实数理论_陈广荣.pdf

实数 理论 陈广荣 摘要 : 实数遨论是数学分析的基础 , ’ 由有理数扩充到实数有几种方法 , 本文在有理数的 基础上 , 用比较通俗易懂的方式叙述了戴德金特的实数理论 、 博尔查诺的实数理论和康妥尔 的实数理论 苍1 . 有理数的基本性质和无理数的存在性 一 、 有理数索和它的基本性质 数是客观事物量的表现 换句话说 , 即表示所谓多少之分 , 大小之别 我们在社会实践 中要有基本的数量分析 , 才能做到胸中有数 人们最早认识数是 1 , 2 , 3 , 4 , …的自然数开始认识数的 把全体自然数 : 1 , 2 5 3 , 4 , … 所组成的集合叫做自然数系 它的基本性质是系内的每个数之间都有大小之分 , 前后之别 1是这个系内的最前面的数 , 也是这个系内最小的数 但是在这个系内没有最大的数 把这 个性质叫做自然数系的有序性 从 自然数系扩充到整数系 : … , 一连,一3 , 一2,一 1 一 子 , 几, 2 , 感 , 4 , … 再从整数系扩充到有理数系 所谓有理数就是形如二的分数 其中 q 和 p 都是 整 q 数 当p和 q 没有公因子时 , 卫就叫做既约分数 , 又因为任何有理数都可以找到它的既约 q 分数表示 。

通常我们对一个有理数都是用它的既约分数来表示 把形如上的数的全体叫做 q 有理数系 有理数亲的基本性质 , 除了有理数系内可以进行加减乘除 (但不能用零做除数)四则运 算外 , 还有下面的两个重要性质 : 1 . 有理数系的有序性 所谓有序性就是对任意两个有理数 和b , 在下面三个关系式中 : (i) a b , 有一个且只有一个式子成立 这就是说 , 对任意两个有理数都可以进行大小的比较 , 都有一定的次序 证明从略 2 . 有理数系的稠密性 所谓稠密性就是对任意两个不相等的有理数 a 是 A中最大数 , 且 才 2 介月一 2 、、 . 口 了 一 ` 台 护 口 . t、 成立 但后一个不等式必定能满足的 n , 只要取 、 f 2b l nz夕 l~ — ! Lb ` 一Z J 所以b - 一 〔B , 而 b 一 _ 玉 . 几 从这个规定不难看出 , 当 a = 〔A : }A Z) 是无理数时 , 对任何 盆〔 A: 和灭A Z, 都有 戈 夕 , 凡丫 . 一 ,. 成每i i)着A : CB : 这时由定义 a 怕 )可知夕咬刀 . , … ; 、 ’ 而且加)和i ( i) , i (11 ) 不能同时成立。

这是显然的 , 另外(i i)和 i (i i)也不能同时 成立 . 芬则从 A :〕 马和 龙 l匕 B:推得月 :二 药 , 这与 ` l A辫 B : 的假设 矛质` 注意 : a 刀的充要条件是A ,门几今价 . ’ ” “ 一 , 1 定理 2 设有实数 a= (A : }A ) , 刀二 (双i冬 凡l ) ’ 、 补 = (Cd仇) . ’ , ` 则当 几a 夕 , 夕护时广必有 a 协(传递性) , , ` 一 ’一 ` `’`卜一 证明 : ` 因为厅)尹 , 所以有汉 :〕 B ., 又因为刀协 {则由注意可知有 · B : OC : 钾必因此也 有A : 门C Z铸功, 这正是说明 a y 二 ` “ 一 卉 ’ 一 ’` 定理3证明实数系中既没有最大数 , 也没有最小数 . 证明 : 用反证法 , 如果设 、 口是实数系中的最大数, 则 a 不能是有理数 , 因为这时有 . ( ” · ! a+ . 1 ” · ). ( : la ”· ) , 即 a+ i a 若 a= `A : !A : )是无理数时 , 则可以知 道当成A 犷称 匕 . 就有 . “ 夕咚 . 同理可证实数系中没有最小数 . 定理 do , 刀= (B : IB : )o , 则 刁 2, B Z 中一切数 a: , b: 都是正有理数或零 。

C: = = { a: b:}即以所有 2 , b:的乘积全体作为C 2. q 代刁c “ 则(C : IC : )是一个分割 事实上 , C := 功 . 因为月 z 活功 , B : 护衣 恢都是正有理数或零 , 所以C : 中的数都是非负数 , 而 C : 中的数可能有 下 恨 呱 ① C : 举吞 ②由于 处 , 列两种情况 : 首先当 a 和夕中至少有一个零时 , 则显然此时C : 中的数都是负数 井次 当 a 和刀都大于零时 , 虽然C : 中也包括一部分正数 , 但这部分正数只能是 A , 中的 正数 和B : 中的正数 b:的乘积 但是由于 0 , 则定义为 a 刀 = =一 〔( 一a )(夕)〕 若 a 《0 刀 o , 则有 a (一夕) =一 (a夕) , 而 ( 一 a )( 一 刀) =a 刀 , ( 一a )( 刀) = = 一 ( a 口) . 所以关于实数的乘法是满足交换律 、 结合律和分配律的 实数的除法 ( 减 : 1 刁` ) 》 o , 刀=(丑 `: ,l甘: )o M = {会… 一〔A Z, “ !贬B! ,“ : Q R/M中有最大数 卿M中没有最大 r , 则令 R ;= R / M/{ r } , R : = 呵U{ r } , 稗 时卿岭 “ 1二 “ 裤 价厂 1 : }R Z)是一 个分割 , 定义分割( R:}R Z) ` 所确定的数为叫做 若若 d除以刀 Q口尸 并记作 = (R , IR 2 ) 少口巴刀 , 少,) 李 - - ( f暗 ·、 ù 一 谓 一a 刀 aa 二一 卞 , 二万 =- a 万 ’ a U , 、 刀。

, 必存在 自然数N , 当 N 时 , 有 b 一a . 生 .“ . 卫丝 口 . . . . 23 作 (11) (111) 对任何 n 有 二二l , 要使 b , 一a , = 月+ 1 作一 1 n 2 , = — 吸 、 巴 只要取 · [钊 · ,可 因此 , 这个有理数闭区间序列构成一个节套 , 并且不难看出 , 有理数 1位于这个节套的 所有节中 , 即对任意的 自然数 , , 都有 二二生1 , 要使 饥一几 二 而轰令 只要取 心卜 l念 - . `· 令卜 ` · 因此 , 此二有理数列可以 构成一个节套 , 并且显 然可以看出有理数纽远位于 这个节 3 套中的所有节之中 即对任意自然数 均有 a O , 要使 b , 一 a 1 , — ` 、、 己 10 儿 只要取 [ 干琴 ~. 1 上} 时 , 就有 , 一 叽 口时, 我们规定刀. a 由节套定义的不乱性容易看上述情况( i )和i ( i )不会同时发生 其次 , 我们说明实数系是有序的 因为对任意两个实数 a= a ( , }成) , 刀二( b }民)则由前面的规定 a= 刀 , 和 a 刀刀 a 三个关系有而且只有一个成立 实数的传递性也成立 , 事实上 , 若设 。

= ( a , ! a孟 ) , 刀二(b , }b二) , 斗 , = ( c , ! c 孟) , 且 a 刀 , 刀 y , 则 a 件 因为 a 刀 , 故由定义存在 0 n , 使得丐 又因为刀 丫 , 故也存在 使得公成 : 今取N = m ax { nn: } , 则当 p = N + i 时 , 有 a, 》 a b二 口 b一b , 1e 孟 : e 书 即 丐 匕 这就是说 a 卜 三 、 实数系的稠 密性 定理 证明 : 设 a 羊刀的两个实数则在 不妨设 a 刀 , 故存在 n a , 一 b二 李占 ; a 与刀之间必有有理数 使得气 今令 占= a , 一 鱿 则当 n 欠 , 且 今再“ 毕a ( “ 一 省 一 ) 一 笋 个a ( r t 一 韵 · 争 则当 n n 时 , 有 一 (一音) c ; 二 ( a , 一: 一 ) 一 手 a 一 ` = ; 、 + 景 !偷 · 1· 钊 · 1 . 而 一 冬就是 被这个节套套住的有理数 艺 即 j a 刀 一 — = 2 `“ · ’`’我们现在令 r= % 一 粤 ( 1 ) ’ 式可知 刀 ; 月 . 叫 : .线橄的运算 且 从 而 则 定理 1 设有 a= = a ( , }成) , 刀=b ( 。

lb二)为两个节套 . 则 (i) ( a + b , ! a 孟 + b孟) (11) ( a : 一b二}a 盆 一b , ) (111)( a o b }a孟b盆) 当 a二 ( a, ! a 盆) o , 刀 二 (b , }b孟) (i v ) f止二1 一 丘、 、 ’ b 二 l b , / 都是节套 证明 : (i )因为王 a , + b , }仍是单调上升数列 , 而谧成 + 悦卜仍是单调下降数列 , 由 几 , 存在 自然数N : 和 N :, 当 N : 时 有叽 一a N : 时 , 有戈 一 饥 N时 , 有( a 二 + b盆) 一 ( a , + b , ) = = ( a 盆 一a ) + (b二 一 b , ) 0= (0 , 10孟)时 , 必有 n 使得气 饥 口 , 今令时 = 气 + , , 嵘 = 成 , 则{ a 才}和a {才 ’ }作成一个节套a (才l心 , ) = * a . 又由于丐 时 二 a二十 , (由于任意的 a , 都不能大于叽) , 所以根据节套的 相等定义知 a二 a’ . 对每一个 a二 ( a 。

! a 孟) 0及口=(b !b孟) o 时 , 我们可以假设 a ) 0 , b , o此时 { a o b , } 和扣盆 民}就作成一个节套 事实上单调性显然 而由于 0 , b 0 , 车是单调下降 , O , 今证(乒 }军 三、 是节套 事实上 , 乒是单调增加 , 而 \0. 10 / ` 0 . 又由b , 则存在自然数N , 当 , N时 , 上式可以小于 ￡ . 所以 勿 }李 班、 是一个节套 \ O n O ,, 定理 2 如果 ( a , l a 孟) = (括 , 1厅孟) , (b , }b盆) = ( 石 , }占孟 则必有( i) (11) (111) (i v ) ( a , + b , } a 二 + b盆) = (厉 , + 石 , }云孟 + ( a 一 b , } a 盆 一b二) = (厅 , 一 石 , }厅盆 - 乙) 乙) ( a , b } a 孟 b二) = (厅 n 石 , 1厅二 乙) , (当6 , ) 0 , b , ) 0 , 厅 0 , 万 ” ) o) ( a n /b二! a 孟/b , ) = ( a , /石孟 }厅孟丢 , ) ( , ,, , ) 这些证明都是比较简单的 , 只要据节套的相等定义 即可知道是正确的 。

如对( i) 的证明 只证明 a + b , 《 厅孟 + 但是 , 由假定可知 a , 成 孟, 孔和 压 , + 瓦《成 + 戈 b 簇又和、 (成 , , 镇民所以上述示等式是显然成立 定义设 a= ( a · l a盆), 月=(b · Ib盆)是两个实数 , 贝 ,l称实熬 、 ( a · + b ! a二 」 + b孟) , 久)分别为 a 加刀的和 , 并记作 a+ 局 a 减刀的 差 , 并 记 作 a 二月 . 当 a 0 , ( a , 一 b盆}a二 一 刀 O时 , 则 称瓦6 和刀的乘积 , 并记作 口 . 而(牛 }孚、 为 与刀的商 . 、 0 二。