高斯投影坐标正反算.ppt

第四章 Ⅶ 高斯投影坐标正反算——正形投影的一般条件 ——高斯投影坐标正算 ——高斯投影坐标反算 ——高斯投影几何解释提前在黑板上写出四个m2上一讲应掌握的内容1、地图(数学)投影：将椭球面上元素(包括坐标，方位和 距离)按一定的数学法则投影到可展平面上坐标投影公式：2、地图投影变形几个概念：长度比，主方向，变形椭圆 3、四种投影变形：长度变形，方向变形，角度变形，面积变形4、地图投影的分类：5、高斯投影的基本概念上一讲应掌握的内容1）几个概念： • 长度比m：投影面上无限小的微分线段ds，与椭球面上相应的微分线段dS之比• 主方向：投影后一点的长度比依方向不同而变化，其中最 大及最小长度比的方向称为主方向 • 变形椭圆：以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成 以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆 2）投影变形：• 长度变形：• 方向变形：上一讲应掌握的内容2）投影变形： • 角度变形：最大角度变形是最大方向变形的两倍• 面积变形：地图投影的分类• 按投影变形性质分类:等角投影 等距投影 等积投影a=b a=1 or b=1 a·b=1• 按投影面分类 : 圆锥面 圆柱(椭圆柱) 面 平面投影• 按投影的中心轴线:正轴投影 横轴投影 斜轴投影• 按椭球面与投影面的切割情况分:切投影 割投影高斯投影的基本概念• 横切椭圆柱等角（分带）投影。

• 高斯投影特性（三个）： – 中央子午线投影后为一直线，且长度不变；其它经线为凹 向中央子午线的曲线，且长度改变 – 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其它纬线呈凸向赤 道的曲线 – 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线与纬度也互相垂 直，即高斯投影为等角投影 • 高斯投影分带： 6°投影带； 3°投影带 – 对于6°带： N=（L/6）的进整数， L０=６N-3 – 对于3°带： n=L/3(四舍五入) ， L０=3n• 高斯平面直角坐标系：区分为：自然坐标；国家统一坐标掌握两者的换算）§4.9.2 正形投影的一般条件一、长度比的通用公式推导长度比平方为：一、长度比的通用公式推导（续）长度比平方为：长度比m2的表达式简化为：q称它为等量纬度，它仅与纬度有关长度比的通用公式推导（续）将上述两式代入ds2式，整理，并令得长度比的通用公式：将长度比的通用公式中引入方向二、柯西.黎曼条件上式为与方向有关的长度比的通用公式上式在什么条件下与方向无关？？柯西.黎曼条件（续）正形条件：m与A无关，即满足：柯西-黎曼条件（公式）是椭球面与平面之间的正形投影的一般条件考虑到F=0，E=G，长度比公式简化为§4.9.3 高斯投影坐标正反算公式二、高斯投影必须满足以下三个条件(1)中央子午线投影后为直线；￿￿(2)中央子午线投影后长度不变；￿￿(3)投影具有正形性质，即正形投影条件。

一、什么是高斯投影坐标正反算 已知椭球面上的大地坐标B、L，求高斯平面坐标x、y 的问 题称高斯投影坐标正算 函数式：（1）一般的 x=F1(B,L) ， y=F2(B,L) (2) 一带上， 令l =L-L0 ，x=F1(B,l) ， y=F2(B,l) 已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算 函数式：三、高斯投影坐标正算公式推导1) 由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球 体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午 线 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数2) 由第三个条件正形投影条件分别对l 和q 求偏导数l =3／ρ=0.052由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式高斯投影坐标正算（2）m0=? ３) 由第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵 坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长即当 l=0 时,高斯投影坐标正算（3）子午线曲率半径等量纬度定义式高斯投影坐标正算（4）将各系数代入，略去高次项，得高斯投影坐标正算公式 精度为0.001m四、高斯投影坐标反算公式推导同正算一样，对投影函数提出三个条件(1) x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；￿￿(2) x 轴上长度投影保持不变；￿￿(3) 正形投影条件。

1) 由第一个条件可知分别对x和y 求偏导数高斯投影坐标反算（2）2) 由第三个条件，正形条件顾及到：高斯投影坐标反算（3）由恒等式两边对应系数相等，从而得待定系数的递推公式３) 由第二条件可知， 当y=0时，x=X（ 等于投影前从赤道 量至该点的子午弧长）；此时对应的点称为底点，其纬度称 为底点纬度，用Bfn0=? 当 y=0时，x=X B=n0=Bf ， 高斯投影坐标反（4）依次求各系数因为所以高斯投影坐标反算公式B，l 的单位为弧度当l＜3.5°时，上式换算精度达0.0001″Bf为x值对应的底点纬度，tf ηf Mf Nf 均为底点纬度的函数适用于电算的高斯坐标计算的实用公式将75国际椭球参数代入前面推导的高斯计算公式， 经过一些简单变化，可得高斯投影正、反算公式 高斯投影正算公式:高斯投影反算公式:实用公式的系数五、高斯投影几何解释1、高斯投影正算公式的几何解释P″(0,Bf)高斯投影几何解释2、高斯投影反算公式的几何解释Bf高斯投影的特点分析(1)当l等于常数时，随着B的增加x值增大，y值 减小；无论B值为正或负，y值不变这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影 后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同 时还对称于中央子午线和赤道。

(2)当B等于常数时，随着l的增加，x值和y值都增大所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投 影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影 曲线互相垂直凹向两极￿￿(3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大结束•再见!。