布里渊区与能带,光学晶体局域态资料.doc

1，布里渊区与能带2，光子晶体局域态 (2008-03-26 12:51:28)转载▼标签： 股票分类： 我的日志    在波矢空间中取某一倒易阵点为原点（通常为高对称点），作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区    各布里渊区体积相等，简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，都等于倒易点阵的元胞体积周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射，在文献中不加定语的布里渊区指的往往就是它对于电子德布罗意波，这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化根据这一特点，1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，因 此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态，从此被称为布里渊区　　第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，如果对每一倒易点阵作此元胞，它们会毫无缝隙的填满整个波矢空间第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，由于完整晶体中运动的电子、声子、磁振子、……等元激发（见固体中的元激发）的能量和状态都是倒易点阵的周期函数，从此被称为布里渊区。

因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态　　布里渊区的形状取决于晶体所属布喇菲点阵的类型都等于倒易点阵的元胞体积简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，菱十二面体和截角八面体（十四面体）由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区它们都是对称的多面体，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，并具有相应点阵的点群对称性，这一特征使简约区中高对称点的能量求解得以简化（见晶体的对称性）在能带图中，横轴为波矢，波矢轴上会有几个大写字母表示布里渊区的几个高对称性点，如X, M, K, W等对这样的能带图，我的理解是这样的： 对于从波矢空间原点到其他点的方向上，能带图描绘出沿着这一方向从k=0到布里渊区边界对于连续波矢值的能带曲线对于其他高对称性点，如在波矢轴上从X 到W,曲线描绘的是波矢末端从X变化到W时的能带曲线，也就是沿着布里渊区的边界 所以能带图并不会表现出所有波矢对应的能带情况这样画能带图的原因是，由于在布里渊区的边界会产生带隙，所以只需要这样画就可以表现出全部需要研究的能 带情况了。

      “如果是一个表示能带的平面图，横轴表示波矢，这个值是连续的，这就可以理解为是在布里渊区内相应的波矢起点到终点的 一条线，有时是从中心到边界，有时是在边界上能带图都是计算出来的，往往画出来的是具有高对称性的那些位置，因为能带分布也反映了晶格分布Points of high-symmetry on the Brillouin zone have specificimportance. The most important point for optoelectronic devicesis the center at k = 0, known as the gamma point Γ.Note the points Γ, X, W, K,…光子晶体简介 众所周知，电子在周期势场中传播时，由于电子波会受到周期势场的布拉格散射，会形成能带结构，带与带之间可能存在带隙电子波的能量如果落在带隙中，传播是禁止的其实，不管任何波，只要受到周期性调制，都有能带结构，也都有可能出现带隙能量落在带隙中的波是不能传播的电磁波或者光波也不会例外不过人们真正清楚其物理含义已经是八十年代末了1987年Yabnolovitch [1]在讨论如何抑制自发辐射时提出了光子晶体这一新概念。

几乎同时，John [2]在讨论光子局域时也独立提出如果将不同介电常数的介电材料构成周期结构，电磁波在其中传播时由于布拉格散射，电磁波会受到调制而形成能带结构，这种能带结构叫做光子能带 (photonic band)光子能带之间可能出现带隙，即光子带隙 (photonic bandgap, 简称PBG)具有光子带隙的周期性介电结构就是光子晶体 (photonic crystals)，或叫做光子带隙材料 (photonic bandgap materials)，也有人把它叫做电磁晶体 (electromagnetic crystals)图1给出光子晶体的结构及光子能带结构固体物理中的许多概念都可用在光子晶体上，如倒格子、布里渊区、色散关系、Bloch函数、Van Hove奇点等由于周期性，对光子也可以定义有效质量不过需要指出的是光子晶体与常规的晶体（从某种意义上来说可以叫做电子晶体）有相同的地方，也有本质的不同，如光子服从的是Maxwell方程，电子服从的是薛定谔方程；光子波是矢量波，而电子波是标量波；电子是自旋为1/2的费米子，光子是自旋为1的玻色子；电子之间有很强的相互作用，而光子之间没有。

光子晶体的基本特征是具有光子带隙，频率落在带隙中的电磁波是禁止传播的，因为带隙中没有任何态存在光子带隙的存在带来许多新物理和新应用 [3-5]自发辐射是爱因斯坦在1905年提出的，对许多物理过程和实际应用有重要的影响，如自发辐射是半导体激光器的阈电流的主要原因，只有超过阈电流才能发出激光八十年代以前，人们一直认为自发辐射是一个随机的自然现象，是不能控制的Purcell在1946年提出自发辐射可以人为改变 [6]，但没有受到任何重视直到光子晶体的出现才改变了这种观点[1]自发辐射几率由费米黄金定则给出其中，|V|称为零点Rabi矩阵元，????是光场的态密度如果电磁波的态密度为零，则自发辐射的几率为零，即没有自发辐射光子带隙中的态密度为零，因此，频率落在光子带隙中的电磁波的自发辐射被完全抑制如果引入缺陷，在光子带隙中可能出现态密度很高的缺陷态，因此可以增强自发辐射有文献称将自发辐射可以控制的这种现象叫Purcell效应如果引入缺陷或无序，对电子来说将有电子局域态或安德森局域如果在光子晶体中引入介电缺陷或介电无序，光子也一样，也会出现局域现象 [2,7-9]在光子晶体中实现光子局域比在电子体系里更理想，因为这里没有电子体系里存在的多体相互作用。

1991年实验上观察到二维光子晶体中的光子局域 [10]最近，在半导体粉末中直接得到光子局域的证据 [11]我们知道即使在真空中也存在零点涨落，但在光子带隙中却没有这将带来这样一种结果：将原子或分子放入光子晶体中，如果从激发态到基态辐射的光子频率正好落在光子带隙里，受激的原子或分子将被“锁”在激发态，不能激发到基态因为此时没有任何光子态与之耦合而辐射这将带来新的物理现象 [12-15]，如原子将和自身辐射的局域光场发身强烈的耦合，出现奇异的Lamb位移 [12]光子晶体的制作最初提出的结构是面心立方结构[1,2]从实空间看即用何种介电材料来填充Wigner-Seitz原胞选用怎样的面心立方结构和填充比才有光子带隙，这并非一件易事Bellcore的研究人员用了两年多的时间尝试了各种各样的面心立方结构，才发现一种面心立方结构有光子带隙[16]这是一种背景为介电材料，相互重叠的空气孔在其中排列成面心立方结构的点阵结构空气孔占86%的体积这种制作方法类似炒菜，用介电材料构成周期结构，然后测量电磁波的透射率，看是否存在光子带隙这种方式非常费时费力，而且也不太成功受实验的鼓舞，理论工作者开始关心光子能带计算。

最初采用的是标量波的方法，即认为两种偏振可以分开处理 [17,18]理论和实验结果有较大差异，人们马上意识到这种差异来源于忽略了电磁波是矢量波，因此在光子能带的计算中必须考虑光波的矢量性不久便出现了考虑矢量性的光子能带计算 [19-21] 当重新计算填充率为86%的重叠空气孔面心立方结构时，发现这种结构没有完全的光子带隙 [19-21]这是由于面心立方结构的光子晶体由于对称性，在高对称点处出现能带简并从态密度上看实验上观测到的带隙只是一个赝带隙与电子（费米子spin=1/2）能带计算不同，光子(玻色子spin=1)之间没有相互作用，解Maxwell方程得到的光子能带几乎是完全准确的因此，可以先从理论上判断是否存在光子带隙，然后再实验制作，消除了许多盲目性Ames的研究人员第一次从理论上证实了具有金刚石结构的光子晶体有很大的光子带隙[21]于是人们开始从实验上寻找具有金刚石结构的光子晶体Yablonovitch等很快制作出第一个具有全方位光子带隙的结构，如图2所示 [22]这种光子晶体的制作过程如下：在一片介电材料上镀上具有三角空洞阵列的掩膜，在每一空洞处向下钻三个孔，钻孔相互之间呈120度，与介电片的垂线呈35.26度。

这样的结构具有金刚石结构的对称性，光子带隙从10GHz到13GHz，位于微波区域在微波区域这种结构可以用微机械钻孔的方法得到在光学波段可以用离子刻蚀的办法，不过非常困难为寻找一种制作简易，同时组成单元维度低的结构，Ames的研究人员提出了一种层状结构的光子晶体，组成元是一维介电棒，如图3所示 [23]每层中，一维介电棒平行排列，相互之间的距离为 a；第二层的介电棒与第一层棒夹角为90度；第三层与第一层一样排列，但位移a/2；第四层与第二层也一样，但位移a/2；第五层与第一层重复这样的结构具有面心四方对称性特别当才c/a=√2时，就是金刚石结构其实，相临两层的夹角可以在60到90度之间变化，都有全方位光子带隙这种结构实验上第一次由氧化铝棒堆积而成 [24]，光子带隙在微波波段（12-14GHz）图4给出理论计算和实验测量的光子能带的比较从图中可以看出，理论和实验符合得非常好这和电子能带的情况很不一样由于电子之间的多体相互作用，在电子能带的计算中要作很多近似，得到的电子能带也是近似的，如电子带隙的计算结果与实验相差很大人们还提出了其它的层状结构来制作三维光子晶体 [25-27]MIT小组提出的结构可以利用成熟的半导体技术来得到光学范围的光子晶体 [26]。

制作过程如图5所示第一步先将一层厚度为d的Si用MBE或CVD淀积在衬底上，然后刻蚀出相互之间距离为a的平行槽，最后在槽中填充SiO2，如 (a)所示第二步再生长一层厚度为h的Si，如 (b)第三步在下层Si的正上方刻蚀出深度为d宽度为w的槽，然后再在槽中填充SiO2，如 (c)第四步与第一步相同，如 (d)如此重复完成后，再在表面往下刻蚀出柱状空气孔阵列，如 (e)空气孔的截面可以是圆形，也可以是椭圆形最后清除SiO2得到如图6所示的Si骨架结构，其计算的光子能带结构也在图6中给出从布拉格条件可知，光子带隙处的光波波长与光子晶体的晶格常数相当，因此，要得到光子带隙在红外或可见光的光子晶体，晶格常数应当在微米或亚微米这对光子晶体制作来说无疑是极大的挑战在微波区域，可以用机械加工的办法人们的目标之一是在红外或可见光范围抑制自发辐射，还有一个目标是制作波长在 1.5微米的光子晶体，因为这是光电子工业和通讯所用的波长要制作如此小的晶格常数的光子晶体能利。