拉普拉斯变换.docx

拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续预习知识：积分变换§13－1 拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把 时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求 出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数由于解复变函数的代数方程比解时 域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换性电路分析中得到广泛应用2.拉普拉斯变换的定义一个定义在［0,+^)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为陀)=z［/W］=匚几)事也式中s=o+j®为复数，被称为复频率；F(s)为用)的象函数，用)为F(s)的原函数由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为/(f) = L［月⑻］=亠「也月⑸舁亦式中 c 为正的有限常数。

注意：1) 定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即:F⑶弍伽* g它计及t=0-至0+，_At)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便2)象函数F(s)一般用大写字母表示，如I(s)， U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)3. 典型函数的拉氏变换1) 单位阶跃函数的象函数f(』)=z 冶)]=二 = [+八出=I；=十2) 单位冲激函数的象函数f(t)=馳)F&) = L Q(t)] = J： S(ty5tdi = = 13) 指数函数的象函数F(^) = I[/(O]=p^-^§13－2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表 13.1 中表13-1拉氏变换的若干性质和定理皿◎=骂⑸｝特性和定理表达式条件和说明线性a、b为常数位移特性时域延迟⑤T为一非负实数频域延迟时/⑹= F(_)微分若所有初值为零，则有丄[『〔勿=用⑸L[f^\t)]=5K^5)积分初值定理Umf (f) = lim 奶(乩 H0)=—g -j或 s—>glim 5 巩 Q 皿 存在终值定理lim/ (fi = lim 5^5), f (g) = line 讯 3)，g 10 ]或 s—>0沁)所有奇点均在s平面左半部卷积定理佃〔即芒7遂-]；〃- r)// r込-时純妁为拉"与血②的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。

表 13-2 拉氏变换简表1CosatCoshatSin(a t)Sinh(a t)碗(f)]例13-1已知，求函数的像函数F @)二 L[Us(i)] = UL[s(£)\ = — 解： 占£[即)]=例13-2已知1 求 f(t)=哄)-向-1)的象函数解:根据积分性质和时域延迟性质z[/o=—q—i)呛—i)一 s^-i)]=4--^4-昇-S S S例13-3求函数代"3)的像函数解：d)z 注 1 c/sin( (Dt)COS (d?t)= -a) di解：根据微分性质，因为 ，所以例13-5求函数的像函数解:根据频域导数性质有: 例13-6求函数八）=右呦的像函数解：根据频域导数性质有:例13-7求函数 的像函数解：根据频域导数性质有：§13－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开1．拉普拉斯反变换法 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数由象函数求原函数的方法有：1） 利用公式2） 对简单形式的F（S）可以查拉氏变换表得原函数3） 把F（S）分解为简单项的组合，也称部分分式展开法F©)=巧 0)+巧(>)+■■•+ 巧 0)则mo）+E（t）+・・・+m）§13－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开2.部分分式展开法用部分分式法求拉氏反变换（海维赛德展开定理），即将月広）展开成部分分式，成为可在拉氏变换表中查到的曰的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数。

设月（小=恥）5⑸，巧⑸的阶次不高于耳⑻的阶次，否则，用耳⑻除恥） 以得到一个'的多项式与一个余式（真分式）之和部分分式为真分式时，需对为分母多项式作 因式分解，求出耳⑶=0的根即F （s）为真分式下面讨论耳&）=0的根的情况1）若也‘ =0有n个不同的单根P］、p2 pn利用部分分式可将F（s）分解为:心 竺 二亠+亠+ •■• + △_広―曲&―匕）…0 —久）s-p1 s-p2 s-pn待定常数的确定：方去一：按叮心一羽网叽"i=123,...,n来确定方法二：用求极限方法确定 a 的值.広-虽）恥） &-珀珂⑻+珥Q _ Fg）「昭恥）耳3 一耳S）得原函数的一般形式为：/（f）=巧@）护+巧（必）尹+…+ F£p）汕巧（阿） 巧（見） 巧（代）2） 若耳⑻=0有共轭复根巩=°+炉和戸2 = 口一巴可将f（s）分解为：F（沪 陋 =亠+ ^^ + ^^ + ... +亠（s -pT）（s-p2）（s-p3）-"（s-pn） S-P1 s-p2 s-p3 s-Pn则阳=［広一 口一丿少）月（ELp+挖 旳=［佃一 口 + J少）月佃儿弋_血 则 ，因为F（s）为实系数多项式之比，故內和勺为共轭复数。

设购二肉F，勺二底出‘/ （f）=窖血+皿"+旳』=一'曲"=2陆|』cosfot +日）3） 耳&）=0的具有重根时，因含有的因式吩）= {―— =0-巧）0-禺+1）・・・0-玖）® I 人 I卜知一I碍+1 +务+2 +…+上」2 _ 巩丫 2 - P1）Z E_P\ ^~Pr+\ S - S~Pn总结上述得由F(s)求f(t)的步骤：1) n=m时将F(s)化成真分式和多项式之和；2) 求真分式分母的根，确定分解单元；3) 将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数4) 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换例13-8已知求原函数了⑵解法一：设4s + 5其中1/I空丄弋所以 =K _ PM _A^丄％解法二：4.7 + 52s + 5例13-9已知求原函数解:因为^+^ + 5 = 0的根为：兀-一1±丿2毎二心-戸)少&)]";也二鲁血-円)字⑻]“呻=芸鳥例13-10已知，求原函数解：心+»灯悬务二［&一厅月枣）］- =扌^ = [(s-72^'«./2 = A = 1,4则，/© 二 L[吩)]=死)+#⑵+ £)+}弘）例13T1已知52 +95 + 11川+处+ 6，求原函数/⑷=1+解：原式4.7 + 5 _1+ -3 + 7+5^ + 6 f + 2 s + 3所以代）"（f） + （7产-3产）§13－4 运算电路应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。

运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最 后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式显然运 算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式 上均可用于运算法1. 电路定律的运算形式 基尔霍夫定律的时域表示：把时间函数变换为对应的象函数：u(t) T l(t) T ［⑸得基尔霍夫定律的运算形式：X7W = ° E^) = o2. 电路元件的运算形式根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式 图 13.1(a)1) 电阻R的运算形式图13.1(a)所示电阻元件的电压电流关系为：u=Ri,两边取拉普拉斯变换，得电阻元件VCR的运算形式:图 13.1（b）图 13.2（a）图 13.2（b）U鮒=RI迹 或哂= GU®根据上式得电阻R的运算电路如图(b)所示2) 电感 L 的运算形式图13.2(a)所示电感元件的电压电流关系为两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感 元件 VCR 的运算形式：U(s)= Lsl(s)~ Li(O_)图 13.2 （ c ）根据上式得电感L的运算电路如图(b)和图(c)所示。

图中表示附加电压源的电压，用表示附加电流源的电流Z(s) = sL , Y(s) = 1/sL式中'丿 ''丿/ 分别称为电感的运算阻抗和运算导纳3) 电容 C 的运算形式图13.3(a)所示电容元件的电压电流关系为:13.3a)13.3b)两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件VCR 的运算形式:%)二存⑸+哎2或 妣 用根据上式得电容C的运算电路如图(b)和图(c)所示13.3c)图 13.4(a)图 13.4(b)图中 加(0」表示附加电流源的电流，用 表示附加电压源的电压式中z(s) = 1/sC FO) rC分别为电容的运算阻抗和运算导纳4) 耦合电感的运算形式图13.4 (a)所示耦合电感的电压电流关系为:耳=厶阻+ M鱼 % =二如+ M% dt dt dt dt两边取拉普拉斯变换，得耦合电感 VCR 的运算形式:根据上式得耦合电感的运算电路如图(b)所示图中加1(°_)和加2(°-)都是附加电压源式中分别称为互感运算阻抗和互感运算导纳5) 受控源的运算形式图13.5 (a)所示VCVS的电压电流关系为：规1 肚2二两边取拉普拉斯变换，得运算形式为：%©)*)尺 ns根据上式得VCVS的运算电路如图(b)所示。

图 13.5 ( a) 图 13.5 ( b )3. 运算电路模型图 13.6( b)图 13.6( a)图13.6为RLC串联电路，设电容电压的初值为d(°)，电感电流的初值为)，其 时域方程为：取拉普拉斯变换，得运算方程U(s) = + sLI(s) - Z;(0-) + 右I(s) + ^-1{R + sL + —)1(-7)= = U® + 山((T) -或写为Z^) = ^)= R+sL+lc上式称运算形式的欧姆定律，式中 称运算阻抗根据上式得图(b)所示的运算电路。