教师培训课件：数学教育研究方法.ppt
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数学教育研究方法及案例数学教育研究方法及案例1 数学教育研究的一般方法数学教育研究的一般方法l定量研究定量研究：用数字和量度说明现象例如：问卷调查，测试，定量观察，实验，准实验；l定性研究定性研究：用语言文字描述现象例如：访谈，课堂观察，历史研究，个案研究，行动研究l理念和趋势理念和趋势：定量和定性分析相结合2 数学教育研究课题的来源数学教育研究课题的来源l教学实践中提出的问题l日常观察中发现的问题l学科建设中需解决的问题l不同学科交叉点上的问题l分析国内外信息引出的问题3 选题原则选题原则l宜小不宜大l宜新不宜旧l宜熟不宜生l宜重不宜轻4 选题原则选题原则时 间研究生毕业论文题目备 注2003黄 芳关于高中数学课堂师生交流现状的调查研究桂德怀数学史对高中生数学观影响之初探发表所指导的教育硕士和教育学硕士学位论文所指导的教育硕士和教育学硕士学位论文5 选题原则选题原则时间研究生毕业论文题目备注2004方匡雕M·克莱因的HPM思想及其若干启示发表赵红琴琴初一和初二学生所用的代数方法初一和初二学生所用的代数方法发表表张建国建国几何画板对中学数学教学的影响探析几何画板对中学数学教学的影响探析王朝和物理方法在数学教学中的运用发表徐 斌关于中学生数学史知识的调查研究王静波关于东亚学生数学问题解决的调查研究6 选题原则选题原则时间研究生毕业论文题目备注2005周保良高中生对实无穷概念的理解发表张文蔚职高生的数学信念及其对数学学习的影响田新田新红高中生对函数平移的理解高中生对函数平移的理解张厚品关于高中数学优秀生成功因素的调查研究发表任明俊高中生对函数概念的理解: 历史相似性研究发表张小明中学数学教学中融入数学史的行动研究发表7 选题原则选题原则时间研究生毕业论文题目备注2006胡海霞影响高中生组合推理的因素发表翟彩翟彩丽数学日记对中专数学教学的影响数学日记对中专数学教学的影响朱卫平大学一年级学生对微积分基本概念的理解朱昌平高中生对变化率的理解范宏业基于图式理论的一元二次方程应用题教学研究孙 宇高中生对反证法的理解吴建新立体几何教学中培养学生反思能力的实践8 选题原则选题原则时间研究生毕业论文题目发表情况2007柳 笛高中新课程数学史选修课的教学设计发表赵瑶瑶复数概念的历史与教学发表沈金沈金兴中学生对古典概率的理解中学生对古典概率的理解: 历史相似性研究历史相似性研究董成勇董成勇高中生学习空间向量的困难及相应教学策略高中生学习空间向量的困难及相应教学策略张献峰献峰高中生对斜率概念的理解高中生对斜率概念的理解高令乐美国天才教育数学教材中的三角函数内容雷世清高中生对数学定义的理解9 数学教育研究的主要方法数学教育研究的主要方法l调查研究l实验研究 l个案研究l行动研究l比较研究10 调查研究的步骤调查研究的步骤计 划样本的确定访谈程序或问卷的设计研究问题的定义 变量的操作性定义 文献查阅 调查设计总体的定义 详细的抽样方法 抽样编制题目 预研究修正题目11 调查研究的步骤调查研究的步骤数据的收集数据的转化分 析进行访谈、实施问卷、调查表、测验或观察时间表分类系统的构建（编码） 为分析做必要的技术性准备综合、解释结果 结论、报告12 问卷调查问卷调查l编制问卷编制问卷—发放发放—回收回收—整理整理—分析分析—总结结论总结结论13 问卷调查问卷调查l题目的制定原则题目的制定原则1、题目要与研究的问题、假设直接相关；2、题目要清楚、不含糊，所用术语要使答卷明白易 懂；3、一个题目中只包含一个问题；4、防止使用导向性问题；14 问卷调查问卷调查5、避免使用会给答卷人带来社会或职业压力的问题；6、避免使用那些涉及个人隐私或其他微妙的问题；7、所有的问题都应该是答卷人能够提供信息的问题，与答卷人的信息背景相适应；15 问卷调查问卷调查8、要能使答卷人读懂题目；9、题目应尽量短一些、简单一些；10、收集定量的信息时，要求答出明确的数量而不是平均数；16 问卷调查问卷调查11、题目的选择答案应是可以穷尽的，选项应具有排他性，有时需要提供一种中庸的答案，以免强迫答卷人选择不愿选择的选项；12、尽可能避免使用否定性题目和双重否定性题目。
17 问卷调查问卷调查l问卷格式：标题—前言—答卷者资料—问题l问卷格式应具备吸引人和易懂两个特点；l问卷不宜太长；l问题应按逻辑次序排出；l选择回答型在前；开放型在后；l问卷的排列不能给人以拥挤的感觉，各种题目应易于回答18 ØN. Sirotic, R. Zazkis (2007). Irrational numbers on the number line -- where are they? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 38(4): 477-488 Faculty of Education, Simon Fraser University , Canada案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？19 研究背景1 1 1研究方法2 2 2研究结果3 3 3结论与教学建议4 4 4案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？20 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？21 ØArcavi运用数学史知识，从教师的知识、观念、误解三个方面对84位在职初中数学教师作了调查。
70%的教师知道无理数概念最早出现于公元前的希腊但很少有人知道无理数是如何产生的Ø关于历史上负数、小数和无理数的出现次序，55%的教师认为历史上小数的出现比无理数早；10%的教师不作回答这表明，教师不仅缺乏历史知识，而且认为无理性取决于小数案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？22 ØArcavi认为，与几何学有关的的无理数起源可以对无理数的理解和课堂教学提供一个新的视角l大约在公元前400年，欧多克斯首次从理论上讨论了无理数，后出现在欧几里得的《原本》中l斯蒂文（S. Stevin，1545-1620）在《十进算术》（1585）中引入了十进制小数l欧拉（L. Euler,1707-1783）在《代数学引论》(1770)中首次正式引入负数案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？23 l研究问题：初中数学教师是如何理解无理数的几何表示的？案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？24 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？25 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？26 Ø被试 46名中学数学职前教师（参加专业发展课程“学习的设计：中学数学” ） 其中16人参加了访谈。
案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？27 3 研究结果答案类型人数1 运用勾股定理准确地标明这一点的位置9（18%）2 用十分位或百分位小数逼近18（39.2%）3 粗略的近似值（介于2和3之间 ）6（13%）4 函数图像（如， ）6（13%）5 “不可能作出”4（8.7%）6 没有回答3（6.5%）案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？28 3.1 几何表示法几何表示法案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？29 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？30 11案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？31 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？32 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？33 3.2 数字表示法数字表示法案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？34 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？35 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？36 3.3 函数图像表示法函数图像表示法案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？37 3.4 不可能不可能案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？38 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？39 3.5 实数轴与有理数轴实数轴与有理数轴Ø只有9 名职前教师（ 19.6 ％ ）能够找到 的位置，我们调查其中的原因。
结果发现，绝大多数准教师认为数轴就是有理数轴那些认为“你不能”和或多或少用小数近似值的人都持有这一看法Ø 我们希望从访谈中，探讨 一个精确的而不是近似的位置在这样的要求下，大家共同的意见是它必须四舍五入后才可以定位案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？40 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？41 3.6 找出有理数精确的位置找出有理数精确的位置案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？42 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？43 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？44 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？45 3.7 从数值法到几何法从数值法到几何法案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？46 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？47 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？48 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？49 3.8 精确的位置：可以得到什么？精确的位置：可以得到什么？案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？50 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？51 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？52 4 结论与教学建议结论与教学建议案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？53 案例案例1 数轴上的无理数数轴上的无理数——它们在何处？它们在何处？54 案例案例2 学生解代数不等式的策略与障碍学生解代数不等式的策略与障碍P.TSAMIR AND N.ALMOGSchool of Education,Tel-Aviv University,Israel55 问题的提出问题的提出1.研究背景l不等式在数学中占有重要地位,它被广泛用于代数、几何、线性规划和函数的研究等各种数学课题中l不等式是对等式的补充l“学校数学课程与评价标准”要求9-12年级的所有学生学会‘用含变量的表达式、等式、不等式和矩阵描述数学关系’ 案例案例2 学生解代数不等式的策略与障碍学生解代数不等式的策略与障碍56 一、问题的提出l以色列不等式的教学情况 不等式的教学没有受到应有的重视。
只有中学高年级的数学专业的学生才学习不等式，而且偏重计算，只介绍“如何解”，”为什么这样解”57 一、问题的提出l关于不等式的数学教育研究情况 此类研究数量较少，主要是探讨学生对某一种类型不等式的解法，而且只谈到学生的一至两种障碍大多数相关文章给教师和研究者提出了教学建议，但未提供相关的研究支持58 一、问题的提出l研究目的 1.扩大关于学生解代数不等式的策略和障碍的知识体系 2.描述学生解不等式的解法（所解不等式是在以色列中学高年级数学专业的学生课堂中所学的常见不等式）59 一、问题的提出l主要研究问题 1.学生在解线性不等式,一元二次不等式,分式不等式和无理不等式中的常用策略(对的或错的)是什么? 2.学生在解这些不等式中会遇到哪些障碍？60 二、研究方法l问卷调查 问卷包括5个方程，10个不等式，发放给高中数学专业的160个学生，在一节90分钟的数学课上进行测试 要求学生解这些方程和不等式，详细解释每一步的解法，以提供他们思考方法的隐含信息 为了更好的了解学生的想法，对25名学生进行访谈61 三、研究结果策略代数解法图像解法数轴标根总计√×√×√×√7618----76173331215592938244125413344422459245082--3216452841245766153132314096616161873--412239531-3-4362 三、研究结果l测试结果综述 1.整体的正确率范围是16%-76% 2.正确率最高的是线性不等式；正确率最低的是复合的分式不等式（第8题） 3.即使是同一类不等式正确率的差异也很大： (1)二次不等式(第2,3,4,5题) 正确率范围是32%-59%. 当二次不等式对应的方程有两个根时(第2,3,4题)有60%的学生作对;当二次不等式对应的方程无解时只有1/3的学生作对.63 三、研究结果l测试结果综述 (2)分式不等式(第6,7,8题) 正确率的范围是16%-45%. 当不等式右边是零时(第6题),大约一半的学生作对;当不等式右边不为零时(第7题),大约1/4的学生作对;只有16%的学生作对了复合不等式(第8题) 64 三、研究结果l测试结果综述 (3)根式不等式(第9,10题) 当不等式右边是零时(第9题),正确率大约是40%;当不等式右边不为零时(第10题),正确率大约只有20%65 三、研究结果l学生的解题策略 1.代数法 这种方法最为普遍,例如: (1)不等式两边同加或同减相等的量;不等式两边同乘以分母的平方,或不等式两边同乘以一个负的因式,不等式变号 (2)通过考察二次不等式 对应方程的根或考察“a”的符号和 的符号来解不等式 (3)把不等式ab>0转化成a>0且b>0或a<0且b<066 三、研究结果l学生的解题策略 2.作图法 作出相关的函数图像,用它解不等式. 学生只在解分式不等式和一元二次不等式使用到这种方法. 当学生做到不等式的左边是二次表达式,右边是零这一步时,开始用作图法继续求解.相应地,学生只用到抛物线的图像.67 三、研究结果l学生的解题策略 3.使用数轴 在解复合分式不等式时，许多学生用了代数法,并用数轴标根法解出最后结果. 一些学生在涉及逻辑连接词的所有题目都使用了数轴. 大约有一半的学生用数轴来解复合分式不等式. 使用数轴或函数图像的学生通常都得出了正确的结果;使用代数方法解题错误率最高. 68 三、研究结果l学生解不等式的障碍 1.排除增根的障碍 解不等式时应该注意两种范围的限制: 分式表达式中分母不为零和根式中表达式不为负. 大约只有38%的学生明确指出排除增根的限制条件. 有些学生尽管没有指出这些条件,但仍得出了正确的结果,因为排除增根的过程不影响结果. 在第9题中没有排除增根的学生都得出了错误的结果,因为排除增根的过程会影响结果. 第10题中一些学生直接写出正确的结果,无法区分这些学生是否排除了增根,这需要在访谈中证实.69 三、研究结果平均FC24118332420FI24242091318NC2213912-11NI294842406244FNCIfoundneglectedcorrectincorrect70 三、研究结果l学生解不等式的障碍 2.使用逻辑连接词障碍 在解各种不等式的不同阶段都需要使用逻辑连接词.例如,解第8题的一开始和最后一步都用到了逻辑连接词.第2,3题的最后一步,在表示二次不等式的解时,也出现了逻辑连接词. 学生在解复合分式不等式时,这种困惑尤为突出,大约13%的学生混淆了“或”和“且”.分式不等式的6,7题,以及对应方程有两个解的二次分式不等式的错解中有5-10%包含逻辑连接词的错误.71 三、研究结果l学生解不等式的障碍 3.关于因式的积和商的符号的障碍 求解“乘积-不等式”或“商数-不等式”的一种方法是考察因式的符号. 例如,第4题(x-1)(x-2)>0,左边两个因式的乘积只有当两个因式同号时才为正.第6题(x-5)/(x-2)<0,只有当两个因式异号时,他们的商才为负72 三、研究结果l学生解不等式的障碍 3.关于因式的积和商的符号的障碍 大约15%的学生解二次不等式时(不包括第5题,它的二次因式不能分解),以及大约5%的学生解三个分式不等式时,都用到以下不完整的结论: (1)ab>0→a>0且b>0;a/b>0 → a>0且b>0 (2)a/b<0 →a<0且b>0; a/b<0 →a>0且b<0 (3) → a0时,不等式两边同除以-8,却没有改变不等号方向,在解方程时允许这样做,学生把解方程的这种方法错误地迁移到解不等式中来.76 三、研究结果l学生解不等式的障碍 5.关于方程的障碍 (3)与二次方程的根建立无意义的联系 学生解方程时,例如 经常把解写成这种形式 .类似地,学生在解不等式 时这样写: 而不是x<-5或x>577 四、结论和教学建议l结论 本文主要讨论两个问题： 1.高中生解代数不等式的常用策略 (1)代数法 (2)图像法 (3)数轴法 大多数学生使用代数解法,这种解法的错误率最高;图像法主要用于求解对应方程有两个不同解的二次不等式,如果分式不等式可同解变形为上述二次不等式，图像法也可被用于求解分式不等式.学生只用到抛物线的图像,学生用图像法通常能得出正确的结果.少数学生用数轴解不等式,大多数都得出错误的结果. 78 四、结论和教学建议l结论 2.学生解不等式遇到的障碍类型 (1)排除增根 (2)选择逻辑连接词 (3)乘/除非正的因式 (4)积或商的符号与其因式符号的联系 (5)解方程而不是解不等式79 四、结论和教学建议l教学建议 1.学生在用图像法时,没有利用线性方程的图像,而这种图像恰是学生最熟悉的.学生如果用线性方程的图像解第1题,将会大大降低错误率. 2.在此次研究中,学生对不同种类的不等式使用了不同的方法,通常是一种不等式对应一种方法.这反映了不等式在课堂上就是采用这种方法教学的. 推荐另外两种教学方法: (1)传授一种适合所有不等式的通法 (2)每一种不等式都传授多种解法 然而,尚无研究数据表明这两种教学方法分别应该在哪种教学环境下采用 80 四、结论和教学建议l教学建议 3. 对数学直觉保持清醒的认识 许多学生在解不等式的过程中,与不等式对应的方程建立了不恰当的联系.方程与不等式之间存在很多相似点,使学生产生一种强烈的直觉,错误地采用解方程的方法来解不等式,直觉成功地战胜了教条.因此,有必要公开讨论方程与不等式之间的异同,让学生对数学的直觉保持清醒的认识81 四、结论和教学建议l教学建议 4.解不等式时解题方法的选择 学生最常用的方法是代数法,而学生在使用这种方法的过程中暴露出的障碍最多;图像法使用得较少,但用图像法的学生通常都得到了正确的结果.解决学生解不等式障碍的一种方法是增加图像法的使用,而且这种方法能使求解过程“可视化”,用图形解释不等式的解也更为形象. 82 五、进一步有待研究的课题l对每种不等式都讲授多种不同的解题方法，还是讲授一种能解所有不等式的通法？哪种方法更有利于不等式的教学？l如何完成基于研究的，工具性的方法83 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l lAgnieszkaAgnieszka DembyDemby (1997): Algebraic procedures used (1997): Algebraic procedures used by 13-to-15-year olds. by 13-to-15-year olds. Educational Studies in Educational Studies in MathematicsMathematics, 33: 45-70, 33: 45-70l l作者单位：波兰作者单位：波兰GdanskiGdanski大学数学系大学数学系84 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法研究问题研究问题研究问题研究问题l l学生在做代数式化简问题时用了什么方法？这些方学生在做代数式化简问题时用了什么方法？这些方法大多是教师以前解释和使用过的，还是学生自己法大多是教师以前解释和使用过的，还是学生自己发明的？学生所用方法有何发展规律？它们在一个发明的？学生所用方法有何发展规律？它们在一个很长时期内是固定不变的吗？方法的类型与使用它很长时期内是固定不变的吗？方法的类型与使用它们的学生的成绩相关吗？学生是怎样解释代数恒等们的学生的成绩相关吗？学生是怎样解释代数恒等式（例如式（例如6 6x x+3+3x x = 9= 9x x））中等号的意义的中等号的意义的？？85 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法研究对象研究对象研究对象研究对象l l GdanskiGdanski和和MalborkMalbork两地两地3 3所学校中的所学校中的4 4个班级共个班级共1010名名学生（时间从学生（时间从7 7年级到年级到8 8年级，即两个学年）。
本研年级，即两个学年）本研究所涉及的所有教师都具有本科或研究生学历究所涉及的所有教师都具有本科或研究生学历86 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法研究方法（问卷与访谈调查）研究方法（问卷与访谈调查）研究方法（问卷与访谈调查）研究方法（问卷与访谈调查）l l在在7 7年级中期，对四个班级的学生进行第一次测试年级中期，对四个班级的学生进行第一次测试测试卷（测试卷（I I）含）含3 3道题目：道题目：l l第第1 1题：将下列式子写成最简的形式：题：将下列式子写成最简的形式：(a) 6(a) 6x x+3+3x x；； (b) 6(b) 6x x·3·3x x；； (c) 3(c) 3x x-6-6x x；；(d) 3(d) 3x x· (-6)· (-6)；； (e) 6(e) 6x x:3:3；； (f) -3+6(f) -3+6x x；；(g) 2(g) 2x x+3-3+3-3x x；； (h) -(h) -x x+2-+2-x x2 2+1+1；； (i) (6(i) (6x x+3+3x x) )2 2(j) 2(j) 2x x2 2- -x x-5-5x x2 287 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l第第2 2题：当题：当 x x = -5= -5时，求第时，求第1 1题中代数式题中代数式(g)(g)和和(h)(h)的的值。
值l l时间不限，做完后交卷时间不限，做完后交卷l l研究者对学生的答案进行了分析，对错误进行试验研究者对学生的答案进行了分析，对错误进行试验性分类然后选择其中性分类然后选择其中5151名学生进行访谈，时间名学生进行访谈，时间2 2周样本的选择确保涵盖各种层次的学生和各类错周样本的选择确保涵盖各种层次的学生和各类错误和解题策略误和解题策略88 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l对每个学生的访谈时间为对每个学生的访谈时间为20-4520-45分钟访谈前，访谈分钟访谈前，访谈者发还访谈对象的答卷（没有任何改动或批阅记号，者发还访谈对象的答卷（没有任何改动或批阅记号，和上缴时完全一样），让他仔细看一遍，并用红笔和上缴时完全一样），让他仔细看一遍，并用红笔批改然后，要求他解释他是如何求得结果的然后，要求他解释他是如何求得结果的在讨论了第讨论了第2 2题之后，问他另外两个问题：第一问：题之后，问他另外两个问题：第一问：“ “你是选择原来的代数式还是选择化简以后的代数式你是选择原来的代数式还是选择化简以后的代数式来求值的？来求值的？” ”第二问：第二问：“ “如果你将已知数代入另一如果你将已知数代入另一个代数式，你会得到相同的值吗？个代数式，你会得到相同的值吗？” ”89 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l在在8 8年级的期末，对同样四个班级进行第二次测试，年级的期末，对同样四个班级进行第二次测试，并对同样的学生进行类似的访谈。
测试卷（并对同样的学生进行类似的访谈测试卷（II II））中题中题目设计的目的与测试卷（目设计的目的与测试卷（I I））相同但代数式的选择相同但代数式的选择反映了学生的进步，难度与课程大纲要求大致相当反映了学生的进步，难度与课程大纲要求大致相当l l测试卷（测试卷（II II））的题目如下：的题目如下：90 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l第第1 1题：完成下列运算：题：完成下列运算：(k) (-2(k) (-2x x)·8)·8x x；； (m) 2(m) 2x x:8:8；； (n) 8(n) 8x x2 2: 2: 2x x；；(o) -2(o) -2x x2 2+8-8+8-8x x-4-4x x2 2；； (p) (-4(p) (-4x x+3)+(-1+2+3)+(-1+2x x) )；；(q) (-4(q) (-4x x+3)-(-1+2+3)-(-1+2x x ) )；；(r) (-4(r) (-4x x+3) (-1+2+3) (-1+2x x ) )；； (s) -2(3(s) -2(3x x-8)-8)；； (t) 2(t) 2x x(3(3x x-8)-8)；； (u) (3(u) (3x x-8):2-8):2；；(v) (8(v) (8x x-2-2x x) )2 2；； (w) (8-2(w) (8-2x x) )2 2 ；；(y) (2(y) (2x x2 2+5+5x x)-3)-3x x；； (z) 12(z) 12x x3 3- -x x2 2)-3)-3x x(2(2x x+1)(2+1)(2x x-1).-1).91 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l第第2 2题：当题：当 x x = -3= -3时，求第时，求第1 1题中代数式题中代数式(z)(z)的值。
的值两次测试中的第（两次测试中的第3 3题本文未作讨论）题本文未作讨论）解法类型解法类型解法类型解法类型l l两次测试共有两次测试共有2424个代数式因此共有约个代数式因此共有约24002400个答案个答案（笔试）以及约（笔试）以及约12001200种对答案的口头描述（访谈）种对答案的口头描述（访谈）92 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l通过对上述信息的分析，归纳出通过对上述信息的分析，归纳出7 7类方法：类方法：1 1（（A A））自动化法自动化法（（AutomatizationAutomatization）；）；2 2（（F F））公式法（公式法（FormulasFormulas）；）；3 3（（GSGS））猜测猜测- -代换法（代换法（Guess-SubstitutingGuess-Substituting）；）；4 4（（PMPM））预先改写法（预先改写法（Preparatory Modification of Preparatory Modification of the expressionthe expression）；）；5 5（（C C））具体化法（具体化法（ConcretizationConcretization）；）；93 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法6 6（（R R））法则法法则法（（RulesRules）；）； 7 7（（QRQR））半法则法（半法则法（Quasi-rulesQuasi-rules）。
l l作者在访谈过程中发现：上述作者在访谈过程中发现：上述7 7类方法可以用来描述类方法可以用来描述12001200例中例中90%90%以上的化简代数式方法其余情形不易以上的化简代数式方法其余情形不易归类；有些学生的方法不甚明确另外，同一个学归类；有些学生的方法不甚明确另外，同一个学生变形代数式的方法可能有几种，典型的组合生变形代数式的方法可能有几种，典型的组合(PM)+ (PM)+ (R) +(C)(R) +(C)和和(R)+(GS)(R)+(GS)94 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法(A)(A)自动化法自动化法自动化法自动化法(A)(A)型解法的典型特征是变形中涉及运算的自动化：学型解法的典型特征是变形中涉及运算的自动化：学生立即知道正确的结果，对生立即知道正确的结果，对“ “你如何得到结果的？你如何得到结果的？” ”及及“ “为什么你认为它是对的？为什么你认为它是对的？” ”感到十分惊讶感到十分惊讶典型的回答是：典型的回答是：“ “这是很显然的这是很显然的” ”、、“ “我不知道为我不知道为什么自己知道这一结果什么自己知道这一结果” ”、、“ “或许我们在课堂上学或许我们在课堂上学过这个，但我不记得了过这个，但我不记得了” ”、、“ “我只是知道这样做的我只是知道这样做的” ”、、“ “看看式子，我马上就看出来了看看式子，我马上就看出来了” ”。
学生的做学生的做法似乎表明这些运算已经被内化（法似乎表明这些运算已经被内化（interiorizedinteriorized）了A) (A) 型方法只在型方法只在8 8年级出现，并且都是最好的学生年级出现，并且都是最好的学生95 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l(F)(F)公式法公式法公式法公式法 (F)(F)型解法特征是使用公式如对型解法特征是使用公式如对(8-2(8-2x x) )2 2 ，，一个学一个学生说：生说：“ “我利用了公式我利用了公式( (a a+ +b b) )2 2 = = a a2 2+ 2+ 2abab+ +b b2 2，，a a为为8 8x x，，b b为为-2-2x x” ”；；另一个学生在解释另一个学生在解释(2(2x x+1)(2+1)(2x x-1)-1)的变形的变形时说：时说：“ “有这样一个公式：有这样一个公式： ( (a a+ +b b) () (a a- -b b) ) = = a a2 2- -b b2 2” ”一一 个学生在解释个学生在解释 (-4(-4x x+3) (-1+2+3) (-1+2x x ) )的变形时说的变形时说“ “我我利用了短乘利用了短乘 公式公式” ”，访谈者接着问他，访谈者接着问他“ “你指的是什你指的是什么公式呢么公式呢” ”时，他写道：时，他写道： ( (a a+ +b b)( )(c c+ +d d) ) = = ac+adac+ad + +bcbc + +bdbd” ”。
96 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l也有一些学生使用了错误的公式，如也有一些学生使用了错误的公式，如( (a a- -b b) )2 2 = = a a2 2- - 2 2abab- -b b2 2 ；；或用对公式，但写错了，如在用公式或用对公式，但写错了，如在用公式( (a a- -b b) )2 2 = = a a2 2- 2- 2abab- -b b2 2时写道：时写道： (8-2(8-2x x) )2 2= 8= 82 2- 2·8·(-2- 2·8·(-2x x)+2)+2x x2 297 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l(GS)(GS)猜测猜测猜测猜测- -代换法代换法代换法代换法 (GS)(GS)型解法的特征是学生用具体的数字分别代入原型解法的特征是学生用具体的数字分别代入原代数式和化简后的代数式，看结果是否相等一个代数式和化简后的代数式，看结果是否相等一个学生这样说：学生这样说：“ “我代入一个具体的数，检查是不是我代入一个具体的数，检查是不是对了但我并不总是这样做，只有在我不会做或拿对了。
但我并不总是这样做，只有在我不会做或拿不准的时候才这样做不准的时候才这样做 ”98 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l( PM)( PM)预先改写法预先改写法预先改写法预先改写法l l将代数式改成更简单或更易理解的形式如，对于将代数式改成更简单或更易理解的形式如，对于(o)(o)中的代数式中的代数式-2-2x x2 2+8-8+8-8x x-4-4x x2 2，，一个学生说：一个学生说：“ “我会我会将它改成加法，写成将它改成加法，写成-2-2x x2 2+8+ (-8+8+ (-8x x)+(-4)+(-4x x2 2) )；；另一个学另一个学生说生说“ “这是这是-2-2x x2 2，，8 8，， -8-8x x和和-4-4x x2 2的和的和” ”对于(- (-4 4x x+3)-(-1+2+3)-(-1+2x x ) )，，有些学生说有些学生说“ “我把这个式子改成加我把这个式子改成加法法” ”，写道：，写道：99 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l(-4(-4x x+3)+(-1)(-1+2+3)+(-1)(-1+2x x ) )。
更多是文字解释：更多是文字解释：“ “第二个第二个括号之前的负号与括号之前的负号与-1-1相同相同” ”一个学生说：一个学生说：“ “在第在第二个括号中，我把符号改成相反二个括号中，我把符号改成相反” ”，并写道：，并写道： (- (-4 4x x+3)+(+1-2+3)+(+1-2x x ) )将除法改成分数、或将除法改成乘将除法改成分数、或将除法改成乘法，都属于这个类型如将法，都属于这个类型如将8 8x x2 2: 2: 2x x改写成改写成8 8x x2 2/2/2x x（（很方便变成分数线，然后就可以化简了），或将很方便变成分数线，然后就可以化简了），或将6 6x x: 3: 3改写成改写成6 6x x ·1/3·1/3（（现在我只有乘法运算了，所以现在我只有乘法运算了，所以我知道该怎么做）我知道该怎么做）100 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l(C)(C)具体化法具体化法具体化法具体化法l l(C)(C)型解法的特点是学生为待进行的抽象运算想象出型解法的特点是学生为待进行的抽象运算想象出某个模型（常常是日常生活中的事物的关系）如：某个模型（常常是日常生活中的事物的关系）。
如：“ “3x3x和和6x6x相加得相加得9x9x，，这与这与3 3个苹果和个苹果和6 6个苹果相加得个苹果相加得9 9个苹果一样个苹果一样” ”，或，或“ “6x6x除以除以3 3得得2x2x，，因为如果因为如果6 6个苹个苹果由果由3 3个人分，那么没人得个人分，那么没人得2 2个个” ”101 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l(R)(R)法则法法则法法则法法则法l l此类解法满足下列条件：此类解法满足下列条件：l l(1)(1)描述一个已知代数式变形的方法时提到一描述一个已知代数式变形的方法时提到一 个法则；个法则；l l(2)(2)不是不是(F)(F)公式法、公式法、(GS)(GS)猜测猜测- -代换法、代换法、(PM)(PM)预先改预先改写法或写法或(C)(C)预先改写法中的任何一种预先改写法中的任何一种l l(3) (3) 学生做法中没有不一致的地方学生做法中没有不一致的地方102 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l如对于6x+3x：“做加法的时候，将系数相加，再写上x一个孩子把这个法则用到乘法6x·3x上来：“我必须先把（系）数相乘，然后写上x”。
使用这个法则的学生在遇到3x·(-6)时说：“不能做，因为（相乘的）两项不同类”l l有些学生错误地运用法则：“2x2-x-5x2=4x-x-25x=-22x，因为这里必须先计算乘方103 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l对于对于(-4(-4x x+3)-(-1+2+3)-(-1+2x x ) )，，一个学生说：一个学生说：“ “第一项第一项（（-1-1）变号，另一项不变变号，另一项不变 ”对于对于(-4(-4x x+3)· (-+3)· (-1+21+2x x ) )，，一个学生说：一个学生说：“ “将同类项相乘，即将同类项相乘，即-4x-4x乘乘2x2x，，加上加上3 3乘乘-1”-1”l l尽管在课堂上，教师经常向学生提及运算的基本性尽管在课堂上，教师经常向学生提及运算的基本性质但访谈时学生却很少提及但访谈时学生却很少提及一 些学生提到的些学生提到的运算律常常是错误的，如一个学生写出运算律常常是错误的，如一个学生写出3 3x x+6+6x x=9=9x x后解释说这是后解释说这是“ “利用结合律利用结合律” ”104 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l另一个学生写出另一个学生写出(8-2(8-2x x) )2 2 = 8= 82 2 -(2-(2x x) )2 2 ，，并解释说并解释说“ “利利用了分配律用了分配律” ”。
l l学生很少说明他们给出的法则的理由，常常说：学生很少说明他们给出的法则的理由，常常说：“ “在课堂里我们就是这样做的在课堂里我们就是这样做的” ”或或“ “老师教我们的老师教我们的” ”l l(QR)(QR)半法则法半法则法半法则法半法则法l l(QR)(QR)型解法的特征是学生引用了一个法则，但前后型解法的特征是学生引用了一个法则，但前后不一致105 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l如：对于如：对于(o)(o)中的代数式中的代数式-2-2x x2 2+8-8+8-8x x-4-4x x2 2，，一个学生一个学生说：说：“ “首先我必须求乘方首先我必须求乘方” ”，于是将首项变成，于是将首项变成-2-2x x2 2变成变成4 4x x2 2；；但对最后一项他又不求乘方了但对最后一项他又不求乘方了 一个学生写出生写出6 6x x·3·3x x=18=18x x后评论说：后评论说：“ “做乘法时，我们把做乘法时，我们把（系）数乘起来，然后写上（系）数乘起来，然后写上x x” ”，，但过了一会，他又但过了一会，他又不知道如何做不知道如何做9 9x x·9·9x x 了。
了106 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法解法的变化解法的变化解法的变化解法的变化l lI I、、II II两份卷子中的一些代数式的代数结构是相似的：两份卷子中的一些代数式的代数结构是相似的：l l(v)(v) (i)(i)；；(m)(m) (e)(e)；；(k)(k) (b)(b)；；(p), (q)(p), (q) (g)(g)；； (y), (o)(y), (o) (h), (j)(h), (j)l l这样安排的目的是可以比较同一个学生在这样安排的目的是可以比较同一个学生在15 15 个月后个月后在处理同类代数式时所用的方法在处理同类代数式时所用的方法107 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l(QR)型解法：8年级出现的频率低于7年级；l l(R)型解法：7年级出现的频率最高（每个被访谈的学生至少使用一次），而8年级出现的频率更高，正确率也提高（尽管第II次测试难度增大了）；在7年级只使用(R)型解法的一些学生到了8年级会用更多的方法，如具体化法(C)、公式法(F)或预先改写法(PM)108 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l测试之后，作者将学生分成三个层次：测试之后，作者将学生分成三个层次：109 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法方法类型与学生成绩之间的相关性方法类型与学生成绩之间的相关性方法类型与学生成绩之间的相关性方法类型与学生成绩之间的相关性l l几乎所有几乎所有7 7年级的年级的S S等级的学生在等级的学生在8 8年级仍然保持优秀；年级仍然保持优秀；而在而在7 7年级年级PSPS等级的学生中，约半数在等级的学生中，约半数在8 8年级仍然保年级仍然保持持PSPS等级，约等级，约1/41/4上升上升为为S S等级，另等级，另1/41/4下降为下降为F F等级；等级；7 7年级年级F F等级的学生中，约半数仍保持等级的学生中，约半数仍保持F F等级，其余学等级，其余学生上升为生上升为PSPS等级。
等级l l8 8年级学生中，优等生使用的方法比年级学生中，优等生使用的方法比7 7年级时更加多年级时更加多样化，最常出现的是样化，最常出现的是(R)+(PM)+(F)(R)+(PM)+(F)；；PSPS等级的学生等级的学生经常使用的也是经常使用的也是(R)+(PM)+(F)(R)+(PM)+(F)110 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法 FPSSQRRCPMGSFA································7年级学生所用各种方法类型之频率111 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法 FPSSQRRCPMGSFA················8年级学生所用各种方法类型之频率························112 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法 上图表明：上图表明：l l大部分正确率提高的学生在大部分正确率提高的学生在8 8年级使用了比年级使用了比7 7年级时年级时更多类型的方法；更多类型的方法；l l几乎所有使用几乎所有使用(GS)(GS)、、(C)(C)和和(PM)(PM)型解法的型解法的7 7年级学生年级学生都属于都属于S S或或PSPS等级，他们到了等级，他们到了8 8年级时几乎都属于年级时几乎都属于S S等等级。
级l l将数字代入代数式将数字代入代数式l l对于第对于第2 2题的解答，研究者考虑三个特征：题的解答，研究者考虑三个特征：113 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法¡¡对代换之基本理解(Elementary understanding of substitution，EUS)：用已知数代替变量进行运算；¡¡正确的代换与计算(Correct substitution and com-putation，CSC)；¡¡代入化简后的式子(Substituting in the simplified version of the expression，SSVE)而不是原式l l统计结果如下表114 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法两次测试中第2题答题情况统计115 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法结结结结 论论论论比较两次测试结果，得到学生能力比较两次测试结果，得到学生能力(performance)(performance)发发展的六个主要模式展的六个主要模式(patterns)(patterns)：：7 7年级年级年级年级S S等级到等级到等级到等级到8 8年级年级年级年级S S等级；从等级；从等级；从等级；从PSPS等级到等级到等级到等级到S S等级；从等级；从等级；从等级；从PSPS等级到等级到等级到等级到PSPS等级；从等级；从等级；从等级；从PSPS等级到等级到等级到等级到F F等级；从等级；从等级；从等级；从F F等级到等级到等级到等级到F F等级；从等级；从等级；从等级；从F F等级到等级到等级到等级到PSPS等级。
等级116 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l只有一名学生从只有一名学生从只有一名学生从只有一名学生从S S下降到下降到下降到下降到PSPS，，，，没有出现从没有出现从没有出现从没有出现从S S下降到下降到下降到下降到F F和从和从和从和从F F上升到上升到上升到上升到S S的情况 l l在在7 7年级，学生经常使用错误的法则，但经过年级，学生经常使用错误的法则，但经过1515个月个月之后，许多人只使用正确的法则之后，许多人只使用正确的法则7 7年级中年级中PSPS等级的等级的学生中学生中3/43/4经过教师的细心指导能够掌握基本的代数经过教师的细心指导能够掌握基本的代数式变形方法式变形方法l l许多学生使用了课本和课堂上从未出现过的方法许多学生使用了课本和课堂上从未出现过的方法117 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法方法上的变化：方法上的变化：(C)(C)型解法大大减少；型解法大大减少；(PM)(PM)型解法型解法（用加法代替减法，用乘法或分数代替除法）显著（用加法代替减法，用乘法或分数代替除法）显著增加GS)(GS)解法很少。
解法很少与前人研究结果的比较与前人研究结果的比较与前人研究结果的比较与前人研究结果的比较本研究证实了本研究证实了Booth (1983-84)Booth (1983-84)、、CwikCwik (1984) (1984)、、Lee Lee 和和Wheeler (1989)Wheeler (1989)的结论：学生运用他们自己的方的结论：学生运用他们自己的方法而不是学校里教过的方法特别地，许多学生提法而不是学校里教过的方法特别地，许多学生提118 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法 到的法则与课本上教师解释到的法则与课本上教师解释的法则不同，此外，他的法则不同，此外，他们还经常自己的法则与老师教过的法则混为一谈们还经常自己的法则与老师教过的法则混为一谈有些学生甚至说他们的错误法则是老师教的有些学生甚至说他们的错误法则是老师教的l l本研究也证实本研究也证实KirshnerKirshner (1995) (1995)的结论：成功的学生在的结论：成功的学生在熟练掌握操作性技巧（熟练掌握操作性技巧（manipulative skillsmanipulative skills））之前会经之前会经历将分配律过于一般化（历将分配律过于一般化（overgeneralizingovergeneralizing distributivitydistributivity））的阶段（犯诸如的阶段（犯诸如 a a+ +b b = = a a + + b b 之类之类的错误的错误）。
119 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l几何解释之作用几何解释之作用几何解释之作用几何解释之作用l l波兰的数学课本是用运算基本性质来解释如何对代波兰的数学课本是用运算基本性质来解释如何对代数式进行变形时的然而，一个众所周知的事实是：数式进行变形时的然而，一个众所周知的事实是：学习代数的中学生在运用这些性质时遇到很大的困学习代数的中学生在运用这些性质时遇到很大的困难难Wierzbicki(1970)Wierzbicki(1970)对波兰对波兰490490所学校各一个所学校各一个7 7年级年级班级学生的研究发现：不到班级学生的研究发现：不到1/41/4学生能知道他们所用学生能知道他们所用的运算性质（尽管约有半数学生获得正确结果）的运算性质（尽管约有半数学生获得正确结果）120 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l lSkaluba(1988)Skaluba(1988)研究发现：即使对于中学高年级许多研究发现：即使对于中学高年级许多学生来说，恒等式的应用学生来说，恒等式的应用( (即用即用(F)(F)型解法型解法) ) 也的确是也的确是一件很难的事。
然而，在许多课本中，运算性质只一件很难的事然而，在许多课本中，运算性质只根据公式来解释，而不用其他方法根据公式来解释，而不用其他方法l l本研究表明：光向学生讲述运算基本性质是没有效本研究表明：光向学生讲述运算基本性质是没有效果的；学生并不情愿或并不能够利用这些性质须果的；学生并不情愿或并不能够利用这些性质须注意：这些基本性质在课本中有，而且本研究中四注意：这些基本性质在课本中有，而且本研究中四个班级的教师系统解释或使用过这些性质个班级的教师系统解释或使用过这些性质121 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l许多国家的课程建议教师用几何方法来解释代数式，如分配律用矩形来解释一些作者(Sawyer 1964; Bruner 1966; Ruthven 1989)描述了如何用直观模型（如木块、小立方体等）来解释二次多项式但在本研究中，只有一位访谈对象提到几何解释，尽管课本和教师都用这种论证方法122 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法教学启示教学启示孩子知识的建构并非通过演绎推理（孩子知识的建构并非通过演绎推理（deductive deductive reasoningreasoning）来完成，而是通过收集经验（）来完成，而是通过收集经验（gathering gathering experienceexperience）、比较结果（）、比较结果（comparing resultscomparing results）、一）、一般化（般化（generalizationgeneralization）以及修正前面的法则）以及修正前面的法则（（revising the previous rulesrevising the previous rules）来完成。
来完成教师应该利用一切机会对代数法则进行解释，应该教师应该利用一切机会对代数法则进行解释，应该参考学生当前的作业、他们的疑问、观念和错误观参考学生当前的作业、他们的疑问、观念和错误观念、自发推广的结论念、自发推广的结论123 案例案例3 13-15岁学生所用的代数方法岁学生所用的代数方法l l不总结学生的经验，光靠练习来学习代数变形是没有效果的l l只讲授代数法则、让学生死记法则、用机械的方式练习都是没有价值的l l坚持让学生使用对他们来说很陌生的我们的法则（特别是基本运算性质）是没有意义的124 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力lD. Ben-Chaim, G. Lappan & R. T. Houang(1989): Adolescents’ ability to communicate spatial in-formation: analyzing and effecting students’ per-formance. Educational Studies in Mathematics, 20: 121-146125 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l 研究问题：中学生解决问卷中的三维问题时采用了什么表示方法？个体有何差异？空间想象活动教学实验对提高中学生的空间信息表达能力是否有效？l研究方法：教学实验法、问卷调查法l被试： 21个6-8年级班级。
126 引引 言言l表达和解释三维几何关系的能力对于许多学校课程和技术职业来说都是十分重要的给学生机会探索各种空间和几何信息的表示方式应该成为基本的教育目标lGoodnow (1977)：孩子在表示物体时是由困难的Mitchelmore (1983)：中学生在表示规则三维图形案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力127 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 时是由困难的，包括画图时如何表示平行线和垂线的困难l在大量相关研究中，一些研究得出的结论是训练对提高空间测试成绩是有效的；而另一 些研究则得出相反结论因此空间想象活动的训练是否对学生有益，仍值得进一步研究128 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l此外，一些研究得出结论，男生的空间想象能力比女生更强这导致研究者对空间想象能力的性别差异与数学成绩性别差异之间的关系、性别和教学的相互作用、性别和空间想象能力评价中所用的问题和方法的相互作用以及空间想象能力性别差异的原因等方面的研究l总之，在空间想象能力训练以及性别差异的研129 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 究方面，仍需进一步的研究。
Mitchelmore (1975) 称“最需要的是开发出实用的几何和空间教学课程及其试验性测试”；Sherman(1979)认为“需要设计出提高(空间想象能力)的方法，并评价其可行性和合理性”；Bishop(1983)认为“很清楚，现在需要更多的利用诊断性测试方法，以及记忆和迁移问题进行的训练研究 ”130 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力研究目的研究目的 设计一份建筑描述问卷目的有三：l研究中学生完成问卷所用的表示类型；l研究表示方法上的个体差异，确定成功的程度；l确定空间想象活动教学对于学生表示方法和成功率是否有影响，若有，是否有年级和性别上的差异131 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力建筑描述问卷建筑描述问卷图图 1132 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l你坐在屏幕的一侧，你的朋友坐在屏幕的另一侧l你的朋友听不见你的声音，但你可以递一张纸给他l你的朋友手头有一些立方体好用l这里是由立方体堆成的建筑你是唯一一个能看见这个建筑的人133 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l你的任务是设法让你的朋友知道你所见到的建筑是什么样子的。
l随你发挥创意l【注意：上述文字中并没有出现诸如“画” (draw)、 “描述” (describe)、“解释” (explain)、“写” (write)之类的具有导向性的词】134 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力样本和数据收集样本和数据收集l在参加空间想象活动的前两周，从17个班级(分别属于市区、郊区和农村的不同学校)中每班随机抽取3-4名学生进行“建筑物描述任务”教学后一个月，在其中15 个班级中，每班随机选取3-4名学生参加问卷测试每个学生独立的完成任务，时间不限学生花的时间 从8135 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 到17分钟不等，平均10分钟，问题同前测样本的年级、性别分布如表1136 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力137 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力教学单元教学单元l空间想象教学单元(The Spatial Visualization unit of instruction)是由MGMP项目组开发出来的它包括十次按时间顺序进行的活动，约需三周教学时间（12至15课时）。
训练单元包括用二维的图画来表示三维物体，用小立方体来构造三维物体 138 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力表达方式分类表达方式分类l根据Burden and Coulson (1981) 的建议，本研究使用了三种表达方式对学生的建筑描述问题的回答进行分类：l文字方式文字方式l以文字来表达空间信息图2和图3是前测时三 个学生的回答，前2人只使用了文字，后1人主要使用了文字，所画图形并不包含新的信息 139 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图 2 教教学学前前学学生生的的文文字字表表示示方方式式140 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图 3 教教学学前前学学生生的的文文字字表表示示方方式式141 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l一个8年级女孩前测时的回答(图2，文字方式)： “建筑很高，侧面好像有阶梯可达顶层另一侧有基本相同的模式每一个上升一层它很高，但也有许多部分离底面很低背面笔直上升，但不是建筑的最高部分前面有一平台，侧面有另一平台两个平台大致都有一层高建筑的最高部分在中间，约有3层高。
另一侧甚至可能有阳台142 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l一个8年级男孩前测时的回答(图2，文字方式)： “它由10个红色立方体(约1英寸1英寸)组成建筑有3层高如果你取8个立方体拼在一起，你就能得到一个大立方体但是，(这里)一个立方体叠在另一个立方体之上，有点象烟囱另两块立方体从两侧伸出143 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l一个7年级女孩前测时的回答(图3，文字方式)： “我想和你说说一座建筑首先它有许多层；2个单元有两层高3个单元1层高，中间的单元有3层高建筑由立方体所组成左前没有放立方体；中间放一个，后面放两个很容易将其方在一排第二牌有6个立方体再后面有3块立方体叠在一起，后面有两块立方体144 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 在第3排只有1个立方体整个建筑由10个立方体组成，记住它们是红色的下面是一张图形，但要记住该建筑是立着的l图形方式图形方式l用直观图形来表达空间形式，图上至多记有标签和数字图4-6是前测时孩子的回答，均属图形方式145 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图 4 教学前学生的图形表示方式教学前学生的图形表示方式146 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图5 5 教教学学前前学学生生的的建建筑筑图图形形方方式式147 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图 6 6 教教学学前前学学生生 的的图图形形表表示示方方式式148 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图7 教教学学前前学学生生的的图图形形表表示示方方式式149 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l混合方式混合方式l既使用文字也使用图形来表达空间信息。
图8-9所示是前测时学生的3种回答150 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力151 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图 8 教学前学生的混合表示方式教学前学生的混合表示方式152 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力153 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图 9 教教学学前前学学生生的的混混合合表表示示方方式式154 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l三位作者用上述标准各自独立地对学生的回答进行分类，结果对97%的学生的分类完全一致成功回答的确定成功回答的确定l判断标准：如果运用学生所表达的信息能够重新构造出这个建筑，那么他的答案就是成功的如图10-12表示三种成功的答案 (后测结果）， 每种表达方式都不同另外成功的例子在图3，155 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图 1 10 0 教教学学后后学学生生的的文文字字表表示示方方式式( (成成功功的的回回答答156 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图 11 11 教学后学生的图形表示方式教学后学生的图形表示方式( (成功的回答）成功的回答）157 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图 1 11 1 教教学学后后学学生生的的图图形形表表示示方方式式( (成成功功的的回回答答158 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图 1 12 2 教教学学后后学学生生的的混混合合表表示示方方式式( (成成功功的的回回答答159 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力图图 1 12 2 教教学学后后学学生生的的混混合合表表示示方方式式( (成成功功的的回回答答160 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 4，8。
利用个标准，三位作者各自独立地对所有答案都作了评定除了两个文字表述的答案外(进一步检查后仍被评定为成功的)，其余的评定结果完全一致结结 果果l 教学之前，学生的回答从直接的尝试将所观161 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 察的建筑画成或描述出来，到对建筑的奇妙解释均有之一个8年级女生用文字描述建筑：“沿侧面上升的楼梯”、“塔”、“平台”、“阳台” (图2)另一8年级男生这样描述：“它是世界上最大的建筑它看上去象是未来的建筑…建筑里本身有两千多间办公室还有一个学生将建筑物画成有窗户、大门、风景、甚至电视162 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 天线学生估计建筑的高度：“我的建筑有30有30英尺高有3层，每层10英尺高…”或估计面积：“建筑的台基占地15亩”，以及别的建筑特征学生强调这样的现实细节：“其红色的立方体堆在一起，侧面有圆…立方体很坚硬，不会移动此外，图13-15显示，好 几个学生在用图形表示建筑时出了错相比之下，教学163 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 之后，多数学生使用了平面图，flat views和isometric views来描述建筑物。
图10-12是教学后学生典型的回答，特别是混合方式和图形方式l表2按年级、性别、和教学前后对学生的回答进行的分类 164 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 表表2 年级、性别、教学前后表达方式百分比年级、性别、教学前后表达方式百分比165 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l从表2中可见：教学前，三种表达方式的百分比接近相等；教学之后，文字表达方式几乎消失，图形表达方式的百分比大大增加教学之前，各年级的表达方式分布有着显著的差异，6年级学生喜欢混合方式和图形方式；7年级学生喜欢文字方式，而8年级学生喜欢口头和混合方式教学之后，年级之间没有显著差异166 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l教学之前，男女生在表达方式上没有显著差异；而教学之后，男女生有显著的差异女生使用混合方式和图形方式的人数基本持平；而男生喜欢图形方式l表3按年级、性别和教学前后给出了成功学生的百分比167 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力表表2 年级、性别、教学前后正确表达的百分比年级、性别、教学前后正确表达的百分比168 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l从表3可见：教学之前的成功率只有26%；而教学之后成功率显著增至83%。
男女生之间和不同年级之间并没有显著差异进一步检查成功的表达方式发现：教学之前，使用表达混合方式的学生中，只有23%是成功的；而教学之后有76%是成功的教学之前，使用图形表达方式的学生中，只有21%是成功的；而教169 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 学之后的成功率为 85%只有一个7年级女生在教学之后采用了文字表达方式，而且是成功的讨论与结论讨论与结论l教学之前教学之前l中学6到8年级的学生会自发地运用各种表达方式，包括文字叙述、画侧面图或平面图或运用170 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 混合策略；l各年级的学生在表达方式的选择上有显著差异；l男女生在表达方式的选择上并没有差异这与前人研究 (Burden & Coulson, 1981; Burton et al., 1986)结果相一致，但与Willis(1980)的研究结果(女生喜欢用文字表达方式而男生喜欢非文字表达方式)不一致！171 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l教学之后教学之后l不管性别和年级，6到8年级的中学生在3周的训练之后，成绩得到大幅度的提高； 因此本研究表明：学生空间想象技能可以通过训练来提高！l大部分学生向混合方式和图形方式转移，文字表达方式几乎消失了；172 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力l训练对男女生的效果不尽相同，尤其是对表达方式的喜好。
男生比女生更偏向图形方式，而女生在混合方式和图形方式上有偏好参半启启 示示l本研究表明：6-8年级学生熟悉各种不同的空间信息表达方式，但他们在表达关于由立方体173 案例案例4 中学生表达空间信息的能力中学生表达空间信息的能力 构成的建筑的空间信息时，有着很大的困难但是，空间想象活动教学实验之后，学生的成功率大幅度提高因此具体情境中的空间想象能力的训练应该成为中学数学课程的一部分！174 案例案例5 符号代数符号代数lE. Harper (1987) 研究研究问题问题：学生对符号代数的认知过程是否与符号代数的历史发展过程相似？ 研究方法研究方法：测试丟番图《算术》：“已知两数的和与差，证明这两个数总能求出 被被 试试：英国两所文法学校1-6年级各12名学生，共144人175 案例案例5 符号代数符号代数lG. H. Nezzelmann《希腊代数》(1842)： 代数学的发展经历三个阶段：176 案例案例5 符号代数符号代数l修辞代数解法：文字表达l丢番图的解法：设和为 100，差为 40，较小数为x，则较大数为 x + 40这样就有2x + 40 =100，从而得 x = 30。
因此两数分别为30、70l韦达的解法：设和为a，差为b又设较小数为x，则较大数为 x + b，于是 2x+b=a，故得x =(a-b)/2因此两数分别为 (a-b)/2、(a+b)/2177 案例案例5 符号代数符号代数 1 修辞的解法 Jane（二年級，12岁零8月）： “和除以2，差除以2和除以2的商与差除以2的商相加，得到第一个数；从和除以2的商中減去差除以2的商，得到第二个数例如：和＝8，差＝2，8/2＝4，2/2=1，第一个数＝4+1=5；第二个数＝4-1=3178 案例案例5 符号代数符号代数 2 丟番图的解法 Barry（三年級，13岁零10个月）： x – y = 2 （1） x + y = 8 （2） （1）+（2）得2x =10，x =5代入（2）得：5+ y =8，y = 8-5，y = 3对于任何数，你都可以这样做179 案例案例5 符号代数符号代数 3 韦达的解法 设两数为 x 和 y，n = x 和 y 的和，m = x 和 y 的差，一般的方程为 n = x + y，m = x- y。
兩式相加，m + n = 2x求得 x，回代，求出y180 案例案例5 符号代数符号代数类 型学 生 數一年级二年级三年级 四年级 五年级 六年级修辞法444130丟番图法013554韦达法0101620合 計46771424181 案例案例5 符号代数符号代数研究研究结论结论：： 学生对符号代数的认知发展过程与符号代数的历史发展过程具有相似性 182 案例案例6 角的概念角的概念lKeiser(2004) 研究对象研究对象：6年级学生 研究问题研究问题：6年级学生是如何理解角概念 的？他们在理解0、180和360时有困难吗？ 研究方法研究方法：课堂观察和访谈183 案例案例6 角的概念角的概念l历史回溯： 古希腊人从关系、质和量三方面之一来定义角，欧几里得在《几何原本》中将角定义为“平面上两条不在同一直的直线彼此之间的倾斜度”（关系）卡普斯（Carpus）将角定义为“包含它的两线或两面之间的距离”（量）而普罗克拉斯（Proclus）则认为必须同时从大小（量）、存在184 案例案例6 角的概念角的概念 的形状和特征（质）、两条直线之间的关系三方面来定义角 。
但在古希腊时代，无论从哪一种定义，都未能很完善地刻划这个概念 另外，历史上数学家在理解0、180和360三种特殊角时遇到了困难，许多数学家给出的“角”的定义（其中包括希尔伯特《几何基础》中的定义）都不含这三种角 185 案例案例6 角的概念角的概念l研究发现：学生对角的理解也分成三种情形： (1) 强调“质”的方面：一些学生认为，随着正多边形边数的增加，“角”越来越小；即形状越“尖”的“角”越大 (2) 强调“量”的方面：一些学生认为，边越长或者边所界区域越大，角越大； 186 案例案例6 角的概念角的概念 (3) 强调“关系”方面：一个学生不同意把角看作“两条射线之间的‘宽度’，他认为角是将一条边（终边）旋转后与始边之间的一种“关系” 课堂上学生同样很难理解0、180 和 360这三种特殊角，因为在他们的概念表像中并不存在这些角187 案例案例6 角的概念角的概念 如Claire在研究者对她进行的访谈中对这些角提出质疑： “如果它（180）是一个角的话，那么它就需要有两条边，我看不出哪儿有两条边相交 “角有顶点以及两条不同的线我知道（在180中）有两条直线，但你说不出顶点在哪儿。
“（对于360的角）圆是没有任何角的，所以我不188 案例案例6 角的概念角的概念 明白 ……………………………………l研究研究结论结论 学生对角概念的理解具有历史相似性教材和学生都可以从前人理解角概念的困难中获得諸多启示189 。
