人教版数学七年级培优和竞赛教程（9）二元一次方程的整数解.doc

9）二元一次方程的整数解）二元一次方程的整数解【【知识精读知识精读】】 1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中， 若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解即 如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解 显然 a,b 互质时一定有整数解 例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6 都有整数解 返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而 3 不能整除 10；（4，2）＝2，而 2 不能整除 1 一般我们在正整数集合里研究公约数， （a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值 2， 二元一次方程整数解的求法： 若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有 的解） k 叫做参变数 方法一，整除法方法一，整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解解：x== (1) , 5111yyyyy251 5101设是整数） ，则 y=1-5k (2) , kky(51把（2）代入（1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是（k 是整数）   kykx 51211方法二，公式法方法二，公式法：设 ax+by=c 有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）  00 yyxx akyybkxx003， 求二元一次方程的正整数解： ① 出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值 ② 用观察法直接写出。

分类解析分类解析】】 例 1 求方程 5x－9y=18 整数解的能通解解 x=5323531015 5918yyyyy设（k 为整数） ，y=3－5k, 代入得 x=9－9k ky 53∴原方程整数解是 （k 为整数）  kykx5399又解：当 x=o 时，y=－2，∴方程有一个整数解它的通解是（k 为整数）   20 yx kyyx5290从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的 例 2，求方程 5x+6y=100 的正整数解解：x=(1)，52056100yyy设(k 为整数)，则 y=5k,(2)ky5 把（2）代入（1）得 x=20-6k，∵ 解不等式组   00 yx  050620 kk得 0＜k<,k 的整数解是 1，2，3，620∴正整数解是   514 yx  108 yx  152 yx例 3，甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元，38 元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买 x 本，乙种书买 y 本，根据题意得 3x+5y=38 （x,y 都是正整数）∵x＝1 时，y=7，∴是一个整数解   71 yx∴通解是（k 为整数）  kykx3751解不等式组得解集是 ∴整数 k=0，1，2   037051 kk37 51k把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解   71 yx  46 yx  111 yx答：甲、乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。

实战模拟实战模拟】】 ，， 1， 求下列方程的整数解 ①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4 2, 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110 3，一根长 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长 300 毫米，乙种毛 坯长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？ 4， 兄弟三人，老大 20 岁，老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97，求兄弟三人的岁 数 5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）① 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111, ④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.6, 一张试巻有 20 道选择题，选对每题得 5 分，选错每题反扣 2 分，不答得 0 分，小这军 同学得 48 分，他最多得几分？ 7． 用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解：y=14－2x= 371y练习 91.公式法①由特解得通解（k 为整数）   04 yx  kykx 074②由特解得通解（为 k 整数）   25 yx  kykx 52115整除法①∵x==-3y,……∴通解是（k 为整数）3101y 31y  kykx 31310②通解是（k 为整数）   kykx 115132. ① ② －……     116 69 112 yx yx yx kykx503220322＜＜k3. 有 6 种截法  345乙＝甲＝ 2810乙＝甲＝ 2215乙＝甲＝ 1620乙＝甲＝ 1025乙＝甲＝ 519乙＝甲＝4. 16，13 5. A，D. 6. 12 7.（略）。