1 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〖说明〗f 〔 x〕,f 〔 〕, f 〔 〕 的方程组，消去 f 〔 〕, f 〔 〕, 从而求得f 〔 x〕.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x 1 x x 1 x【例 2】证明：恰有一个定义在全部非零实数上的函数 f，满意条件：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1〔1〕 对全部非零实数 x， f〔x〕= xf〔x〕。

〔2〕对全部的 x≠－ y 的非零实数对 〔x,y〕，有 f〔x〕+f 〔y〕=1+ f〔x+y〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2.证明： f〔x〕= x+1 明显适合〔 1〕、〔2〕下证惟一性即设 f〔x〕满意〔 1〕、〔2〕，那么 f〔x〕=x+1在〔 2〕中，令 y=1，得 f〔x〕 +f〔1〕=1+ f 〔x+1〕 〔 x≠－ 1, x≠０ 〕 ① 在〔 2〕中，以－ x 代换 x，以 x+1 代换 y，得f〔－ x〕+ f〔x+ 1〕=1+ f〔1〕 〔x≠－ 1, x≠０ 〕 ② 综合①、②，得 f〔x〕 +f〔－ x〕=2 〔x≠－ 1, x≠０ 〕 ③③在 x=1 时成立，所以在 x=－ 1 时也成立， 由〔 1〕及③，当 x≠０时，f 〔x〕 xf 〔 1〕 x[2 f 〔 1 〕] 2 x [ xf 〔 1 〕] 2x f 〔 x〕x x x所以 f〔x〕－ f〔－ x〕 ＝2x ④ 从③、④中消去 f〔－ x〕，得 f〔x〕 =x+1另解： 由①、③可得1f〔－ x〕=－ xf〔 〕 ⑤x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1f〔 〕 +f〔x1〕=2 ⑥x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结由①、③、⑤、⑥联立方程组可得【例 3】求全部的函数 f： R→ R，使得对任意实数 x、 y，都有 〔x－ y〕f〔x＋y〕 － 〔x＋y〕 f〔x－ y〕=4xy〔x2 －y2 〕3. 解： 令 x=y≠ 0，得 f〔0〕=0设 u=x+y， v=x-y， 那么 u+v=2x， u-v=2y，于是①式成为vf 〔u〕 uf 〔v〕 uv 〔u 2 v2 〕f 〔u〕 f 〔v〕 2 2假设 uv≠ 0，就上式为 u v u v可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结即对任意非零实数 u、v，有f 〔u〕 u 2f 〔v〕 v2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f 〔 x〕 x2xu vc为一常数， x≠０可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结于是对 x∈R，所求的函数为f 〔x〕x3 cx 其中 c 为某一常数。

可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结经检验，f 〔 x〕x3 cx 〔c 是常数〕是欲求的函数可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结【例 4】求全部的函数 f： R→ R 使得 f〔f 〔x〕＋ y〕=f〔x2－ y〕＋ 4f〔x〕 y ①对全部 x， y∈ R 成立4. 解： 易见 f〔x〕 ≡ 0 或 f 〔x〕=x2 皆为上述方程①的解我们来证明它们是惟一的解设对某个 a， f 〔a〕 ≠a2x2 f 〔x〕2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结在①中令y ，得 f〔x〕 · 〔 x - f〔 x〕〕=02可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结由于 f〔a〕 ≠ a2，故只能 f〔a〕=0 ，并且可见 a≠ 0[ 否就 a2=0= f〔 a〕与 a 的定义相违 ]于是我们得到，对任何 x，要么 f〔x〕=0，要么 f〔 x〕=x2在②中令 x=0，有 f〔0〕=0在①中令 x=0，有 f〔y〕= f〔－ y〕在①中令 x=a，并用－ y 替换 y，得 f〔a2+y〕=f〔－ y〕= f〔y〕从上式可见 f 以 a2 为周期，进而我们有 f〔f 〔x〕〕= f〔f〔x 〕+a2〕=f〔x2－ a2〕+4 f〔x〕 a2在①中令 y=0，有 f〔f〔x〕〕=f 〔x2〕利用 f〔x〕的周期性，得 f〔x〕 · a2 =0所以 f〔x〕=0〔 由于 a≠ 0〕也就是说，假设 f〔x〕 ≠ x2，就必有 f〔x〕 ≡ 0 成立，因此结论成立。

例 5】解函数方程：对任意 x， y∈ R，都有 f〔x+y〕+f〔 x－ y〕=2f〔x〕 · cosy 5.解： 令 x=0， y=t，得 f〔 t〕+f〔－t〕=2 f〔0〕cost ①可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结令 x= + t， y= ，得 f 〔 +t〕+f〔t〕=0 ②2 2令 x= ，y= ＋t 得 f〔 +t〕+f〔－t 〕=－ 2f〔 〕sin t ③2 2 2由〔 ① +②－③ 〕/2, 得 f 〔t〕=f 〔0〕cost+ f 〔 〕sin t2所以 f〔x〕=acosx+bsin x其中 a=f〔0〕 ，b=f〔 〕为常数2经检验， f〔x〕=acosx+bsinx 满意题设条件可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结【例 6】求全部满意以下条件的f : N R :f 〔 n m〕f 〔n m〕f 〔3n〕, n, m N, n m可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品。